Имеется 10 белых и 5 черных шаров сколькими способами можно выбрать 7 шаров из которых 3 черные

Комбинаторика и теория вероятностей

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Курс повышения квалификации

Практические аспекты применения современных технологий при обучении школьников математике в рамках ФГОС ООО

• Сейчас обучается 27 человек из 20 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогические основы деятельности учителя общеобразовательного учреждения в условиях ФГОС

Курс повышения квалификации

Основы общей и педагогической психологии в деятельности педагога образовательного учреждения

«Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n! задачи

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов Теорема: число размещений из n по m равно задачи

Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов Теорема: Число сочетаний из n по m равно Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

Задачи 1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7 3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3 2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Дополнительные задачи по комбинаторике

1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр? Задачи

1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных. Способов выбора былых шаров Способов выбора черных шаров По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй- не более 9 человек ? Подгруппа из 3 человек Подгруппа из 4 человек Подгруппа из 5 человек Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно: Задачи

Теория вероятностей Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания. N – число всех исходов испытания М – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности: 1) Вероятность достоверного события равна 1 2) Вероятность невозможного события равна 0 3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Задачи по теории вероятностей 1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ? N=10; М=6; А- Извлечение белого шара N=10; М=4; А- Извлечение черного шара задачи

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый N=10; М=2 N=10; М=4 N=10; М=4 N=10; М=0 Задачи

События Невозможные – это события, которые не могут произойти в данных испытаниях Достоверные – это события, которые обязательно произойдут в данных испытаниях Случайные – это события, которые могут произойти, а могут не произойти в данных испытаниях

Статистическая и геометрическая вероятности Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу , равна 1.

Теорема сложения вероятностей Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Условной вероятностью — называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили: Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn-1(Аn); РА1А2А3…Аn-1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn-1 произошли Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Случайные события. Операции над событиями Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть). Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами). Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

Случайные события Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного). События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).

Случайные события Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А). Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).

Операции над событиями Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар

Формула полной вероятности. Формула Байеса Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую условную вероятность события А : Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим события В1, В2, В3,…,Вn которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них Вi событие А может наступать с некоторой условной вероятностью Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А Сколько бы не было вероятностей:

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:

Формула Бернулли Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0<Р<1) , событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли q=1-p ; q- вероятность противоположного события или

Асимптотические формулы Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно. Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции

Асимптотические формулы. Распределение Пуассона Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна

1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

Элементы комбинаторики

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

= = = = 5 = 210 (способов).

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

= = =13 = 2780 (способов).

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

= = = 2 = 120 (способов).

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0

х 2 – 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Р₁₀ = 10! =1 — расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

Если не нужен словарь, то

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Решение: Р₇ – Р₆ = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

1. n=5, то = 10 (диагоналей)
2. n=12, то = 66 (диагоналей)
3. n=8, то = 28 (диагоналей)
4. n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)

№ 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?

Решение: Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных пятизначных чисел)

№ 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?

Решение: 4! = 1 3 — перестановок начинаются цифрой 5.

3! = 1 3 6 — перестановок начинаются цифрой 12.

2! = 1 перестановок начинаются с цифрами 123.

№ 18. Среди сочетаний из 10 букв a, b, c, . по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

= = 63 (сочетаний не содержат букву a)

= = 140 (сочетаний не содержат букву a и b)

№ 19. Среди размещений из 12 букв a, b, c, . по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

Решение: — = — = – = =7 = 83160 (размещений)

– = – = – = =720(132 – 1) = 94320 (размещений)

Ответ: 83160; 94320.

№ 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

22. Варианты самостоятельных работ

1. Решить уравнение

2. Найти шестой член разложения .

Ответ: .

3. Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?

Ответ: .

4. В шахматном турнире участвуют шесть студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьники, если никакие два участника не набрали одинаковое число очков?

Ответ: .

5. Сколько делителей у числа 105?

Ответ: Разложим число 105 на простые множители . Тогда , или по формуле (7.3) получаем .

6. На вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары на танец?

Ответ: .

7. Сколько ожерелий можно составить из 7 бусинок различных размеров (надо использовать все бусинки)?

Ответ: Т. к. ожерелье остается неизменным при циклических перестановках бусинок и при переворачивании, то можно получить 7!/14=360 видов ожерелий.

8. В первой урне находятся 4 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что все шары будут белые.

Ответ: .

9. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 не будут использованы.

Ответ: .

10. Семь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что книги трехтомника окажутся рядом в возрастающем порядке.

Ответ: .

11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны 0,6, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.

1. Решить уравнение .

2. В разложении вычислить член, не содержащий x.

Ответ: .

3. На плоскости проведены n прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

Ответ: .

4. Сколькими способами можно разложить 12 различных марок между тремя мальчиками, если один берёт 6 марок, а остальные – по 3 марки?

Ответ: .

5. Сколько делителей у числа 360?

Ответ: Поскольку , то в соответствие с формулой (7.3) получаем (3+1)(2+1)(1+1)=24 делителей.

6. В избушке на курьих ножках собрались Баба-Яга, Кощей и Леший. У Бабы-Яги есть 4 чашечки, 5 блюдец и 6 чайных ложечки (все чашки, блюдца и ложечки отличаются друг от друга). Сколькими способами она может накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложечку)?

Ответ: .

7. Шесть девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут организовать хоровод?

Ответ: Т. к. хоровод остается неизменным при циклических перестановках девушек, то можно получить 6!/6=120 способов.

8. В урне находятся 5 белых и 3 черных шаров, из которой случайно по порядку с возвращением вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что первые два шара будут белые, а последние два черные.

Ответ: .

9. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 вопроса из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответ на все вопросы?

Ответ: .

10. Случайным образом выписаны 3 цифры. Найти вероятность того, все цифры различные.

Ответ: .

11. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

1. Решить уравнение .

2. Раскрыть скобки в выражении .

Ответ: .

3. Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятёрки?

Ответ: .

4. На пять сотрудников университета выделены три путёвки на один курорт. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.

Ответ: а) , б) .

5. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А ели среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т. е. двух королей, двух десяток и т. д.?

Ответ: Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Всего . Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений; их число .

6. Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов, если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различными)?

Ответ: Осуществляя выбор сверху вниз, получаем способов.

7. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду в составе 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более 3 юношей?

Ответ: .

8. Автобус должен сделать 8 остановок, в котором едут 5 пассажиров. Какова вероятность, что на каждой остановке выйдет не более одного пассажира, если предположить, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любой остановке?

Ответ: .

9. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».

Ответ: .

10. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.

Ответ: .

11. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

1. Решить уравнение .

2. Найти член разложения , содержащий x3 .

Ответ: .

3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?

Ответ: .

4. Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трёх гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

5. На призывном пункте находится 15 призывников. Сколькими способами можно поставить в колонну по три человека?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если определенные два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

Ответ: .

7. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

Ответ: .

8. 8 вариантов контрольной работы случайным образом распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 7 и 8 не будут использованы?

Ответ: .

9. В первой урне находятся 5 оранжевых и 4 фиолетовых шара, во второй – 3 оранжевых и 7 фиолетовых шара. Из каждой урны случайным образом вынули по три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.

Ответ: .

10. В журнале из 20 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом одинаковую рекламу некоторой фирмы. Какова вероятность, что эта реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой?

Решение: В данной задаче порядок размещения рекламы неважен. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Общее число размещений рекламы в журнале . Если реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой, то эти страницы можно считать за одну. Тогда число страниц будет равно 18, следовательно, и число благоприятствующих исходов будет равно m=18. Таким образом, .

11. В ОТК поступают 4 детали. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Проверка производится последовательно до обнаружения бракованной детали. Найти вероятность того, что будут проверены все 4 детали.

1. Уравнение .

Ответ: .

2. Найти показатель степени бинома , если его четвёртый член не зависит от a.

Ответ: .

3. На складе имеются 7 ящиков с различными фруктами и 5 ящика с различными овощами. Сколькими способами можно каждой из трёх овощных палаток выдать по одному ящику с фруктами и овощами?

