Как найти работу газа за цикл

Формула работы идеального газа

$A=\int^{V_2}_{V_1}{pdV} \qquad (1)$

где – начальный объем системы; – конечный объем. Работа считается большей нуля, если работу выполняет система (газ) над внешними силами.

Работу можно вычислить исходя из первого начала термодинамики:

$A=\Delta Q-\Delta U\ \qquad(2)$

где $\Delta Q$ – количество теплоты, которое система получает; $\Delta U$ – изменение внутренней энергии системы. Если в качестве термодинамической системы выступает идеальный газ, то выражение (2) можно записать как:

$A=\Delta Q-\frac{i}{2}\nu R\Delta T\ \qquad(3)$

где i – число степеней свободы молекулы идеального газа; $\nu =\frac{m}{\mu }$ – количество вещества; m – масса газа; $\mu$ – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; $\Delta T$ – изменение температуры газа в рассматриваемом процессе. Выражения (1),(2) и (3) записаны в интегральном виде.

Элементарная работа идеального газа ( $\delta A$ ) равна:

$\delta A=pdV\ \qquad(4)$

Или из первого начала термодинамики в дифференциальном виде следует, что:

$\delta A=\delta Q-\frac{i}{2}\nu RdT\ \qquad(5)$

Работа идеального газа в частных случаях

При изохорном процессе () работа газа равна нулю.

В изобарном процессе () работу вычисляют как:

$A=p\left(V_2-V_1\right) \qquad(6)$

где – конечный и начальный объемы газа; p – давление газа.

При изотермическом процессе () работу газа можно найти как:

$A={\mathbf \nu }RTln\ \left(\frac{V_2}{V_1}\right)={\mathbf \nu }RTln\ \left(\frac{p_1}{p_2}\right) \qquad(7)$

При адиабатном процессе работу газ совершает за счет уменьшения своей внутренней энергии, и она равна:

$A=\frac{i}{2}\nu R\ \left(T_1-T_2\right)$

$A=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\ \left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right) \qquad(8)$

где $\gamma =\frac{i+2}{i}$ – показатель адиабаты.

Примеры решения задач по теме «Работа идеального газа»

Задание	Идеальный газ занимал объем равный $V_1=12\cdot {10}^{-3}m^3$ и находился под давлением $p_1={10}^5$ Па. Его изобарно нагрели от температуры K до температуры K. Какую работу (A) совершил газ?
Решение	В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления работы в этом процессе :

$A=p\left(V_2-V_1\right) \qquad(1.1)$

где . Начальный объем газа нам известен из условий задачи, следует найти конечный объем газа. Для этого воспользуемся уравнением Гей-Люссака для изобарного процесса, запишем его в следующем виде:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2} \qquad(1.2)$

Из (1.2) выразим конечный объем газа(, имеем:

$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1} \qquad(1.3)$

Подставим полученное выражение для объема (1.3) в выражение для работы (1.1):

$A=p_1V_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$

Проведем вычисления работы газа:

$A={10}^5\cdot 12\cdot {10}^{-3}\left(\frac{400}{300}-1\right)=400\ (J)$

$dS=\frac{\delta Q}{T} \qquad(2.1)$

Следовательно, количество теплоты, получаемое идеальным газом можно найти как:

$\Delta Q=\int{TdS} \qquad(2.2)$

Исходя из геометрического смысла интеграла, количество теплоты, полученное системой в одном цикле ( $\Delta Q)$ равно площади фигуры, которая изображена на диаграмме То есть в нашем случае площади эллипса. Площадь эллипса равна:

$S=\pi \ \cdot a\cdot b \qquad(2.3)$

где $a\ ,b$ – главные полуоси эллипса. В нашем случае из рис.1 следует, что $a=\frac{400-100}{2}=150\ (K);\ b=\frac{900-300}{2}=300\ \left(\frac{J}{K}\right).$

Из первого начала термодинамики, теплота, подводимая к газу, расходуется на совершение им работы и изменение внутренней энергии:

$\Delta Q=A+\Delta U\ \qquad(2.4)$

Однако, из рисунка 1 видно, что цикл замкнутый, а внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно, за полный цикл ее изменение равно нулю $(\Delta U=0)$ . Получаем, что в нашем процессе:

Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если

Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если $\frac=2$, $T_1=280$ К, $T_2=360$ К (схема к условию приведена справа).

Задача №5.4.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Решение задачи:

Схема к решению задачи

Приведённый в условии график для нахождения работы газа в цикле $A$ перестроим в координатах p-V. Для этого нужно произвести анализ каждого из процессов.

Итак, начнём. Процесс 1-2 – изохорный ($V=const$), поскольку график этого процесса в координатах p-T лежит на прямой, проходящей через начало координат. Так как температура газа в процессе увеличивается, то по закону Шарля давление растёт (хотя это итак понятно из исходного графика). Аналогично, изохорным является процесс 3-4, но так как температура газа в этом процессе уменьшается, то будет уменьшаться и давление.

