Что такое гамма функция

Гамма-функция и ее свойства

Гамма функция находит очень широкое применение в прикладном анализе. С гамма-функцией связаны функции Бесселя используемые при синтезе фильтров и спектральном анализе, а также другие специальные функции: бета-функция, К-функции, G-функции. В статистике широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат. В данной статье введено понятие гамма-функции, приведены ее основные свойства, а также показан алгоритм ее численного расчета.

В математике вводится понятие факториала для натурального числа:

(1)

При этом можно заметить, что

(2) Гамма-функция , распространяет понятие факториала на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента . Гамма функция не выражается через элементарные функции, но может быть представлена как интеграл вида:

(3) Для натуральных значений аргумента гамма функция совпадает со значением факториала:

(4) При этом для любых комплексных значений справедливо равенство:

(5) Данное рекуррентное соотношение является очень важным и используется при расчете гамма-функции. Приведем также формулу дополнения:

(6)

Можно заметить, что при отрицательных значениях , , при этом гамма-функция для отрицательного аргумента может быть вычислена по формуле:

(7) Необходимо отметить, что при целых ,

и гамма-функция претерпевает разрыв. График гамма-функции для вещественного аргумента представлен на рисунке 1.

Рисунок 1: График гамма-функции вещественного аргумента

Рассмотрим некоторые значения гамма-функции. Из выражения (4) следует, что:

(8) Рассмотрим , для этого воспользуемся выражением (6):

(9) Рассмотрим

, для этого воспользуемся выражением (5):

(10) Рассмотрим

, для этого воспользуемся выражением (7):

Теперь рассмотрим очень важный вопрос, касающийся расчета гамма-функции. Для этого рассмотрим несколько возможных интервалов аргумента .

Пусть , тогда в соответствии с (5) можно вычислить:

(12)

где , другими словами значение гамма функции при может быть вычилено через значения гамма функции при .

Пусть , тогда можно снова воспользоваться выражением (5), которое можно переписать к виду:

(13) При этом , и если продолжать, то можно свести к вычислению гамма-функции в интервале .

Рассмотрим на примере:

(14) То есть опять свели к вычислению гамма-функции в интервале .

Пусть теперь , тогда при вычислении по формуле (7) можно рекуррентно вычислять путем сведения к гамма-функции в интервале .

Теперь для вычисления гамма-функции необходимо получить алгоритм ее расчета при . На практике для этого производят аппроксимацию гамма функции на данном интервале в виде:

(15) где и — полиномы 8 степени:

(16) Коэффициенты полиномов аппроксимации подобраны так, чтобы обеспечивать наименьшую ошибку аппроксимации. Значения коэффициентов полиномов приведены в таблице:

1	2	3	4	5	6	7	8
6.65e+4	-3.61e+4	-3.14e+4	866.97	629.33	-379.8	24.77	-1.716
-1.15e+5	-1.35e+5	4.76e+3	2.25e+4	-3107.8	-1015.2	315.35	-30.84

Таким образом, используя полиномиальную аппроксимацию и рекуррентные соотношения можно вычислить значения гамма-функции для любого вещественного аргумента. Программная реализация функции расчета гамма-функции на C приведена ниже.

При численном расчете гамма-функции необходимо соблюдать осторожность, так как скорость роста гамма-функции как у факториала и при 32 битной разрядности процессора вычислять гамма-функцию без переполнения разрядности можно только для аргумента меньшего 170. Например, значение гамма-функции для аргумента 50 равно 6e+62.

Таким образом в данной статье мы ввели понятие гамма-функции, рассмотрели ее свойства и привели алгоритм численного расчета гамма-функции на основе полиномиальной аппроксимации. В конце приведен пример программной реализации гамма-функции

Следующая программа использует рекуррентные соотношения для расчета гамма-функции.

Гамма-функция

$\Gamma(z)$

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Содержание

Определения

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

</p> <p>На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество</p> <p><img decoding=

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).» width=»» height=»» />

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел

$\Gamma(z)=\lim\limits_<n\to\infty>\frac<n! \,n^z><z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)>, \quad z\in\mathbb<C>\setminus\<0,-1,-2,\ldots\>.» width=»» height=»» /></p> <h4>Определение по Эйлеру </h4> <p><img decoding=$ \left(\prod\limits_^\infty <\left(1+\frac<1>\right)>^z<\left(1+\frac\right)>^<-1>\right)= \frac<1> \prod_^\infty \frac<\left(1+\frac<1>\right)^<\mathrm z>><1+\frac<\mathrm z>>,\quad z\in\mathbb\setminus\<0,-1,-2,\ldots\>.» width=»» height=»» />

Определение по Вейерштрассу

$\Gamma(z)=\frac<e^<-\gamma z>> <z>\prod_<n=1>^\infty \left(1 + \frac<z><n>\right)^ <-1>e^<z/n>,\quad z\in\mathbb<C>\setminus\<0,-1,-2,\ldots\>.» width=»» height=»» /></p> <p>где <img decoding=$ \left(\sum\limits_^n\frac<1>-\ln\right)\approx 0,57722″ width=»» height=»» /> — постоянная Эйлера — Маскерони.

Замечания

Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа положительна.
Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

А поскольку $\Gamma(1)=1$ , для всех натуральных чисел

$\Gamma(z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Связанные определения

Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом: $\Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ .
В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
- формула дополнения $\Gamma(1-z)\Gamma(z)=<\pi\over\sin\pi z>» width=»» height=»» />.</li> <li>Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это <img decoding=$ <2>\right)=\sqrt<\pi>.» width=»» height=»» /> $\Gamma(\tfrac14)=\sqrt\frac<(2 \pi)^<3/2>><AGM(\sqrt 2, 1)>.» width=»» height=»» /><img decoding=$ <2>\right)=\frac<\sqrt<\pi>><2>.» width=»» height=»» /> $\Gamma\left(\frac<1><2>+n\right) = <(2n)! \over 4^n n!>\sqrt <\pi>= \frac<(2n-1)!!><2^n>\, \sqrt <\pi>= \sqrt <\pi>\cdot \left[ <n-\frac<1><2>\choose n> n! \right] » width=»» height=»» /><img decoding=$ <2>-n\right) = <(-4)^n n! \over (2n)!>\sqrt <\pi>= \frac<(-2)^n><(2n-1)!!>\, \sqrt <\pi>= \sqrt <\pi>/ \left[ <-\frac<1><2>\choose n> n! \right] » width=»» height=»» />
- Гамма-функция имеет полюс в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задается так $\operatorname<\mathrm<Res>>_<z=-n>\,\Gamma(z)=\frac<(-1)^n><n!>» width=»» height=»» />.</li> <li>Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных <img decoding=$ , не являющихся неположительными целыми: $\Gamma(z) = \frac<e^<-\gamma z>><z>\prod_<k=1>^\infty \left(1 + \frac<z><k>\right)^ <-1>e^<z/k>» width=»» height=»» />,</li> </ul> <ul> <li>формула, полученная Гауссом: <img decoding=$ \right)\ldots\Gamma\left(z+\frac\right)=n^<\frac<1><2>-nz>\cdot(2\pi)^<\frac<2>>\Gamma(nz)» width=»» height=»» />.
- Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения: $\overline<\Gamma(z)>= \Gamma(\overline<z>)» width=»» height=»» />.</li> <li>Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и <img decoding=$ , где $\psi(x)$ часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
- Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
  
  Многие распределения вероятностей определяются с использованием гамма-функции, я перечислю лишь некоторые: гамма-распределение, бета-распределение, распределение Дирихле, распределение хи-квадрат, т-распределение Стьюдента и так далее.
  
  Для специалистов по данным или инженеров и исследователей машинного обучения гамма-функция, вероятно, одна из наиболее широко используемых функций, потому что она участвует во множестве распределений. Эти распределения затем используются для генеративных статистических моделей (например, латентного размещения Дирихле), стохастических процессов (таких как модели очередей), байесовском выводе и вариационном выводе. Если вы уже хорошо понимаете гамма-функцию, вы сможете лучше понять множество приложений, в которых она появляется!
  
  1. Зачем нам нужна гамма-функция?
  
  Потому что мы хотим генерализовать факториал!
  
  f(1) = 1, f(2) = 2!, f(3) = 3!, f(4) = 4!, … Вики: Гамма-функция
  
  Функция факториала определена только для дискретных точек (для положительных целых чисел — черные точки на графике выше), но мы хотим соединить черные точки. Мы хотим распространить функцию факториала на все комплексные числа. Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел.
  
  Тогда математики стали искать…
  
  “Какие функции плавно соединяют эти точки и предоставляют нам факториалы всех действительных чисел?”
  
  Однако они не могли найти “конечные” комбинации сумм, произведений, степеней, экспонент и логарифмов, которые могли бы выразить x! для действительных чисел, пока…
  
  2. Эйлер в XVIII веке нашел гамма-функцию
  
  Гамма-функция: интегральное определение
  
  Формула выше используется для нахождения значения гамма-функции любого действительного значения z.
  
