Постройте эскиз графика какой нибудь функции y f x обладающей указанными свойствами lim f x 5

График функции.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат — значения функции у = f (х).

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2, отрицательные — при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 — 2х принимает при х = 1.

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х₁, х₂, x₃ . х_k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Построить график какой-нибудь функции y=f(x) обладающей заданными свойствами a) Lim f(x)=3 (х с…

в)lim f(x)=4 (x стремится к -1) означает, что функция имеет предел в точке х=-1, равный 4.
f(-1) не существует значит точка (-1;4) выколота.
см. рисунок в приложении
г)lim f(x)=-1 (х стремится к 3) означает, что функция имеет предел в точке х=3, равный -1
функция в точке х=-1 не определена. Точка (-1;3) выколота.

lim f(x)= -5 (х стремится к +беск.) означает, что функция имеет асимптоту у=-5 на +∞
см. рисунок в приложении

Общая схема исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума
5. Взять вторую производную. Определить критические точки 2-го порядка, интервалы выпуклости и точки перегиба
6. Найти точки пересечения функции с осями координат (если уравнение \(f(x)=0\) не имеет аналитического решения, указать количество точек пересечения с осью OX)
7. Построить график функции

п.2. Примеры

Пример 1. Постройте график функции \(y=2x^3-6x^2-18x+7\)
1) Область определения \(x\in\mathbb\)
Точек разрыва нет

2) Четность \begin f(-x)=2(-x)^3-6(-x)^2-18(-x)+7\ne \left[ \begin f(x)\\ -f(x) \end \right. \end Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты: \begin b_1=\lim_2x^3-6x^2-18x+7=-\infty\\ b_2=\lim_2x^3-6x^2-18x+7=+\infty\\ \end Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: \begin k_1=\lim_\frac<2x^3-6x^2-18x+7>=+\infty\\ k_2=\lim_\frac<2x^3-6x^2-18x+7>=+\infty\\ \end Пределы бесконечны, наклонных асимптот нет.

4) Первая производная \begin f'(x)=2\cdot 3x^2-6\cdot 2x-18\cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\\ =6(x-3)(x+1)\\ f'(x)=0\ \text<при>\ \left[ \begin x=3\\ x=-1 \end \right. \end Критические точки: \(x=-1\) и \(x=3\)
Составляем таблицу:

\(x\)	\((-\infty;-1)\)	-1	(-1;3)	3	\((3;+\infty)\)
\(f'(x)\)	>0	0	<0	0	>0
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	max	\(\searrow\)	min	\(\nearrow\)

Функция возрастает при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\)
Функция убывает при \(x\in(-1;3)\)
Точка максимума \(x=-1;\ y_=f(-1)=-2-6+18+7=17\)
Точка минимума \(x=3;\ y_=f(3)=54-54-54+7=-47\)

5) Вторая производная: \begin f»(x)=(6x^2-12x-18)’=6\cdot 2x-12\cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\\ f»(x)=0\ \text<при>\ x=1 \end Критическая точка 2-го порядка: \(x=1\)
Составляем таблицу:

\(x\)	\((-\infty;1)\)	1	\((1;+\infty)\)
\(f»(x)\)	<0	0	>0
\(f(x)\)	\(\cap\)	перегиб	\(\cup\)

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;1)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(1;+\infty)\)
Точка перегиба \(x=1;\ f(1)=2-6-18+7=-15\)

6) Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью OY: \(x=0,\ y=7\)
Пересечение с осью OX: $$ 2x^3-6x^2-18x+7=0 $$ У кубической параболы точка максимума (-1;17), точка минимума (3;-47).
Т.к. \(y_\gt 0,\ y_\lt 0\) кубическая парабола пересекает ось OX в трех точках: $$ x_1\lt -1,\ \ -1\lt x_2\lt 3,\ \ x_3\gt 3 $$
7) График

Пример 2. Постройте график функции \(y=\frac3x+\frac x3\)
1) Область определения
ОДЗ: \(x\ne 0\)
\(x=0\) — точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: \begin \lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac<3><-0>+0=-\infty,\ \ \lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\frac<3><+0>+0=+\infty \end Пределы не равны и бесконечны. \(x=0\) — точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=\frac<3><-x>+\frac<-x><3>=-\left(\frac 3x+\frac x3\right)=-f(x) $$ Функция нечётная.
Периодов нет. Функция не периодическая.

3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота \(x=0\) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты \begin b_1=\lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(-\infty)=-\infty\\ b_2=\lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=0+(+\infty)=+\infty \end Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: \begin k_1=\frac1x \lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\lim_\left(<3>+\frac13\right)=0+\frac13=\frac13\\ k_1=\frac1x \lim_\left(\frac 3x+\frac x3\right)=\lim_\left(<3>+\frac13\right)=0+\frac13=\frac13\\ k=k_1=k_2=\frac13 \end Ищем b: $$ b=\lim_(y-kx)=\lim_\left(\frac3x+\frac x3-\frac x3\right)=\lim_\frac 3x=0 $$ Есть одна наклонная асимптота \(y=\frac 3x\)
Кривая стремится к ней на минус и плюс бесконечности.

\(x\)	\((-\infty;-3)\)	-3	(-3;0)	0	\((0;3)\)	3	\((3+\infty)\)
\(f'(x)\)	>0	0	<0	\(\varnothing\)	<0	0	>0
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	max	\(\searrow\)	\(\varnothing\)	\(\searrow\)	min	\(\nearrow\)

Функция возрастает при \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\)
Функция убывает при \(x\in(-3;0)\cup(0;3)\)
Точка максимума \(x=-3;\ y_=f(-3)=-1-1=-2\)
Точка минимума \(x=3;\ y_=f(3)=1+1=2\)

5) Вторая производная: \begin f»(x)=\frac13\left(1-\frac<9>\right)’=\frac13\left(0+\frac<9\cdot 2>\right)=\frac<6> \end Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: \(x=0\)
Составляем таблицу:

\(x\)	\((-\infty;0)\)	0	\((0;+\infty)\)
\(f»(x)\)	<0	\(\varnothing\)	>0
\(f(x)\)	\(\cap\)	\(\varnothing\)	\(\cup\)

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;0)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(0;+\infty)\)
Точек перегиба нет.

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с осью OY: \(x=0\notin D\) — не входит в ОДЗ, пересечений с OY нет
Пересечение с осью OX:
\(\frac3x+\frac x3=0\Rightarrow \frac<9+x^2><3x>=0\Rightarrow x\in \varnothing\) — решений нет, пересечений с OX нет

7) График

Пример 3*. Постройте график функции \(y=\frac<(x-1)^3>\)
Сколько корней имеет уравнение \(\frac<(x-1)^3>=a\)?

1) Область определения
ОДЗ: \(x\ne 1\)
\(x=1\) — точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<(x-1)^3>=\frac<1-4><(1-0-1)^3>=\frac<-3><-0>=+\infty\\ \lim_\frac<(x-1)^3>=\frac<1-4><(1+0-1)^3>=\frac<-3><+0>=-\infty \end Пределы не равны и бесконечны. \(x=1\) — точка разрыва 2-го рода.

2) Четность $$ f(-x)=\frac<(-x)^3-4><(-x-1)^3>\ne \left[ \begin f(x)\\ -f(x) \end \right. $$ Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая

\(x\)	\((-\infty;-2)\)	-2	(-2;1)	1	\((1;2)\)	2	\((2+\infty)\)
\(f'(x)\)	<0	0	>0	\(\varnothing\)	>0	0	<0
\(f(x)\)	\(\searrow\)	min	\(\nearrow\)	\(\varnothing\)	\(\nearrow\)	max	\(\searrow\)

Функция возрастает при \(x\in(-2;1)\cup(1;2)\)
Функция убывает при \(x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\)
Точка максимума \(x=2;\ y_=f(2)=\frac<2^3-4><(2-1)^3>=4\)
Точка минимума \(x=-2;\ y_=f(-2)=\frac<(-2)^3-4><(-2-1)^3>=\frac<-12><-27>=\frac49\)

\(x\)	\((-\infty;x_1)\)	\(x_1\)	\((x_1;1)\)	1	\((1;x_2)\)	\(x_2\)	\((x_2;+\infty)\)
\(f»(x)\)	<0	0	>0	\(\varnothing\)	<0	0	>0
\(f(x)\)	\(\cap\)	перегиб	\(\cup\)	\(\varnothing\)	\(\cap\)	перегиб	\(\cup\)

Функция выпуклая вверх при \(x\in(-\infty;x_1)\cup(1;x_2)\)
Функция выпуклая вниз при \(x\in(x_1;1)\cup (x_2;++\infty)\)
Точки перегиба: $$ \begin x=\frac<-1-\sqrt<33>><2>\approx -3,37\\ y\approx 0,51 \end,\ \ \begin x=\frac<-1+\sqrt<33>><2>\approx 2,37\\ y\approx 3,62 \end $$
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: \(x=0,\ y=\frac<0^3-4><(0-1)^3>=4\)
Пересечение с осью OX:
\(\frac<(x-1)^3>=0\Rightarrow x=\sqrt[3]<4>,\ y=0\)

7) График

Чтобы узнать количество корней уравнения \(\frac<(x-1)^3>=a\), нужно снизу вверх двигать горизонталь \(y=a\) и считать количество точек её пересечения с графиком функции.
Последовательно, получаем:
\(a\lt\frac<12><27>\) — один корень
\(a=\frac49\) – два корня
\(\frac49\lt a\lt 1\) — три корня
\(a=1\) – два корня
\(1\lt a\lt 4\) – три корня
\(a=4\) — два корня
\(a\gt 4\) — один корень

Ответ:
\(a\lt\frac49\cup a\gt 4\), один корень
\(a=\left\<\frac49;1;4\right\>\), два корня
\(\frac<12><27>\lt 1\lt 1\cup 1\lt a\lt 4\), три корня

Пример 4*. Постройте график функции \(y=sin^4⁡x+cos^4⁡x\), используя правила преобразования тригонометрических функций и с помощью стандартной процедуры исследования функции

1) Область определения \(x\in\mathbb\)

2) Четность $$ f(-x)=sin^4(-x)+cos^4(-x)=sin^4x+cos^4x=f(x) $$ Функция четная.

Чтобы найти период, преобразуем тригонометрическое выражение, применяя формулы понижения степени (см. §15 данного справочника): \begin sin^4x+cos^4x=\left(\frac<1-cos2x><2>\right)^2+\left(\frac<1+cos2x><2>\right)^2=\\ =\frac14(1-2cos2x+cos^2 2x+1+2cos2x+cos^2 2x)=\frac<1+cos^2 2x><2>=\\ =\frac12\left(1+\frac<1+cos4x><2>\right)=\frac<3+cos4x> <4>\end Функция периодическая с периодом \(T=\frac<2\pi><4>=\frac \pi 2\)
Исходя из полученного выражения и применяя правила преобразования графиков тригонометрических функций (см. §8 данного справочника), можно сразу получить результат. $$ y=\frac<3+cos4x><4>=\frac34+\frac14 cos4x $$ Цепочка преобразований: $$ x \xrightarrow1 4x\xrightarrow2 cos4x \xrightarrow3 \frac14\xrightarrow4 \frac34+\frac14 cos4x $$ Пошагово получаем:
1. Умножение аргумента на 4 приводит к уменьшению периода в 4 раза \(T=\frac\pi 2\)
2. Косинус – функция четная, при \(x=0,\ cos⁡4x=1\), остальные единицы будут через период: \(x=\frac<\pi k><2>,\ cos⁡4x=1\). Соответственно: \(x=\frac\pi 4+\frac<\pi k><2>0\ ,cos⁡4x=-1\).
Нули функции: \(x=\frac\pi 8+\frac<\pi k><4>,\ cos⁡4x=0\).
3. Умножение на \(\frac14\) уменьшает амплитуду косинусоиды в 4 раза: \(-\frac14\leq\frac14 cos4x\leq \frac14\)
4. Прибавление \(\frac34\) перемещает график на \(\frac34\) вверх: \(\frac12\leq\frac34+\frac14 cos4x\leq 1\)

Получаем график:

Продолжим стандартное исследование функции.

