Асимметрия
Асимметрия относится к искажению или асимметрии симметричной колоколообразной кривой или нормального распределения в наборе данных. Если кривая смещена влево или вправо, говорят, что она перекошена. Асимметрия может быть определена количественно как представление степени, в которой данное распределение отличается от нормального распределения. Нормальное распределение имеет перекос, равный нулю, в то время как логнормальное распределение , например, будет демонстрировать некоторую степень перекоса вправо.
Три распределения вероятностей, изображенные ниже, имеют положительный наклон (или наклон вправо) в возрастающей степени. Распределения с отрицательным наклоном также известны как распределения с перекосом влево. Асимметрия используется вместе с эксцессом, чтобы лучше судить о вероятности попадания событий в хвосты распределения вероятностей.
Ключевые моменты
- Асимметрия в статистике – это степень искажения симметричной колоколообразной кривой в распределении вероятностей.
- Распределения могут демонстрировать правую (положительную) асимметрию или левую (отрицательную) асимметрию в различной степени.
- Инвесторы отмечают асимметрию при оценке распределения доходности, поскольку оно, как и эксцесс, учитывает крайние значения набора данных, а не сосредотачивается исключительно на среднем.
Объяснение асимметрии
Помимо положительного и отрицательного перекоса, можно также сказать, что у распределений есть нулевой или неопределенный перекос. На кривой распределения данные на правой стороне кривой могут сужаться иначе, чем данные на левой стороне. Эти сужения известны как «хвосты». Отрицательный перекос относится к более длинному или толстому хвосту в левой части распределения, а положительный перекос относится к более длинному или толстому хвосту справа.
Среднее положительно перекос данных будет больше , чем медиана . В распределении с отрицательным перекосом все обстоит как раз наоборот: среднее значение отрицательно искаженных данных будет меньше медианы. Если графики данных симметричны, распределение имеет нулевую асимметрию, независимо от того, насколько длинные или толстые хвосты.
Есть несколько способов измерить перекос. Первый и второй коэффициенты асимметрии Пирсона – два общих. Первый коэффициент асимметрии Пирсона, или асимметрия режима Пирсона, вычитает моду из среднего и делит разницу на стандартное отклонение . Второй коэффициент асимметрии Пирсона, или медиана асимметрии Пирсона, вычитает медианное значение из среднего, умножает разницу на три и делит произведение на стандартное отклонение.
Измерение перекоса
Существует несколько способов измерения перекоса. Первый и второй коэффициенты перекоса Пирсона – два распространенных. Первый коэффициент перекоса Пирсона, или модальный перекос Пирсона, вычитает моду из среднего значения и делит разницу на стандартное отклонение. Второй коэффициент перекоса Пирсона, или медианный перекос Пирсона, вычитает медиану из среднего значения, умножает разницу на три и делит произведение на стандартное отклонение.
Формулы для коэффициента перекоса Пирсона следующие:
где:
Sk1=первый коэффициент перекоса Пирсона и S k 2 – второй
s=стандартное отклонение для выборки
Xˉ=среднее значение
Mo=модальное (модальное) значение
Md= медианное значение
Первый коэффициент асимметрии Пирсона полезен, если данные демонстрируют сильную моду. Если данные имеют слабую моду или несколько мод, второй коэффициент Пирсона может быть предпочтительным, поскольку он не полагается на моду как на меру центральной тенденции.
Что вам говорит асимметрия?
Инвесторы отмечают асимметрию при оценке распределения доходности, поскольку оно, как и эксцесс , учитывает крайние значения набора данных, а не сосредотачивается исключительно на среднем. Краткосрочные и среднесрочные инвесторы, в частности, должны обращать внимание на крайности, потому что они с меньшей вероятностью будут удерживать позицию достаточно долго, чтобы быть уверенными в том, что среднее сработает само.
Инвесторы обычно используют стандартное отклонение для прогнозирования будущей доходности, но стандартное отклонение предполагает нормальное распределение. Поскольку несколько распределений доходности приближаются к нормальному, асимметрия – лучший показатель, на котором основываются прогнозы производительности. Это связано с риском перекоса.
Риск асимметрии – это повышенный риск появления точки данных с высокой асимметрией в искаженном распределении. Многие финансовые модели, которые пытаются предсказать будущую доходность актива, предполагают нормальное распределение, в котором меры центральной тенденции равны. Если данные искажены, такая модель всегда будет недооценивать риск перекоса в своих прогнозах. Чем больше искажены данные, тем менее точной будет эта финансовая модель.