Ответ: .

4. Сколькими способами 6 одинаковых монет могут распределить между собой Буратино, лиса Алиса и кот Базилио?

Ответ: .

5. В команду должны быть отобраны 4 спортсмена из имеющихся 10. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?

Ответ: .

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях будет ровно один туз?

Ответ: .

7. Пассажирский поезд состоит из четырех багажных вагонов и десяти купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале или конце?

Ответ:

8. Собрание, на котором присутствуют 12 человек, в том числе 7 женщин, выбирают председателя, его первого и второго заместителя. Найти вероятность того, что председатель и его заместители будут женщинами, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.

Ответ: .

9. В урне находятся 5 зелёных и 3 жёлтых шара. Из урны случайным образом вынули три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.

Ответ: .

10. 10 вариантов контрольной работы распределяется среди случайным образом среди 10 студентов, сидящих в один ряд. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.

Ответ: .

11. Два охотника одновременно и независимо друг от друга стреляют по зайцу. Найти вероятность того, что попадёт только один из охотников, если вероятность попадания для первого охотника равна 0,8, а для второго – 0,7.

Ответ: .

1. Уравнение .

Ответ: .

2. Найти средний член разложения .

Ответ: .

3. В пространстве даны 7 точек, причем никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти 7 точек?

Ответ: .

4. Эллочка Людоедка решила расставить семь различных книг на полке. Сколькими способами она может это сделать, если две наиболее красивые книги (по её мнению) в красном переплёте должны стоять по краям?

Ответ: .

5. В первенстве края по футболу участвуют 12 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 3 определенные команды?

Ответ: .

6. Сколькими способами декан может раздать 7 поручений 4 студентам?

Ответ: .

7. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащее на одной вертикали или горизонтали?

Ответ: .

8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Тяня, окажутся в одной подгруппе?

Решение: В данной задаче порядок неважен, т. е. не принимается во внимание порядок отбора студентов в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 18 студентов на две подгруппы достаточно выбрать, например, 12 студентов в одну подгруппу, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений студентов на две подгруппы будет равно . Для того, чтобы разбить команды на две подгруппы с указанными условиями, можно к Оле и Тане добавить либо 10 студентов из оставшихся 16 (это можно сделать способами ), либо добавить 4 студентов из 16 ( способов). Оставшиеся студенты будут образовывать другую подгруппу. Таким образом, число благоприятствующих исходов будет равно . В результате, получаем .

9. В газете из 16 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом разные объявления. Какова вероятность, что эти объявления будут размещены на страницах, идущих одна за другой?

Ответ: .

10. В одной урне 3 зелёных и 4 жёлтых шаров, в другой – 6 зелёных и 2 жёлтых шара. Из каждой урны взяли по два шара. Какова вероятность того, что все шары будут одного цвета?

Ответ: .

11. Студент знает 5 вопросов из 12. Какова вероятность того, что он получит зачет, если нужно ответить на все три задаваемых вопроса?

Ответ: .

1. Решить уравнение .

2. Найти член разложения , содержащий x–1.

Ответ: .

3. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?

Ответ: .

4. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «парабола»?

Ответ: .

5. Труппа состоит из 10 человек. Сколькими способами можно выбирать из неё в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

Ответ: .

6. Сколькими способами Буратино, лиса Алиса и кот Базилио могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет и 2 разных брильянтовых ожерелья?

Ответ: .

7. Сколькими способами можно разложить 9 книг по 3 бандеролям по 3 книги в каждой (порядок бандеролей не принимать во внимание)?

Ответ: .

8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Таня, окажутся в разных подгруппах?

Ответ: Решается аналогично задаче 8 предыдущего варианта .

9. Три охотника стреляют по 7 уткам. Каждый из охотников выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все охотники выстрелят по разным уткам.

Ответ: .

10. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: м, м, а, а. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «мама».

Ответ:

11. Вероятность боя стеклянной тары при погрузке на автомашины равна 0,03, а при транспортировке – 0,07. Какова вероятность боя стеклянной тары?

Ответ: .