  Мы хотим вычислить Γ(4.8). Как решить интеграл выше?
  Сможете вычислить вручную? Может быть, по частям?
  
  Для меня (и многих других) пока не существует простого и быстрого способа вычислить гамма-функцию дробей вручную (Если вам интересно решить вручную, вот хорошая стартовая точка).
  
  Ладно, забудьте о том, чтобы сделать это аналитически. Вы сможете вычислить этот интеграл от 0 до бесконечности программным способом, добавляя член бесконечное число раз?
  
  Есть несколько способов вычисления. Два из наиболее используемых решений — это формула Стирлинга и приближение Ланцоша.
  
  Давайте вычислим Γ(4.8), используя готовый калькулятор.
  
  Мы получим 17.837.
  
  17.837 находится между 3!(= Γ(4) = 6) и 4!(= Γ(5) = 24) — как мы и ожидали.
  
  Когда z — натуральное число, Γ(z) =(z-1)! Скоро мы это докажем.
  
  В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, мы можем подставлять в z любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. Гамма-функция соединяет черные точки и плавно рисует кривую.
  
  3. Как гамма-функция может интерполировать функцию факториала?
  
  Если вы посмотрите на гамма-функцию, вы заметите две вещи.
  
  Во-первых, это определенно возрастающая функция по отношению к z.
  
  Во-вторых, если z — натуральное число, Γ(z+1) = z!
  (Я обещаю, что мы скоро докажем это!)
  
  Значит, можно ожидать, что гамма-функция соединит факториал.
  
  Как гамма-функция получила члены x^z и e^-x?
  
  Я не знаю точно, каким путем шел Эйлер, но именно он открыл натуральное число e, поэтому он, должно быть, много экспериментировал с перемножением e на другие функции, чтобы найти настоящую форму уравнения.
  
  4. Как будет выглядеть график гамма-функции?
  
  Когда x стремится к бесконечности ∞, первый член (x^z) также стремится к бесконечности ∞, но второй (e^-x) стремится к нулю.
  
  Будет ли гамма-функция сходиться к конечным значениям?
  
  Мы методично покажем, что сходится, используя правило Лопиталя. Но мы также можем увидеть ее сходимость и без особых усилий. Подумаем: мы интегрируем произведение x^z — полиномиальной возрастающей функции — и e^-x —экспоненциально убывающей функции. Так как значение e^-x уменьшается значительно быстрее, чем значение x^z, гамма-функция наверняка сходится и имеет конечные значения.
  
  Давайте построим на каждый график, ведь лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
  
  Первый член x^z — полиномиально возрастающая функция.
  Второй член e^-x — экспоненциально убывающая функция
  
  График x^z * e^-x
  
  Давайте рассмотрим случай Γ(4.8).
  
  Зеленая область под графиком со значениями от 0 до бесконечности — Γ(4.8) = 3.8!
  
  Для создания красивого графика выше использовался код Python. Постройте такой график сами и увидите, как z меняет форму гамма-функции!
  
  5. Свойства гамма-функции
  
  Если усваивать что-то одно из поста, то этот раздел.
  
  Давайте докажем это, используя интегрирование по частям и определение гамма-функции.
  
  Красная стрелка — значение e^-x уменьшается гораздо быстрее, чем значение x^z
  
  Докажем это, используя свойство 1:
  
  Каково значение Γ(1)?
  
  Таким образом, Γ(n) = (n-1)!
  
  6. Используя свойство гамма-функции, покажем, что плотность вероятности гамма-распределения интегрируется к 1.
  
  Для фанатов доказательств: давайте докажем фрагмент выше, выделенный красным.
  
  Интегрируем методом подстановки.
  
  Снова красиво доказано!
  1. Возраст гамма-функции.
  Она весьма стара, ей около 300 лет (работаете ли вы сейчас над чем-то, что будет использоваться 300 лет спустя? ��
  
  Интересное примечание: Эйлер ослеп в 64 года, однако больше половины своих работ он написал уже после потери зрения.
  
  2. Несколько интересных значений в точках:
  
  3. Вот быстрый обзор графиков гамма-функций действительных чисел:
  
  Гамма-функция Γ(z) нарисована синим, Γ(z) + sin(πz) — зеленым. (Заметьте, пересечение в области положительных целых чисел, потому что sin(πz) равен нулю!) Обе являются истинными аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел.
  Похожие публикации: