Как записать логарифм

Что такое Логарифм

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

, потому что

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;

Формулы перехода к новому основанию:

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Пример 2

ОДЗ логарифма

Как определить Область Допустимых Значений логарифма:

Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

Свойства логарифмической функции :

• E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
• область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
• её график всегда проходит через точку (1;0);
• она не считается ни чётной, ни нечётной;
• у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
• она не ограничена ни сверху, ни снизу;
• если 0<а<1 => функция убывает, а если a>1 => функция возрастает.

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_<4>(4) \lt log_<4>(6) \lt log_<4>(16);$$ $$ 1 \lt log_<4>(6) \lt 2. $$

Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

• Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
• Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
• \(x\) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)

• Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
• Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(3^1\), чтобы получить \(3^2\) $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^<1*x>=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
• Вот мы и решили: $$log_<3>(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac<1><125>=\frac<1><5^3>=5^<-3>;$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(5^1\), чтобы получить \(5^<-3>\): $$ (5^1)^x=5^<-3>, $$ $$ 5^<1*x>=5^<-3>,$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
• Получили ответ: $$ log_<5>(\frac<1><125>)=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(2^6\), чтобы получить \(2^<2>\): $$ (2^6)^x=2^<2>, $$ $$ 2^<6*x>=2^<2>,$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac<2><6>=\frac<1><3>.$$
• Получили ответ: $$ log_<64>(4)=\frac<1><3>.$$

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(2^3\), чтобы получить \(2^<0>\): $$ (2^3)^x=2^<0>, $$ $$ 2^<3*x>=2^<0>,$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac<0><3>=0.$$
• Получили ответ: $$ log_<8>(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= . ;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_<5>(15).$$

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — \(lg(a)\).

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение — \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Логарифм (понятие).

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log_α b, равнозначно решению уравнения a x =b.

log₂ 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма, когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.

Вычисление логарифма именуют логарифмированием. Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование — это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log₇2, ln√5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log_-33.2, log_-1-4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма. Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log_α b , называемое основным логарифмическим тождеством, которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1. Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log_α b может существовать лишь при b=1, но при этом log₁ 1 будет любым действительным числом. Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1.

Докажем необходимость условия a>0. При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0. И соответственно тогда log₀0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0.

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0, поскольку x=log_α b, а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями, которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.