3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. нет пределов на бесконечности.
3. Наклонных асимптот нет, т.к. на бесконечности отношение ограниченной тригонометрической функции к бесконечному x дает \(k=0\).

4) Первая производная:
Исследуем промежуток, равный одному периоду \(T=\frac\pi 2,\ 0\leq x\leq\frac\pi 2\) \begin f'(x)=(sin^4 x+cos^4 x)’=\left(\frac<3+cos4x><4>\right)’=0-\frac14\cdot 4\cdot sin4x=-sin4x\\ sin4x=0\Rightarrow 4x=\pi k\Rightarrow x=\frac<\pi k> <4>\end Критические точки: \(x=\frac<\pi k><4>\). На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем три точки \(x=\left\<0;\frac\pi 4;\frac\pi 2\right\>\)

\(x\)	0	\(\left(0;\frac\pi 4\right)\)	\(\frac\pi 4\)	\(\left(\frac\pi 4;\frac\pi 2\right)\)	\(\frac\pi 2\)
\(f'(x)\)	0	<0	0	>0	0
\(f(x)\)	1 max	\(\searrow\)	\(\frac12\) min	\(\nearrow\)	1 max

Функция убывает при \(x\in\left(\frac<\pi k><2>;\frac\pi 4+\frac<\pi k><2>\right)\)
Функция возрастает при \(x\in\left(\frac\pi 4+\frac<\pi k><2>;\frac\pi 2+\frac<\pi k><2>\right)\)
Точки минимума \(x=\frac\pi 4+\frac<\pi k><2>;\ y_=\frac12\)
Точки максимума \(x=\frac<\pi k><2>;\ y_=1\)

5) Вторая производная: \begin f»(x)=(-sin4x)’=-4cos4x\\ cos4x=0\Rightarrow 4x=\frac\pi 2+\pi k\Rightarrow x=\frac\pi 8+\frac<\pi k> <4>\end Критические точки 2-го порядка: \(x=\frac\pi 8+\frac<\pi k><4>\).
На периоде \(T=\frac\pi 2\) получаем две точки \(x=\left\<\frac\pi 8;\frac<3\pi><8>\right\>\)

\(x\)	\(\left(0;\frac\pi 8\right)\)	\(\frac\pi 8\)	\(\left(\frac\pi 8;\frac<3\pi><8>\right)\)	\(\frac<3\pi><8>\)	\(\left(\frac<3\pi><8>;\frac\pi 2\right)\)
\(f»(x)\)	<0	0	>0	0	<0
\(f(x)\)	\(\cap\)	перегиб	\(\cup\)	перегиб	\(\cap\)

Функция выпуклая вниз при \(x\in\left(\frac\pi 8+\frac<\pi k><2>;\frac<3\pi><8>+\frac<\pi k><2>\right)\)
Функция выпуклая вверх при \(x\in\left(-\frac\pi 8+\frac<\pi k><2>;\frac\pi 8+\frac<\pi k><2>\right)\)
Точки перегиба: \( x=\frac\pi 8+\frac<\pi k><4>,\ y=\frac<3+cos4\cdot \left(\frac\pi 8+\frac<\pi k><4>\right)><4>=\frac<3+0><4>=\frac34 \)

6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: \(x=0,\ y_=1\)
Пересечение с осью OX: т.к. функция ограничена \(\frac12\leq y\leq 1\), пересечений с OX нет.

7) График

График тот же, что и полученный с помощью правил преобразований графиков тригонометрических функций. Добавились только точки перегиба.