МАССИВЫ В MATLAB
Для работы со множеством данных оказывается удобным использовать массивы.
Например, можно создать массив для хранения числовых или символьных данных. В этом случае вместо создания переменной для хранения каждого данного достаточно создать один массив, где каждому элементу будет присвоен порядковый номер. Таким образом, массив — множественный тип данных, состоящий из фиксированного числа элементов. Как и любой другой переменной, массиву должно быть присвоено имя.
Переменную, представляющую собой просто список данных, называют одномерным массивом или вектором. Для доступа к данным, хранящимся в определенном элементе массива, необходимо указать имя массива и порядковый номер этого элемента, называемый индексом.
Если возникает необходимость хранения данных в виде таблиц, в формате строк и столбцов, то необходимо использовать двумерные массивы(матрицы). Для доступа к данным, хранящимся в таком массиве, необходимо указать имя массива и два индекса: первый должен соответствовать номеру строки, а второй номеру столбца, в которых хранится необходимый элемент.
Значение нижней границы индексации в МАТLАВ равно единице. Индексы могут быть только целыми положительными числами или нулем.
Самый простой способ задать одномерный массив в МАТLАВ имеет вид:
где nаmе — имя переменной, в которую будет записан сформированный массив, ХN — значение первого элемента массива, Хk — значение последнего его элемента, dx- шаг, с помощью которого формируется следующий элемент массива, то есть значение второго элемента составит Xn+dx, третьего Xn+dx+dx и так далее до Xk.
Если параметр dx в конструкции отсутствует:
это означает, что по умолчанию он принимает значение, равное единице, то есть каждый следующий элемент массива равен значению предыдущего плюс один.
Примеры создания массивов приведены в листинге 3. Обратите внимание, что переменную, заданную как массив, можно использовать в арифметических выражениях и в качестве аргумента математических функций. Результатом работы таких операторов являются массивы.
Справочник по MATLAB — Массивы, матрицы и операции с ними (В.Г.Потемкин)
Информация в данной статье относится к релизам программы MATLAB ранее 2016 года, и поэтому может содержать устаревшую информацию в связи с изменением функционала инструментов. С более актуальной информацией вы можете ознакомиться в разделе документация MATLAB на русском языке.
Массивы являются основными объектами в системе MATLAB: в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы — векторы — и двумерные массивы — матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов — тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х.
Формирование массивов специального вида
Операции над матрицами
Специальные матрицы
-
⬇️⬇️⬇️ , INVHILB — матрица Гильберта (Hilbert matrix) ⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️
Формирование массивов специального вида
ZEROS — формирование массива нулей
Y = zeros(n)
Y = zeros(m, n)
Y = zeros(size(A))
Функция Y = zeros(n) формирует массив нулей размера n х n.
Функция Y = zeros(m, n) формирует массив нулей размера m х n.
Функция Y = zeros(size(A)) формирует массив нулей соразмерный с массивом A.
Примеры:
Формирование одномерного массива из 1000 элементов можно выполнить двумя способами:
- в виде цикла с n = 1000
for i = 1 : n, x(i) = 0; end ,
что требует для реализации около 1.05 с на PC AT/486 (50 МГц);
- в виде оператора присваивания
что требует для реализации лишь 0.11 с на том же компьютере.
ONES — формирование массива единиц
Y = ones(n)
Y = ones(m, n)
Y = ones(size(A))
Функция Y = ones(n) формирует массив единиц размера n х n.
Функция Y = ones(m, n) формирует массив единиц размера m х n.
Функция Y = ones(size(A)) формирует массив единиц соразмерный с массивом A.
EYE — формирование единичной матрицы
Y = eye(n)
Y = eye(m, n)
Y = eye(size(A))
Функция Y = ones(n) формирует единичную матрицу размера n х n.
Функция Y = ones(m, n) формирует единичную матрицу размера m х n.
Функция Y = ones(size(A)) формирует единичную матрицу соразмерную с матрицей A.
