Независимость событий
Важным понятием в теории вероятностей является понятие независимости событий. Пусть (Q, йй, Р) — произвольное вероятностное пространство. События Л и В, принадлежащие 2Й, называются независимыми, если
Если события А и В независимы, то
т.е. условная вероятность события Л, в предположении, что наступило событие В, равна безусловной вероятности Р(Л) события Л. Покажем, что если события А и В независимы, то независимыми будут и события Л, В.
что и требовалось доказать.
Аналогично можно показать, что из независимости событий Л и В следует независимость событий Л и В, А и В.
Пример 1.31. Рассмотрим события Л =
т.е. Л и В являются зависимыми событиями.
События А ь Л2. Ап называются попарно независимыми, если любые два из них независимы.
Теория вероятности. Часть 2
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .
Независимые события. Умножение вероятностей.
1. Выясните, являются ли события A и B независимыми, если P(A) = 0,7, P(B) = 0,3, P(AB) = 0,21.
2. Выясните, являются ли события A и B независимыми, если P(A) = 0,5, P(B) = 0,9, P(AB) = 0,4.
3. Отметьте варианты, в которых события А и B НЕ являются независимыми
P(A) = 0,5; P(B) = 0,9; P(AB) = 0,45
P(A) = 0,6; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,4
P(A) = 0,5; P(B) = 0,45; P(AB) = 0,22
P(A) = 0,25; P(B) = 0,8; P(AB) = 0,2