Как найти площадь и периметр прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник формулы

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой (90°).

Другие виды треугольников:

Любой прямоугольный треугольник характеризуется катетами a и b и гипотенузой c (см. рисунок).

Катет – это сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол с другой стороной (также катетом).

Гипотенуза – это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Именно эти характеристики используются в формулах прямоугольного треугольника при вычислении площади, периметра, а также радиусов вписанной и описанной окружностей.

Формула радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус вписанной окружности r можно вычислить, зная стороны прямоугольного треугольника:

Формула радиуса описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности R можно вычислить, зная гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формула периметра прямоугольного треугольника

Периметр P прямоугольного треугольника можно получить, зная его стороны:

При вычислении площади прямоугольного треугольника часто требуется знать его полупериметр:

p = P/2 = (a + b + c)/2

Формулы площади прямоугольного треугольника

При вычислении площади прямоугольного треугольника можно пользоваться формулами, которые применяются для вычисления площади произвольного треугольника, так как прямоугольный треугольник является частным случаем для треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника S можно вычислить, зная его катеты a и b:

Еще одна формула позволяет вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам a и b и полупериметру p (формула Герона):

Поделитесь статьей с одноклассниками «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК формулы площади, периметра, радиуса».

Формулы треугольника: площадь, периметр и примеры задач + обсуждение

формула треугольника

В математике нас учат различным формам. Один из них — треугольник. Форма треугольника — это самая простая форма среди различных типов фигур.

Треугольник образован тремя сторонами с тремя углами, ограниченными отрезком. Также общий угол треугольника составляет 180 градусов.

Есть несколько типов треугольников. В зависимости от длины сторон бывают равносторонние треугольники с равной длиной сторон, равнобедренные треугольники с двумя равными сторонами ног и любой треугольник с разной длиной трех сторон.

Между тем, исходя из угла, существует острый треугольник с углом менее 90 градусов, тупой треугольник с одним углом более 90 градусов и прямоугольный треугольник с одним углом 90 градусов.

Что касается треугольников, необходимо знать несколько компонентов, включая площадь и периметр треугольника. Ниже приводится объяснение площади и периметра треугольника вместе с примером проблемы.

Площадь Треугольника

формула треугольника

Площадь, площадь или площадь — это величина, которая выражает двумерный размер, а именно часть поверхности, четко обозначенную замкнутой кривой или линией.

Площадь треугольника равна размеру самого треугольника. Ниже приводится формула площади треугольника:

формула площади треугольника

где L — площадь треугольника (см 2 ), a — основание треугольника (см), а h — высота треугольника (см).

Пример площади треугольника.

Пример проблемы 1

Есть острый треугольник с длиной основания a = 10 см и высотой h = 8 см. Вычислите площадь треугольника.

Также прочтите: Животные: характеристики, типы, примеры [ПОЛНОЕ объяснение]

Решение:

Если: a = 10 см, h = 8 см

Разыскивается: Площадь треугольника?

Ответ:

= 40 см2

Итак, площадь острого треугольника 40 см2.

Пример проблемы 2

Прямоугольный треугольник имеет основание 15 см и высоту 20 см. Найдите и вычислите площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Если: a = 15 см, h = 20 см

Разыскивается: Площадь треугольника?

Ответ:

= 150 см2

Итак, площадь прямоугольного треугольника составляет 150 см2.

Пример проблемы 3

Тупой треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см, тогда какова площадь треугольника?

Решение:

Если: a = 8 см, h = 3 см

Разыскивается: Площадь треугольника?

Ответ:

= 12 см2

Итак, площадь тупого треугольника составляет 12 см2.

Пример задачи 4

Равнобедренный треугольник с такой же длиной стороны составляет 13 см, а основание треугольника — 10 см. Какова площадь равнобедренного треугольника?

Решение:

Вы знаете: s = 13 см, a = 10 см

Разыскивается: Площадь треугольника?

Ответ:

Высота треугольника неизвестна, поэтому мы используем формулу Пифагора, чтобы найти высоту треугольника:

Так как высота треугольника известна, то:

= 60 см2

Итак, площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2.

Периметр треугольника

формула периметра треугольника

Периметр — это количество сторон двумерной формы. Итак, периметр треугольника — это сумма сторон самого треугольника.

Вот формула периметра треугольника:

формула периметра треугольника

где K — периметр треугольника (см), а a, b, c — длины сторон треугольника (см).

Пример периметра треугольника

Пример проблемы 1

У равностороннего треугольника длина сторон 15 см. Каков периметр треугольника?

Решение:

Вы знаете: длина стороны = 15 см.

Ответ:

K = сторона a + сторона b + сторона c

поскольку это равносторонний треугольник, длины трех сторон равны.

= 45 см

Итак , периметр равностороннего треугольника 45 см.

Также прочтите: Социальное взаимодействие — полное определение и объяснение

Пример проблемы 2

У произвольного треугольника стороны 3 см, 5 см и 8 см. Вычислите периметр треугольника.

Решение:

Вы знаете: a = 3 см, b = 5 см и c = 8 см.

Ответ:

K = сторона a + сторона b + сторона c

= 16 см

Итак, периметр треугольника равен 16 см.

Пример проблемы 3

Равнобедренный треугольник имеет стороны 10 см и основание 6 см. Вычислите периметр равнобедренного треугольника.

Решение:

Вы знаете: стороны 10 см в длину, а 6 см в длину.

Ответ:

K = сторона a + сторона b + сторона c

поскольку треугольник равнобедренный, то есть две стороны одинаковой длины, а именно 10 см, тогда K = 10 + 10 + 6 = 26 см.

Итак, периметр равнобедренного треугольника равен 26 см.

Пример задачи 4

Равнобедренный треугольник имеет высоту 8 см и основание 12 см. Вычислите периметр треугольника.

Решение:

Вы знаете: высота треугольника h = 8 см.

сторона основания a = 12 см

Спросил : окружность =….?

Ответ:

K = сторона a + сторона b + сторона c

Две стороны треугольника неизвестны, поэтому мы используем формулу Пифагора, чтобы найти длину этой стороны.

К = 32 см

Итак, периметр равнобедренного треугольника равен 32 см.

Это объяснение площади треугольника и периметра треугольника, а также примеры и обсуждение. Может быть полезно.

Формулы прямоугольного треугольника

Если один из углов треугольника прямой (то есть равен ${90}^\circ$ ), то треугольник называется прямоугольным.

Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с $\angle C=90^{\circ} ,\ \angle A=\alpha$ , гипотенузой и катетами и

$\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} ,\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} ,$

$\text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} ,\ \text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a}$

$AC^{2} +BC^{2} =AB^{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =c^{2}$

Площадь прямоугольного треугольника:

$S=\frac{1}{2} ab$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

$r=\frac{a+b-c}{2}$

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

$R=\frac{c}{2}$

Примеры решения задач

Задание	В прямоугольном треугольнике с катетом 6 см и прилежащим к нему острым углом $60^{\circ}$ найти периметр и площадь.
Решение	Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC\ (\angle C=90^{\circ} )$ . Пусть катет см и $\angle B=60^{\circ}$ . Найдем длину гипотенузы :

$AB=\frac{CB}{\cos 60^{\circ}} =\frac{6}{1/2} =12 cm$

Тогда по теореме Пифагора второй катет

$AC=\sqrt{AB^{2} -CB^{2}} =\sqrt{144-36} =\sqrt{108} =6\sqrt{3} cm$

Найдем периметр и площадь треугольника

$P=AC+CB+AB=12+6+6\sqrt{3} =(18+6\sqrt{3} ) cm ,$

$S=\frac{AC\cdot CB}{2} =\frac{6\sqrt{3} \cdot 6}{2} =18\sqrt{3} cm ^{2}$

Задание	В прямоугольном треугольнике известно, что радиус описанной окружности см, а радиус вписанной окружности см. Найти стороны треугольника.
Решение	Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и гипотенузой . Поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то