RAND- формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
| X = rand(n) | rand |
| X = rand(m, n) | rand(‘seed’) |
| X = rand(size(A)) | rand(‘seed’, x0) |
Функция X = rand(n) формирует массив размера n х n, элементами которого являются случайные величины, распределенные по равномерному закону в интервале (0, 1).
Функция X = rand(m, n) формирует массив размера m х n, элементами которого являются случайные величины, распределенные по равномерному закону в интервале (0, 1).
Функция X = rand(size(A)) формирует массив соразмерный с матрицей A, элементами которого являются случайные величины, распределенные по равномерному закону в интервале (0, 1).
Функция rand без аргументов формирует одно случайное число, подчиняющееся равномерному закону распределения в интервале (0, 1), которое изменяется при каждом последующем вызове.
Функция rand(‘seed’) возвращает текущее значение базы (начального значения) генератора случайных чисел.
Функция rand(‘seed’, x0) присваивает базе (начальному значению) генератора случайных чисел значение x0.
Алгоритм генерации равномерно распределенных случайных чисел основан на линейном конгруентном методе, описанном в работе [1]. Вычисление следующего случайного числа реализовано согласно соотношению
seed = (7 7 х seed) (mod(2 31 -1).
Примеры:
Обращение к генератору равномерно распределенных случайных чисел реализуется следующим образом
| 0.0579 | 0.0099 | 0.1987 | 0.1988 |
| 0.3529 | 0.1389 | 0.6038 | 0.0153 |
| 0.8132 | 0.2028 | 0.2722 | 0.7468 |
Этот результат может оказаться иным и зависит от версии системы и предыстории сеанса работы.
Сопутствующие функции: RANDN, SPRANDN.
1. Park S. K., Miller K. W. Random Number Generators: Good ones are hard to find// Comm. ACM. N.10. Vol. 32, 1988, P. 1192-1201.
RANDN — формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
| X = randn(n) | randn |
| X = randn(m, n) | randn(‘seed’) |
| X = randn(size(A)) | randn(‘seed’, x0) |
Функция X = randn(n) формирует массив размера n х n, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.
Функция X = randn(m, n) формирует массив размера m х n, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.
Функция X = randn(size(A)) формирует массив соразмерный с матрицей A, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.
Команда randn без аргументов формирует одно случайное число, распределенное по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1, которое изменяется при каждом последующем вызове.
Команда randn(‘seed’) возвращает текущее значение базы (начального значения) генератора нормально распределенных случайных чисел.
Команда randn(‘seed’, x0) присваивает базе (начальному значению) генератора случайных чисел значение x0.
Алгоритм генерации нормально распределенных случайных чисел использует для формирования несколько значений равномерно распределенных случайных чисел, которые обрабатываются в соответствии с алгоритмом, описанным в работе [1].
Примеры:
Обращение к генератору нормально распределенных случайных чисел реализуется следующим образом
| -0.4326 | 0.2877 | 1.1892 | 0.1746 |
| -1.6656 | -1.1465 | -0.0376 | -0.1867 |
| 0.1253 | 1.1909 | 0.3273 | 0.7258 |
Этот результат может оказаться иным и зависит от версии системы и предыстории сеанса работы.
1. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice-Hall, 1977.
CROSS — векторное произведение
Функция c = cross(a, b) формирует векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве.
Результирующий вектор имеет следующее описание:
KRON — формирование тензорного произведения
Функция K = kron(X, Y) формирует тензорное произведение (произведение Кронекера) двух числовых массивов (матриц), так что результирующий массив (матрица) имеет вид
K = X х Y = [xij * Y] =
Его размер равен m * size(Y, 1) х n * size(Y, 2).
LINSPACE — формирование линейного массива равноотстоящих узлов
x = linspace(x1, x2)
x = linspace(x1, x2, n)
Функция x = linspace(x1, x2) формирует линейный массив размера 1 х 100, начальным и конечным элементами которого являются точки x1 и x2.
Функция x = linspace(x1, x2, n) формирует линейный массив размера 1 х n, начальным и конечным элементами которого являются точки x1 и x2.
LOGSPACE — формирование узлов логарифмичесокй сетки
x = logspace(d1, d2)
x = logspace(d1, d2, n)
Функция x = logspace(d1, d2) формирует вектор-строку, содержащую 50 равноотстоящих в логарифмическом масштабе точек, которые покрывают диапазон от 10 d1 до 10 d2 .
Функция x = logspace(d1, d2, n) формирует вектор-строку, содержащую n равноотстоящих в логарифмическом масштабе точек, которые покрывают диапазон от 10 d1 до 10 d2 .
MESHGRID — формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
[X, Y] = meshgrid(x, y)
[X, Y] = meshgrid(x)
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z)
Функция [X, Y] = meshgrid(x, y) формирует массивы X и Y, которые определяют координаты узлов прямоугольника, задаваемого векторами x и y. Этот прямоугольник задает область определения функции от двух переменных, которую можно построить в виде 3D-поверхности.
Функция [X, Y] = meshgrid(x) является сокращенной формой записи функции [X, Y] = meshgrid(x, x).
Функция [X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z) формирует массивы X, Y и Z, которые определяют координаты узлов параллелепипеда, задаваемого векторами x, y и z. Этот параллелепипед задает область определения для вычисления функции от трех переменных и построения 3D-параметрических поверхностей.
Пример:
Для вычисления функции в области -2 < x < 2, -2 < y < 2 необходимо выполнить следующую последовательность операций:
[X, Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
Z = X.*exp(-X.^2 — Y.^2);
mesh(Z)
Сопутствующие функции: SURF, SLICE.
: — формирование векторов и подматриц
| j : k | A(i1 : i2, j1 : j2) |
| j : i : k | A(n1 : n2) |
Оператор : является очень полезным оператором языка MATLAB. Он применяется для формирования векторов и матриц или для выделения из них подвекторов, подматриц, подблоков массива.
Формирование векторов:
j : k
если j >= k, это вектор вида [j j+1 j+2 . k];
если j < k, это пустой вектор;
j : i : k
если j >= k, это вектор вида [j j+i j+2i. k];
если i < 0 и j < k, или i > 0 и j>k, это пустой вектор.
Выделение подблоков:
A(i1 : i2, j1 : j2) — выделение подблока массива A со строками i1 : i2 и столбцами j1 : j2.
A(i, 🙂 — i-я строка массива A;
A(:, j) — j-й столбец массива A.
Поскольку в языке MATLAB элементы массива упорядочены по столбцам, то допустимы операторы вида A(n1:n2), которые выделяют пронумерованные элементы с номера n1 до номера n2. Оператор A( : ) записывает все элементы массива A в виде столбца.
Операции над матрицами
DIAG — формирование или извлечение диагоналей матрицы
| X = diag(v) | v = diag(X) |
| X = diag(v, k) | v = diag(X, k) |
Функция X = diag(v) формирует квадратную матрицу X с вектором v на главной диагонали.
Функция X = diag(v, k) формирует квадратную матрицу X порядка length(v)+abs(k) с вектором v на k-й диагонали.
Функция v = diag(X) извлекает из матрицы X главную диагональ.
Функция v = diag(X, k) извлекает из матрицы X диагональ с номером k; при k > 0 это номер k-й верхней диагонали, при k < 0 это номер k-й нижней диагонали.
Примеры:
diag(diag(X)) — диагональная матрица;
sum(diag(X)) — след матрицы X.
diag(-m : m) + diag(ones(2*m, 1), 1) + diag(ones(2*m, 1), -1)
формирует трехдиагональную матрицу размера 2*m + 1.
Для m = 3 результирующая матрица имеет вид: m = 3;
| -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
TRIL — формирование нижнетреугольной матрицы (массива)
L = tril(X)
L = tril(X, k)
Функция L = tril(X) сохраняет нижнюю треугольную часть матрицы X.
Функция L = tril(X, k) сохраняет нижнюю треугольную часть матрицы X начиная с диагонали с номером k. При k > 0 это номер k-й верхней диагонали, при k < 0 это номер k-й нижней диагонали.
Пример:
Для массива X=[1 2 3; 4 5 6; 1 2 3; 4 5 6; 1 2 3; 4 5 6]
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 4 | 5 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 4 | 5 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
TRIU — формирование верхнетреугольной матрицы (массива)
U = triu(X)
U = triu(X, k)
Функция U = triu(X) сохраняет верхнюю треугольную часть матрицы (массива) X.
Функция U = triu(X, k) сохраняет верхнюю треугольную часть матрицы (массива) X начиная с диагонали с номером k. При k > 0 это номер k-й верхней диагонали, при k < 0 это номер k-й нижней диагонали.
Пример:
Для массива X=[1 2 3; 4 5 6; 1 2 3; 4 5 6; 1 2 3; 4 5 6]
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 0 |
FLIPLR — поворот матрицы относительно вертикальной оси
Функция B = fliplr(A) переставляет столбцы массива A симметрично относительно вертикальной оси. Если массив A имеет нечетное число столбцов, то средний столбец остается на своем месте.
Пример:
Для массива A = [1 2 3 4; 1 2 3 4 ; 1 2 3 4]
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
FLIPUD — поворот матрицы относительно горизонтальной оси
Функция B = flipud(A) переставляет строки массива A симметрично относительно горизонтальной оси. Если массив A имеет нечетное число строк, то средняя строка остается на своем месте.
Пример:
Для массива A = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3; 4 4 4]
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 |
| 4 | 4 | 4 |
| 3 | 3 | 3 |
| 2 | 2 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
ROT90 — поворот матрицы на 90 градусов
B = rot90(A)
B = rot90(A, k)
Функция B = rot90(A) осуществляет поворот массива A размером m х n на 90 градусов против часовой стрелки.
Функция B = rot90(A, k) осуществляет поворот массива A размером m х n на 90*k, где k = 1, -1, 2, -2.
Пример:
Для массива A = [ 1 2 3; 4 5 6]
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 |
| 2 | 5 |
| 1 | 4 |
| 6 | 5 | 4 |
| 3 | 2 | 1 |
RESHAPE — преобразование размеров матрицы
B = reshape(A, m, n)
Функция B = reshape(A, m, n) возвращает массив размером m х n, сформированный из элементов массива A путем их последовательной выборки по столбцам. Если число элементов массива A не равно произведению m * n, выводится сообщение об ошибке.
С помощью оператора ( : ) можно получить те же результаты, которые можно получить и с помощью функции reshape. Функция reshape выражается через оператор ( : ) следующим образом:
B = zeros(m, n);
B( : ) = A;
Пример:
Для массива A = [ 1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4]
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 3 |
| 1 | 3 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 4 |
| 2 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |
Специальные матрицы
COMPAN — сопровождающая матрица характеристического многочлена
Функция C = compan(p) формирует сопровождающую матрицу С для входного массива p, который состоит из коэффициентов некоторому многочлена степени n.
Пример:
Полиному (x-1)(x-2)(x-3) = x3 — 7x + 6 соответствует вектор коэффициентов p = [1 0 -7 6]; , для которого сопровождающая матрица имеет вид:
| 0 | 7 | -6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
HADAMARD — матрица Адамара (Hadamard matrix)
Функция H = hadamard(n) возвращает матрицу Адамара порядка n.
Матрицы Адамара встречаются в различных приложениях — комбинаторном и численном анализе, обработке сигналов [1, 2]. Это матрицы, составленные из 1 и -1, столбцы которых ортогональны, так что справедливо соотношение
где [n, n] = size(H) и I = eye(n, n).
Матрица Адамара порядка n > 2 существует только тогда, когда n кратно 4. Данный алгоритм вычисляет матрицы Адамара для тех случаев, когда величины n, n/12, n/20 являются степенями по основанию 2 [3].
Пример:
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 |
Картина линий уровня для этой матрицы напоминает ковер
- Ryser H. J. Combinatorial Mathematics. New York: John Wiley&Sons, 1963.
- Pratt W. K. Digital Signal Processing. New York: John Wiley&Sons, 1978.
- Golomb S. W., Baumert L. D. The search for Hadamard matrices//Amer. Math. Monthly. Vol. 70, 1963. P. 12-17.
HANKEL — матрица Ганкеля (Hankel matrix)
H = hankel(c)
H = hankel(c, r)
Функция H = hankel(c) возвращает квадратную матрицу Ганкеля, первый столбец которой совпадает с вектором c, а все элементы H(i, j), i + j > n, лежащие ниже второй главной диагонали, равны нулю.
Функция H = hankel(c, r) возвращает матрицу Ганкеля, первый столбец которой совпадает с вектором c, а последняя строка с вектором r. Если последний элемент вектора c не равен первому элементу вектора r, то возникает конфликт на второй главной диагонали, когда предпочтение отдается элементу вектора c.
Примеры:
c = [1 2 3];
H = hankel(c)
H =
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
c = 1:3; r = 7:10; H = hankel(c, r)
Warning: Column wins anti-diagonal conflict.
> In d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat\hankel.m at line 27
H =
| 1 | 2 | 3 | 8 |
| 2 | 3 | 8 | 9 |
| 3 | 8 | 9 | 0 |
Warning: Column wins anti-diagonal conflict.
> In d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat\hankel.m at line 27
Столбец выигрывает конфликт на второй главной диагонали
> В d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat\hankel.m в строке 27
HILB, INVHILB — матрица Гильберта (Hilbert matrix)
H = hilb(n)
H = invhilb(n)
Функция H = hilb(n) формирует матрицу Гильберта порядка n. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:
Матрица Гильберта — это пример очень плохо обусловленной по отношению к операции обращения матрицы [1].
Функция H = invhilb(n) формирует матрицу, обратную матрице Гильберта порядка n. Точная обратная матрица — это матрица, элементами которой являются целые числа. Точное представление такой матрицы в арифметике с плавающей точкой возможно только тогда, когда порядок матрицы не превышает 13. Для больших значений n функция invhilb(n) формирует только приближенную матрицу.
Сравнение функций invhilb(n) и inv(hilb(n)) позволяет выявить несколько источников ошибок:
- ошибки, вызванные функцией hilb(n);
- ошибки, связанные с процедурой обращения;
- ошибки, вызванные функцией invhilb(n).
Оказывается, что первый источник ошибок, связанный с представлением правильных дробей вида 1/3 или 1/5 в арифметике с плавающей точкой, наиболее существенный.
Пример:
Матрица Гильберта порядка 4 имеет число обусловленности 1.5514e+004.
Ее обратная матрица — это целочисленная матрица вида
| 16 | -120 | 240 | -140 |
| -120 | 1200 | -2700 | 1680 |
| 240 | -2700 | 6480 | -4200 |
| -140 | 1680 | -4200 | 2800 |
а результат обращения в арифметике с плавающей точкой
format long e, inv(hilb(4))
1.0e+ 003*
ans =
| 0.0160 | -0.1200 | 0.2400 | -0.1400 |
| -0.1200 | 1.2000 | -2.7000 | 1.6800 |
| 0.2400 | -2.7000 | 6.4800 | -4.2000 |
| -0.1400 | 1.6800 | -4.2000 | 2.8000 |
1. Forsythe G. E., Moler C. B. Computer Solution of Linear Algebraic Systems. Prentice-Hall, 1967.
MAGIC — магический квадрат
Функция M = magic(n) для n > 3 формирует специальную квадратную матрицу порядка n, элементами которой являются целые числа от 1 до n2, суммы элементов которой по строкам и столбцам равны. Эта функция магического квадрата была включена в состав системы MATLAB в 1993 году и подробно описана в работе [1]. Cумму элементов по строкам (столбцам) назовем инвариантом магического квадрата и обозначим mn. Значение инварианта зависит от n и равно
Если матрицу магического квадрата отнормировать делением на ее инвариант, то получим дважды стохастическую матрицу, обладающую тем свойством, что ее матричная норма любого порядка равна 1 [2].
Ранг матрицы M зависит от n следующим образом [2]:
График функции rank(magic(n)) для 3 <= n< = 32 показан на рисунке:
1. Moler C. B. MATLAB’s magical mystery tour//The MathWorks Newsletter. 1993. Vol. 7(1). 2. Higham N. J. The Test Matrix Toolbox for MATLAB (version 3.0)//Numerical Analysis Report. Manchester, 1995. Vol. 276.
PASCAL — матрица Паскаля (Pascal matrix)
P = pascal(n)
P = pascal(n, k)
Функция P = pascal(n) формирует симметрическую положительно определенную квадратную матрицу порядка n, которая составлена из элементов треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля представляет собой коэффициенты разложения бинома (1 + w) j , записанные в следующем виде:
а матрицы Паскаля порядка 3 и 4 имеют следующий вид:
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 3 | 6 | 10 |
| 1 | 4 | 10 | 20 |
Функция pascal(n, 0) равносильна функции pascal(n).
Матрица P = pascal(n, 1) — это нижняя треугольная матрица в разложении Холецкого для матрицы pascal(n) с точностью до знаков чисел в столбцах. Эта матрица обладает свойством P2 = I, где I — единичная матрица [1].
Матрица P = pascal(n, 2) — это матрица, полученная в результате транспонирования и перестановок в матрице pascal(n, 1). Эта матрица обладает свойством P 3 = I, где I — единичная матрица [2-3].
Пример:
Сформируем матрицы pascal(3), pascal(3, 1) и pascal(3, 2): P = pascal(3)
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 |
| 1 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | -1 |
| 0 | -1 | 2 |
| -1 | -1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
- Higham N. J. The Test Matrix Toolbox for MATLAB (version 3.0)//Numerical Analysis Report. Manchester, 1995. Vol. 276.
- Higham N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1996.
- Brawer R., Pirovino M. The linear algebra of the Pascal matrix//Linear Algebra and Appl. 1992. Vol. 174. P. 13-23.
ROSSER — матрица Рессера (Rosser matrix)
Функция R = rosser формирует тестовую матрицу для классической симметрической проблемы собственных значений. Эта матрица служила камнем преткновения для многих алгоритмов вычисления собственных значений. Только QR-алгоритм Франсиса, усовершенствованный Уилкинсоном [1] и реализованный в пакете программ EISPACK и в системе MATLAB, позволяет справиться с указанной проблемой.
Матрица rosser — это матрица порядка 8 с целочисленными элементами, она обладает следующим спектром собственных значений:
- пара кратных значений;
- 3 близких собственных значения;
- нулевое собственное значение;
- малое ненулевое собственное значение.
Пример:
| 611 | 196 | -192 | 407 | -8 | -52 | -49 | 29 |
| 196 | 899 | 113 | -192 | -71 | -43 | -8 | -44 |
| -192 | 113 | 899 | 196 | 61 | 49 | 8 | 52 |
| 407 | -192 | 196 | 611 | 8 | 44 | 59 | -23 |
| -8 | -71 | 61 | 8 | 411 | -599 | 208 | 208 |
| -52 | -43 | 49 | 44 | -599 | 411 | 208 | 208 |
| -49 | -8 | 8 | 59 | 208 | 208 | 99 | -911 |
| 29 | -44 | 52 | -23 | 208 | 208 | -911 | 99 |
имеет следующие точные собственные значения:
| 10(1 + sqrt(10201)) |
| 1020 |
| 510 + 100sqrt(26) |
| 1000 |
| 1000 |
| 510 — 100sqrt(26) |
| 0 |
| -10(1 + sqrt(10201)) |
1. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.
TOEPLITZ — матрица Теплица (Toeplitz matrix)
T = toeplitz(c)
T = toeplitz(c, r)
Функция T = toeplitz(c) возвращает симметрическую матрицу Теплица, определяемую однозначно вектором c.
Функция T = toeplitz(c, r) возвращает несимметрическую матрицу Теплица, первый столбец которой совпадает с вектором c, а первая строка с вектором r. Если первый элемент вектора c не равен первому элементу вектора r, то возникает конфликт на главной диагонали, когда предпочтение отдается элементу вектора c.
Примеры:
c=1:4; T = toeplitz(c)
T =
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
c=1:4; r=1.5:4.5; T=toeplitz(c,r)
Column wins diagonal conflict.
Столбец выигрывает конфликт на главной диагонали.
T =
| 1.0000 | 2.5000 | 3.5000 | 4.5000 |
| 2.0000 | 1.0000 | 2.5000 | 3.5000 |
| 3.0000 | 2.0000 | 1.0000 | 2.5000 |
| 4.0000 | 3.0000 | 2.0000 | 1.0000 |
VANDER — матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)
Функция V = vander(x) возвращает матрицу Вандермонда порядка length(x), j-й столбец которой определяется соотношением
Примеры:
x = [1 2 3 4];
V = vander(x)
V =
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 4 | 2 | 1 |
| 27 | 9 | 3 | 1 |
| 64 | 16 | 4 | 1 |
WILKINSON — матрица Уилкинсона (Wilkinson matrix)
Описание: Функция W = wilkinson(n) формирует тестовую матрицу Уилкинсона для задачи на собственные значения. Это симметрическая трехдиагональная матрица, наибольшие собственные значения которой попарно близки, но не являются кратными.
Матрица Уилкинсона порядка 7 имеет следующий вид:
W = wilkinson(7)
W =
| 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
Обычно в качестве тестовой используется матрица 21-го порядка, имеющая следующие собственные значения:
Как задать массив в matlab
Справочник по MATLAB — Массивы, матрицы и операции с ними (В.Г.Потемкин)
-
⬇️⬇️⬇️ , INVHILB — матрица Гильберта (Hilbert matrix) ⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️
ZEROS — формирование массива нулей
Y = zeros(n)
Y = zeros(m, n)
Y = zeros(size(A))
- в виде цикла с n = 1000
for i = 1 : n, x(i) = 0; end ,
Y = ones(n)
Y = ones(m, n)
Y = ones(size(A))
Y = eye(n)
Y = eye(m, n)
Y = eye(size(A))
| X = rand(n) | rand |
| X = rand(m, n) | rand(‘seed’) |
| X = rand(size(A)) | rand(‘seed’, x0) |
seed = (7 7 х seed) (mod(2 31 -1).
| 0.0579 | 0.0099 | 0.1987 | 0.1988 |
| 0.3529 | 0.1389 | 0.6038 | 0.0153 |
| 0.8132 | 0.2028 | 0.2722 | 0.7468 |
1. Park S. K., Miller K. W. Random Number Generators: Good ones are hard to find// Comm. ACM. N.10. Vol. 32, 1988, P. 1192-1201.
RANDN — формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
| X = randn(n) | randn |
| X = randn(m, n) | randn(‘seed’) |
| X = randn(size(A)) | randn(‘seed’, x0) |
| -0.4326 | 0.2877 | 1.1892 | 0.1746 |
| -1.6656 | -1.1465 | -0.0376 | -0.1867 |
| 0.1253 | 1.1909 | 0.3273 | 0.7258 |
1. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice-Hall, 1977.
CROSS — векторное произведение
K = X х Y = [xij * Y] =
LINSPACE — формирование линейного массива равноотстоящих узлов
x = linspace(x1, x2)
x = linspace(x1, x2, n)
LOGSPACE — формирование узлов логарифмичесокй сетки
x = logspace(d1, d2)
x = logspace(d1, d2, n)
MESHGRID — формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
[X, Y] = meshgrid(x, y)
[X, Y] = meshgrid(x)
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z)
| j : k | A(i1 : i2, j1 : j2) |
| j : i : k | A(n1 : n2) |
Операции над матрицами
| X = diag(v) | v = diag(X) |
| X = diag(v, k) | v = diag(X, k) |
diag(-m : m) + diag(ones(2*m, 1), 1) + diag(ones(2*m, 1), -1)
| -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
L = tril(X)
L = tril(X, k)
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 4 | 5 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 4 | 5 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
U = triu(X)
U = triu(X, k)
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 0 |
FLIPLR — поворот матрицы относительно вертикальной оси
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
FLIPUD — поворот матрицы относительно горизонтальной оси
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 |
| 4 | 4 | 4 |
| 3 | 3 | 3 |
| 2 | 2 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
ROT90 — поворот матрицы на 90 градусов
B = rot90(A)
B = rot90(A, k)
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 |
| 2 | 5 |
| 1 | 4 |
| 6 | 5 | 4 |
| 3 | 2 | 1 |
RESHAPE — преобразование размеров матрицы
B = reshape(A, m, n)
B = zeros(m, n);
B( : ) = A;
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 3 |
| 1 | 3 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 4 |
| 2 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |
Специальные матрицы
COMPAN — сопровождающая матрица характеристического многочлена
| 0 | 7 | -6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
HADAMARD — матрица Адамара (Hadamard matrix)
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 |
- Ryser H. J. Combinatorial Mathematics. New York: John Wiley&Sons, 1963.
- Pratt W. K. Digital Signal Processing. New York: John Wiley&Sons, 1978.
- Golomb S. W., Baumert L. D. The search for Hadamard matrices//Amer. Math. Monthly. Vol. 70, 1963. P. 12-17.
HANKEL — матрица Ганкеля (Hankel matrix)
H = hankel(c)
H = hankel(c, r)
c = [1 2 3];
H = hankel(c)
H =
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
c = 1:3; r = 7:10; H = hankel(c, r)
Warning: Column wins anti-diagonal conflict.
> In d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat\hankel.m at line 27
H =
| 1 | 2 | 3 | 8 |
| 2 | 3 | 8 | 9 |
| 3 | 8 | 9 | 0 |
HILB, INVHILB — матрица Гильберта (Hilbert matrix)
H = hilb(n)
H = invhilb(n)
- ошибки, вызванные функцией hilb(n);
- ошибки, связанные с процедурой обращения;
- ошибки, вызванные функцией invhilb(n).
| 16 | -120 | 240 | -140 |
| -120 | 1200 | -2700 | 1680 |
| 240 | -2700 | 6480 | -4200 |
| -140 | 1680 | -4200 | 2800 |
| 0.0160 | -0.1200 | 0.2400 | -0.1400 |
| -0.1200 | 1.2000 | -2.7000 | 1.6800 |
| 0.2400 | -2.7000 | 6.4800 | -4.2000 |
| -0.1400 | 1.6800 | -4.2000 | 2.8000 |
1. Forsythe G. E., Moler C. B. Computer Solution of Linear Algebraic Systems. Prentice-Hall, 1967.
MAGIC — магический квадрат
1. Moler C. B. MATLAB’s magical mystery tour//The MathWorks Newsletter. 1993. Vol. 7(1). 2. Higham N. J. The Test Matrix Toolbox for MATLAB (version 3.0)//Numerical Analysis Report. Manchester, 1995. Vol. 276.