Как найти разность углов

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол

Выведем формулу — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда — острые углы в треугольнике (рис. 115).

Выразим площадь треугольника дважды:

Треугольник — прямоугольный, тогда Из прямоугольного треугольника имеем: и Тогда

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Разделим обе части равенства на и получим формулу синуса суммы двух углов:

• 

Если углы не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если являются углами второй четверти, то — острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы:

• 

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим:

Применим формулы приведения к правой части равенства (3):

— формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Воспользуемся полученной формулой

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого представим в виде и применим формулу синуса суммы двух углов:

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус разности

Вычислим, например,

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим:

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Косинус суммы

Применим полученную формулу и вычислим, например,

Представив разность в виде суммы можно получить формулу косинуса разности двух углов:

Косинус разности

Найдем, например,

Пример №1

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Разделим числитель и знаменатель дроби на тогда:

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например,

Тангенс суммы

Представив разность в виде суммы можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Найдем, например,

Тангенс разности

Пример №2

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

б) Применим формулу тангенса суммы:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим:

б) По формулам приведения получим, что

Тогда Воспользуемся формулой косинуса разности и получим:

в) По формулам приведения

Тогда

По формуле тангенса разности:

Пример №5

Решение:

б) По формулам приведения:

По формуле тангенса разности получим:

Таким образом,

Пример №6

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

б) Применим формулу косинуса разности и получим:

Пример №7

Решите уравнение

Решение:

Запишем уравнение в виде и по формуле синуса разности получим:

Ответ:

Пример №8

Вычислите если

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Из основного тригонометрического тождества выразим и найдем Так как то Значит, или Поскольку т. е. угол второй четверти, то Тогда

Пример №9

Докажите тождество

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Пример №10

Найдите значение выражения:

Решение:

9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде

Так как Таким образом, имеем:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти разность углов

Разделы

Дополнительно

Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $\bar $ и общей конечной стороной $\bar $: один равен $+270^<\circ>$, другой $-90^<\circ>$.

Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $\alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar$, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $\bar$. Примем теперь положение радиуса-вектора $\bar$ за начальное и отложим от него произвольный угол $\beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar$ до его конечного положения $\bar$. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $\alpha$ и $\beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $\bar$, конечное положение радиуса-вектора $\bar $.)

Разность двух углов.

Под разностью двух углов $\alpha$ и $\beta$, которую обозначим $\alpha — \beta$, мы будем понимать такой третий угол $\gamma$, который в сумме с углом $\beta$ дает угол $\alpha$, т. е. $\gamma = \alpha — \beta$, если $\beta + \gamma = \alpha$. Разность двух углов $\alpha$ и $\beta$ можно трактовать как сумму углов $\alpha$ и $- \beta$. В самом деле, $[\alpha + (- \beta)] + \beta = \alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Виды углов

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

• Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (<90°).
• Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол обозначается буквой d и равен 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым углом. Прямой угол обычно обозначается не дугой, а уголком:

∠AOC и ∠COB — прямые углы. Общая сторона прямых углов OC называется перпендикуляром к прямой AB, а точка O — основанием перпендикуляра.

Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов или, короче, двум прямым углам. Следовательно, развёрнутый угол равен 180° или 2d.

Все развёрнутые углы равны между собой.

180° < выпуклый угол < 360°.

Полный угол равен сумме четырёх прямых углов, то есть 4d (360°).

Прилежащие углы

Прилежащие углы — это пара углов, имеющих общую вершину и общую сторону, другие стороны которых лежат по разные стороны от общей стороны.

∠AOB и ∠BOC — прилежащие углы, O — общая вершина, OB — общая сторона.

Если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два угла, то образованные углы будут прилежащими.

Угол, разделённый лучом, будет называться суммой полученных углов, например угол AOB является суммой углов AOC и COB:

∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Каждый из прилежащих углов, ∠AOC и ∠COB, называется разностью углов AOB и другого прилежащего, то есть: