Известно что уравнение прямой проходящей через две точки а и в имеет вид

Уравнение прямой через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки и .

Приняв в (3) точку за , получим

Определяя из последнего равенства и подставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:

Это уравнение, если , можно записать в виде

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Если , то уравнение искомой прямой имеет вид . В этом случае прямая параллельна оси . Если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси , ее уравнение имеет вид .

Примеры с решением

Пример 1:

Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Подставляя данные координаты точек и в соотношение (4), получаем искомое уравнение прямой:

или

Пусть имеются две точки и . Определить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Одна из этих прямых проходит также через точку . В этом случае можно записать:

Из полученного уравнения определяем угловой коэффициент искомой прямой.

Подставив полученную формулу для углового коэффициента в уравнение пучка прямых, найдем

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записывают в виде

Пример 2:

Составить уравнение прямой, проходящей через точки: а) и , б) и .

Решение:

а) Подставив данные примера в (3.15), найдем , или . Решив последнее уравнение относительно , получим

б) подставив данные в (3.15), получим . Так как знаменатель в правой части равен нулю, а на ноль делить нельзя, то эта прямая параллельна оси , что и следует из рис. 3.20. Уравнение искомой прямой имеет вид .

Пример 3:

Определить площадь треугольника с вершинами , и при (рис. 3.21).

Решение:

Площадь треугольника определяем по формуле

где — высота треугольника. Неизвестными здесь являются координат . Их можно найти как точку пересечения прямой, проходящей через точки и , и перпендикулярной к ней прямой, проходящей через точку Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

а ее угловой коэффициент определяется формулой

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки и , можно представить в виде

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к рассматриваемой, определяем по формуле

Уравнение данной прямой имеет вид

Координаты точки находим из системы двух линейных уравнений:

Вычитая из второго уравнения первое, получим

Для условий примера имеем

Уравнение прямой

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x	+	y	= 1
a		b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1
x 2 — x 1		y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0	=	y — y 0
l		m

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1	=	z — z 1
x 2 — x 1		y 2 — y 1		z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0	=	y — y 0	=	z — z 0
l		m		n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии , страница 4

3. Получаем формулу или уравнение, связывающее текущие координаты и какие-либо постоянные.

Подобный подход, повторяющийся от формулы к формуле, приводил к так называемым каноническим уравнениям (от слова канон – повтор).

7.2. Уравнения прямой на плоскости

1. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку А(Х_а, Y_а) параллельно данному вектору l(m, n). Этот вектор называется направляющим для прямой L.

Дано: точка А(Х_а, Y_а), через которую проходит прямая L. Вектор l(m,n) || L

Найти: уравнение прямой L.

Решение: Сделаем чертеж (рис. 7.1).

1. Берем текущую точку М (Х, Y) на прямой L.

2. Составляем вектор АМ (Х–Х_а, Y–Y_а).

Сравниваем векторы АМ и l. Они параллельны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

Этомууравнению будут подчиняться только точки, лежащие на рассматриваемой прямой, и не будут удовлетворять точки, находящиеся вне ее. Именно это уравнение называют каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки А (Х_а, Y_а) и В (Х_b,Y_b) составляется аналогично. В качестве направляющего вектора здесь берется вектор АВ (Х_в–Х_а , Y_b–Y_а) (рис. 7.2).

3. Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно данному вектору N (A, B) (рис. 7.3).

Для вывода этого уравнения учитывается, что векторы N и будут перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю. По формуле 6.6 из предыдущего параграфа составляем скалярное произведение в координатной форме и приравниваем его нулю:

Ему также будут отвечать только координаты точек, лежащих на прямой.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку А (Х_а, Y_а) в заданном направлении.

Направление прямой можно задать с помощью углового коэффициента k, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ ( рис.7.4). Тогда , где (Х, У) – координаты текущей точки. Разрешая это уравнение относительно , получим уравнение в виде:

5. Общее уравнение прямой на плоскости.

Если все предыдущие уравнения привести к общему знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные члены, то в результате этих преобразований получим уравнение вида:

Оно называется общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы убедиться, что такое уравнение описывает именно прямую, преобразуем его еще раз и запишем так:

– а это уравнение прямой, проходящей через точку (0, –С/В), перпендикулярно вектору с координатами (А, В), которое мы выводили.

Поэтому, любое уравнение первой степени относительно текущих координат описывает на плоскости прямую.

При решении задач по аналитической геометрии следует внимательно читать условие, которым задается прямая. Все остальное – дело техники.

Пример 7.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
А(1, –3), параллельно вектору а(4, –7).

Решение. Воспользуемся уравнением 1, потому что именно в нем фигурирует точка и параллельный вектор. Получим:

что после приведения к общему знаменателю дает:

Раскрываем скобки, приводим подобные, получаем уравнение в общем виде:

Пример 7.2. Прямая проходит через точки А(3, 5) и В(4, 7). Будет ли точка K(1, 1) лежать на этой прямой?

Решение. Можно решить эту задачу чисто геометрически: построить точки А и В в Декартовой системе координат, соединить их прямой и посмотреть, будет ли точка K принадлежать этой прямой. А можно составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В, затем подставить в него координаты точки K и посмотреть, что получится. Если равенство – точка принадлежит прямой, если нет – не принадлежит.

Пойдем вторым путем. Уравнение прямой (АВ) будет составляться как уравнение прямой, проходящей через две точки:

или после приведения к общему знаменателю

Подставим в него K(1, 1), получим:

2(1 – 3)=(1 – 5), т.е. –4 = –4.

и это верно. Вывод: точка K принадлежит прямой (АВ). Подкрепим свой вывод чертежом (рис. 7.5).

Пример 7.3. Из точки M(3; 2) выходит луч света под углом к оси OX. Найти уравнения падающего и отраженного лучей (рис. 7.6).

Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L₁ проходит через точку M с угловым коэффициентом.

Тогда используя уравнение (7.4), получим

Это уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L₂, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k₂. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L₁ и оси Ox:

т.е. K(2;0). Угловой коэффициент k₂ найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

7.3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Очень часто при решении задач по аналитической геометрии приходится выяснять, пересекаются прямые или нет, и если да – то в какой точке и под каким углом. Ответим на этот вопрос.

Пусть две прямые L и L заданы своими общими уравнениями:

Какую информацию несут коэффициенты и ? Это координаты перпендикулярных (нормальных) векторов к обеим прямым (см. «уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору»).

Для того чтобы определить, будут ли они пересекаться, нужно решить систему уравнений (7.6). Вспомните, когда система будет совместна и определена. Когда главный определитель отличен от нуля, т.е. когда его строки непропорциональны: . Тогда система будет иметь единственное решение, которое можно найти любым методом (Крамера, Гаусса и т.д.).