Как найти параметр в функции распределения

Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Пример решения

Задание 2. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,2]. Построить графики f(x) и F(x) .

Задача. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a :

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание.

1 /₉•4 3 — ( 1 /₉•1 3 ) — ( 5 /₂) 2 = 3 /₄
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [2,3]
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 — 1/3) — (1/3*2 — 1/3) = 1/3

1. Определить коэффициент A .
2. найти функцию распределения F(x) .
3. схематично построить графики F(x) и f(x) .
4. найти математическое ожидание и дисперсию X .
5. найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:

Функцию распределения можно найти по формуле.

Математическое ожидание находится по следующей формуле:

Дисперсия выражена формулой:

3 /₄₉•4 7/ ₂ — ( 3 /₄₉•1 7/ ₂) — ( 93 /₃₅) 2 = 876 /₁₂₂₅
Вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3):

Пример №2 . Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Схематично построить графики функций F(x) и f(x).

Непрерывная случайная величина

Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $\arcsin$ и $\arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

Примеры решений

Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[\pi, 5/4 \pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t Решебник по теории вероятности онлайн

Решение. а) Неизвестный параметр найдем из условия нормировки:

а) Неизвестный параметр найдем из условия нормировки:

Запишем вид функции плотности распределения с уже найденным параметром а:

б) Функция распределения связана с функцией плотности следующим соотношением:

Тогда в нашем случае:

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле:

г) Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:

По свойству дисперсии:

Построим графики функций f(x) и F(x).

Задача 12.2.4. Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания M(ξi)=6, а дисперсия D(ξ1)=1/3. Найти вероятности: а) ; б) ; в) .