Процесс 2-3 – изобарный ($p=const$). Температура газа в процессе растёт, поэтому по закону Гей-Люссака будет увеличиваться и объем. Также изобарным является процесс 4-1. Объем газа в этом процессе уменьшается, так как уменьшается температура.

С учётом всего вышесказанного получим следующий график (смотрите схему к решению).

Работа газа в цикле $A$ равна площади этого цикла в координатах p-V. Если цикл обходится по часовой стрелке, то работа положительна (что имеет место в нашем случае), иначе – отрицательна. Тогда:

Запишем закон Гей-Люссака для изобарного процесса 4-1:

Учитывая выражение (2) и то, что по условию $\frac=2$, формула (1) примет вид:

Теперь запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для состояния газа в точке 1:

\[A = 1 \cdot 8,31 \cdot \left( <360 – 280>\right) = 664,8\;Дж\]

Ответ: 664,8 Дж.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Циклические процессы

Ранее мы достаточно плотно познакомились с процессами и методами работы с ними. Среди часто используемых способов работы с процессами выделяются два: уравнение Менделеева-Клапейрона (для описания состояния идеального газа) и первое начало термодинамики. Из нескольких друг за другом идущих разных процессов можно составить общий циклический процесс.

Круговой процесс (цикл) – составной термодинамический процесс, в результате совершения которого рабочее тело (газ) возвращается в исходное состояние. Таким образом, начальное и конечное состояние газа (давление газа , объём газа и температура газа ) одинаковы. Попробуем изобразить такой процесс в координатах (рис. 1).

Примеры циклических процессов

Рис. 1. Примеры циклических процессов

Например, наш циклический процесс 1.1 состоит из двух изохор, двух изотерм, а процесс 1.2 — из двух изобар и двух изохор. Таким образом, исходя из текстовых условий любой задачи и знания общего вида изопроцессов (именно из них чаще всего составляется цикл), можно нарисовать рисунок.

Для энергетического описания процесса (или цикла) через первое начало термодинамики необходимо обдумать два вопроса:

как изменяется внутренняя энергия газа ()
чему равна работа газа ()

где
- — изменение внутренней энергии,
- — химическое количество газа,
- м*кг*с*К*Моль — газовая постоянная,
- — изменение температуры газа,
- — работа газа,
- — давление газа,
- — изменение объёма газа.
Для циклов есть небольшие фишки, которые удобно использовать для убыстрения задачи.

Так, изменение внутренней энергии газа зависит только от изменения температуры, а т.к. в цикле начальное и конечное состояние газа одинаково, то изменение внутренней энергии идеального газа за цикл равно 0 ().

Рис. 2. Графическая интерпретация работы газа

Поиск работы для газа также можно несколько упростить. Попробуем в координатах нарисовать график изобарического процесса и найти работу газа (рис. 2). Пусть газ находится в состоянии (давление и объём ), далее газ изобарически перевели в состояние 2 (давление и объём ). Тогда по определению работы газа:

Геометрически (рис. 2), произведение давления на разность объёмов численно равна площади прямоугольника, ограниченного сверху прямой (процессом), а снизу осью. В целом, эту логику можно расширить на любые процессы, тогда работа газа численно равна площади под кривой в координатах .

Также в рамках школьной физики присутствует условное деление циклов на прямые и обратные:

Прямой цикл – круговой, в котором рабочее тело совершает положительную работу за счёт сообщённой ему теплоты.

Обратный цикл — круговой, в котором рабочее тело совершает отрицательную работу.

Анализируя (1) вопрос о положительной и отрицательной работе, сводится к вопросу о соотношении между начальным и конечным объёмами, если:
- — газ расширяется, работа положительна,
- — газ сжимается, работа отрицательна.
Для графиков можно использовать следующую логику: в случае, если площадь под графиком расширения газа больше соответствующей площади для сжатия, значит цикл — прямой (рис. 3), если наоборот — обратный (рис. 4).

Рис. 3. Прямой циклический процесс

Рис. 4. Обратный циклический процесс

Таким образом, разница в прямом и обратном цикле может быть в очерёдности процессов. Так, прямой процесс, в нашем примере, — это 1-2-3-4-1, а обратный — 1-4-3-2-1.

Вывод: в задачах на циклические процессы нужно быть очень внимательным при прочтении, т.к. часть слов будет иметь глубокий физический смысл. Лучше всего процессы в таких задачах прорисовывать на графиках в координатах . Если график уже есть, то это к лучшему. Определяемся с конкретными изопроцессами, заданными в задаче, и используем это знание или через уравнение Менделеева-Клапейрона , или через первое начало термодинамики .
Похожие публикации: