Почему 1 n расходится

Гармонический ряд

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда [1] :

$\sum_<k=1>^\mathcal <1>\frac<1><k>=1 + \frac<1> <2>+ \frac<1> <3>+ \frac<1> <4>+ \cdots +\frac<1> <k>+ \cdots » width=»» height=»» />. Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: <img decoding=$ -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной $\frac<1><k>» width=»» height=»» /> от длины исходной струны. [2] <h3>Содержание</h3> <h3>Сумма первых n членов ряда</h3> Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число: <img decoding=$ $\begin<matrix>s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac<3> <2>&=& 1<,>5 \\\\ s_3 &=& \frac<11> <6>&\approx& 1<,>833 \\\\ s_4 &=& \frac<25> <12>&\approx& 2<,>083\end<matrix>» width=»» height=»» /></td> <td><img decoding=$

где $\gamma = 0<,>5772. \!» width=»» height=»» /> — постоянная Эйлера — Маскерони, а <img decoding=$ — натуральный логарифм.

При $n\rightarrow \infty \!$ значение $\varepsilon _n \rightarrow 0 \!$ , следовательно, для больших n:

$s_n\approx \ln(n) + \gamma$ — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

$n \!$	$s_n=\sum_<k=1>^n \frac<1> <k>\!» width=»» height=»» /></td> <td><img decoding=$	$\varepsilon _n \!$ , (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

$s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac<1> <2n>— \frac<1> <12n^2>+ \frac<1> <120n^4>— \frac<1> <252n^6>\dots = \ln(n) + \gamma + \frac<1> <2n>— \sum_<k=1>^ <\infty>\frac<B_<2k>><2k\,n^<2k>>» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ при $n\rightarrow \infty$

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

$v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac<1><n>\right)\underset<+\infty> <\sim>\frac <1><n>» width=»» height=»» />, частичная сумма которого, очевидно, равна: <img decoding=$

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым [3] .

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд [1] [4]

$\sum_<k=1>^\infty \frac<1><k^\alpha>=1 + \frac<1> <2^\alpha>+ \frac<1> <3^\alpha>+ \frac<1> <4^\alpha>+ \cdots +\frac<1> <k^\alpha>+ \cdots » width=»» height=»» />. Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1 [4] . Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана: <img decoding=$

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

$\sum_<n = 1>^\infty \frac<(-1)^<n + 1>> <n>\;=\; 1 \,-\, \frac<1> <2>\,+\, \frac<1> <3>\,-\, \frac<1> <4>\,+\, \frac<1> <5>\,-\, \cdots » width=»» height=»» /> сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2: <img decoding=$ Подмена сайта как называется

Поле мемо в access как сделать

Попытки создать календарь которым можно

Поставщику не удалось выполнить действие так как запрошено выполнение в автоматическом контексте

Почему 1 n расходится

Гармонический ряд

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Добавить комментарий Отменить ответ