Что такое асимметрия в математике
Асимметричная симметрия. Число Фидия
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Главное отличие научной задачи от школьной задачи в том, что никто не знает, есть ли вообще решение. У школьной задачи всегда есть решение: через какое время, после нескольких шагов алгоритма ответ будет найден. В науке, берясь за задачу, ученый никогда не знает, есть ли решение и, сколько понадобится времени на поиск ответов. Авторы исследования рассмотрели вопрос о «симметрии» и «асимметрии» с точки зрения использования математических методов и формул для исследования природных объектов.
Актуальность работы в том, что авторы попытались обработать биометрическую информацию с помощью математических формул. Умение использовать новые методы обработки и анализа данных – это веление времени. Математический анализ данных – это тоже исследовательская задача. Математика открывает двери в очень многие профессии и направления. Биометрия – новое направление в биологических науках и математике.
Рассмотреть математические понятия «асимметричная симметрия», «пропорция», «число Фидия» при исследовании биологических объектов на примере природного материала: гербария, живых природных объектов и энтомологической коллекции. Обработать биометрическую информацию с помощью компьютерной программы.
Определить: соответствуют ли объекты живой природы математическим формулам. Рассмотреть и измерить подходящие объекты природы на примере гербария, живых растений и энтомологической коллекции. Анализ полученных биометрических данных.
Объект исследования: «Асимметричная симметрия» в природе.
Предмет исследования: Отображение «Асимметричной симметрии» в живой природе – в коллекции гербария, живых растений и энтомологической коллекции.
Гипотеза: Природой созданы живые объекты, в основе которых прослеживается отображение «асимметричной симметрии». При благоприятных условиях правило данной пропорции соблюдается, при нарушении и изменении условий – не соблюдается.
Авторами работы проведены измерения линейных параметров и статистическая обработка природного материала с помощью математических формул . При выполнении исследования авторами использовались:
Математические расчеты по формулам;
Вычислительная техника – калькулятор, компьютер;
Практическая значимость работы:
С математической точки зрения – некоторые числа в истории математики занимают особое место. Их значение состоит в том, что они выражают некоторое отношение, имеющее универсальный характер. Например, число Пи, число Фидия, «золотое число» или «золотая пропорция», которые возникли как результат решения геометрической задачи о делении отрезка на две неравные части. По мнению немецкого математика Иоганна Кеплера (1571-1630): «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении». С точки зрения биометрии практическая значимость заключается в использовании признака организма, его симметрии или «асимметричной симметрии» для биоиндикации, в мониторинге окружающей среды. Организм в нормальных условиях реагирует на воздействие среды. Эти механизмы, под воздействием неблагоприятных условий, могут быть нарушены, что приводит к изменению развития. Прежде всего, уровень развития организма может быть оценен с морфологической точки зрения, измерены линейные параметры или вес [4]. Метод асимметрии применяется для подтверждения и опровержения гипотезы. Небольшие случайные отклонения от правильной пропорции у организмов или их частей (например, крылья и тело бабочек) называют изменчивостью или изменчивой асимметрией. Величину изменчивой асимметрии у разных видов организмов используют как индикатор состояния среды, степени антропогенного загрязнения из-за влияния деятельности человека на природу.
“Если природа приводит нас к математическим выражениям необычайно простым и красивым … которые ранее не встречались, то мы невольно воспринимали их как “истинные” и считаем, что они открывают то, или иное свойство природы” — Вернер Карл Гейзенберг, создателей квантовой механики, Нобелевский лауреат.
«Асимметричная симметрия». Пропорции
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. В математике равенство двух отношений называют пропорцией (лат. proportio):
a : b = c : d.
Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части AB : AC = AB : BC;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда AB : AC = AC : BC.
AB : AC = AC : BC и есть деление отрезка в крайнем и среднем отношении, так называемое «золотое деление».
В математике такое деление еще называют «асимметричной симметрией», оно выражается формулой — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:
a : b = b : c или c : b = b : a .
Рис. 1. Геометрическое изображение асимметричной симметрии
Еще в средних веках математическая задача считалась полностью решенной только тогда, когда для решения находилась геометрическая интерпретация. И только в 17 веке Ферма и Декарт одновременно показали тождественность алгебраического и геометрического подходов.
Для практических целей часто используют приближенные значения. Приближенно это отношение равно 5 : 3, точнее 8 : 5, 13 : 8 и т. д. В виде десятичной дроби: 0,62 и 0,38. Если отрезок c принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Впервые интерес к пропорции при делении отрезка возник в античной науке (Пифагор, Платон, Евклид). Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение», но некоторые авторы связывают появление этого термина в XV веке с именем Леонардо да Винчи. Термин «золотое сечение» стал распространённым в немецкой математической литературе после работы Мартина Ома «Чистая элементарная математика» в 1835 году.
Существует другое соотношение двух величин b и a, a > b, когда справедливо a:b = (a+b):a.
Рис.2. Пропорция для снятия мерок природного материала для исследования
При исследовании природных объектов, выполняя действия по данной формуле, мы получили число, известное как «число Фи». Число «Фи» названо в честь древнегреческого архитектора Фидия, жившего в V веке до нашей эры. Число <\displaystyle \Phi >называется также « золотым числом» . «Асимметричная симметрия» — это особое соотношение, основанное на пропорции, найденной в природе и приблизительно равной 1,618:1. Приблизительная его величина – 1,6180339887. Строение всех встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле. Можно отметить два вида проявлений понятия «асимметричная симметрия» в живой природе (Рис.3.):
иррациональные отношения по Пифагору — 1, 62. (дробь 2/5; 3/8; 5/13);
целочисленные – ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8…) – математическая последовательность, каждый член которой является суммой двух предыдущих: 2=1+1; 4=2+2…
Рис.3. Прямоугольники Фибоначчи
Понятие «асимметричная симметрия» нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863 — 1925) считал «асимметричную симметрию» или «золотое сечение» — одним из проявлений симметрии. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах «золотого сечения» возрастающего или убывающего ряда.
Пропорции и симметрия сопровождают человеческую цивилизацию на протяжении всего развития: в природе, в искусстве, в науке. Свойства золотого сечения в математике описываются уравнением х²-х-1= 0.
Решение этого уравнения:
Практически, с помощью циркуля и линейки можно разделить отрезок по «золотому сечению».
Рис. 4. Деление отрезка с помощью циркуля и линейки
Применение математики для изучения живых организмов.
Биометрия – новое направление в биологических науках и математике. Слово «биометрия» переводится с греческого языка как «измерение жизни»: bios — жизнь и metron — мера, измеряю. В различных словарях даются следующие толкования и объяснения:
Биометрия — биоматематика или компьютерная биометрия.
Биометрия – это теория вероятностей и математическая статистика. [1, c .18].
Биометрия — совокупность приемов планирования и обработки данных биологических исследований методами математической статистики. (Словарь микробиологии).
Статистическое изучение биологических явлений, применение математики для изучения живых организмов. (Русско-английский словарь терминов по микробиологии).
Биометрия, или Биологическая статистика — научная отрасль на стыке биологии и вариационной статистики, связанная с разработкой и использованием статистических методов в научных исследованиях (как при планировании количественных экспериментов, так и при обработке экспериментальных данных и наблюдений) в биологии, медицине, здравоохранении и эпидемиологии. [9]
Биометрия — раздел вариационной статистики, с помощью методов которого производят обработку экспериментальных данных и наблюдений, а также планирование количеств, экспериментов в биологических исследованиях. (Биологический энциклопедический словарь).
По мнению некоторых авторов [2, c .18] в биометрии до сих пор нет единой терминологической системы. Биометрия как самостоятельная дисциплина сложилась к концу 19 века в результате работ Ф. Гальтона (Англия) и К. Пирсона — основателя крупнейшей биометрической школы. Методология современной биометрии создана главным образом Р. А. Фишером (Англия), основавшим свою биометрическую школу. Фишер впервые показал, что планирование экспериментов и наблюдений и обработка их результатов — две неразрывно связанные задачи статистического анализа. Он заложил основы теории планирования эксперимента, предложил ряд эффективных методов, естественно вытекающих из своеобразия биологического эксперимента, и развил теорию малых выборок, начатую английским учёным Стьюдентом (В. Госсетом). Значительную роль в распространении биометрических идей и методов сыграли русские учёные В. И. Романовский, А. А. Сапегин, Ю. А. Филипченко, С. С. Четвериков и др. [2].
Математический язык – самый общий, строгий и точный. А для хранения и передачи информации нужен именно такой универсальный математический язык. Формула «асимметричной симметрии» — один из примеров перевода предложения с любого языка на математический язык. Это для любых симметричных фигур, поэтому его удобно использовать в виде математической формулы – это короче и понятней. Чаще всего при математическом исследовании используются числа, которые выражают размер, вес, возраст, численность и т.д. Мы использовали измерения линейных параметров насекомых и растений.
Пропорция и принципы формообразования в природе
Пропорции и симметрия сопровождают человеческую цивилизацию на протяжении всего развития: в природе, в искусстве, в науке. Принципы формообразования в природе:
Главное в целом.
Эти пять принципов выступают в виде законов формообразования. К чему бы мы ни обратились в природе, везде обнаруживаются эти пять принципов формообразования. Живые системы также обладают свойствами, характерными для «асимметричной симметрии». Например, пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов. Целое всегда состоит из частей. Части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Это и есть пропорции. С математической точки зрения мы отмечаем повторение измеримых равных и неравных величин, соотносящихся друг с другом в определенном отношении. Это — два вида пропорциональных отношений. Все другие величины, если они возникли в результате нарушения формообразования по каким-либо причинам, пропорции не составляют. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, к гармонии и красоте. Непропорциональные отношения ведут к нарушению порядка, нарушению симметрии и ритма.
Симметрия и асимметрия в природе
Симметрия в природе – это понятие, которое отражает существующий в мире порядок, соразмерность и пропорциональность между элементами различных систем или объектов природы, равновесие системы, упорядоченность, устойчивость, то есть определенный элемент гармонии. Симметрия в живых организмах была сформирована в процессе эволюции. Самые первые организмы, зародившиеся в океане, имели идеальную сферическую форму. Для того чтобы внедриться в иную среду, им приходилось адаптироваться к новым условиям. Одним из способов подобной адаптации является симметрия в природе на уровне физических форм. Внешняя симметрия животных помогает им сохранять равновесие при движении, обогащаться энергией из окружающей среды, используя ее рационально, благодаря симметрии обеспечивается жизнестойкость и адаптация. Сама природа творит, руководствуясь универсальным математическим законом. «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть то же соотношение, что и между большей частью и целым» [6, с.5]. Всякая симметрия — это закономерность формы, в силу которой форма эта не меняется при каких-то переменах. Такое свойство, выраженное на языке математики, стало инструментом в изучении устройства природы. Мощь симметрии в объяснении реального мира.
Математические методы
обработки данных наблюдений и экспериментов
Математические методы исследований применяются не только в биологии и экологии. Это современные методы обработки и анализа биологических, экологических и медицинских данных, основанные на использовании математической статистики и современной вычислительной техники. Используются методы количественного анализа данных наблюдений, экспериментов и приемы биометрической обработки. Научные достижения в таких областях как биология и экология не возможны без математической составляющей. С помощью математики можно большинство теоретических проблем решить с помощью математического моделирования. Существуют специальные программы для обработки данных: для количественного анализа, расчета среднего значения, показателя вариации, построения статистических графиков и таблиц. В биологии, где исследования проводятся на основе измерений и подсчетов, применение математических и биометрических методов увеличивает доказательность сделанных заключений. Помогает правильно планировать эксперименты, выявлять закономерности, получать точную количественную оценку.
Планирование этапов, сбор данных, расчеты, получение результатов.
Составление таблиц и программы, введение исходных данных исследования в электронную таблицу;
Проведение анализа данных при помощи математической статистики;
Получение численных, графических и текстовых результатов;
Анализ и интерпретация результатов.
Выводы относительно исследуемого понятия «асимметричная симметрия».
Чаще всего при математическом исследовании используются числа, которые выражают размер, вес, возраст, численность и т.д. Мы использовали измерения линейных параметров насекомых и растений. Для того, чтобы обработав результат, отделить закономерности, в частности «асимметричную симметрию», от случайного. От конкретных данных объектов живой природы – к теоретическим обобщениям. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
Объектом нашего исследования стали объекты живой природы из школьной коллекции живых растений Ботанического сада кабинета биологии, энтомологическая коллекция и гербарий «Лекарственные растения». Измерения 45 экземпляров позволили установить, что отношения, составленные из полученных измерений объектов примерно равны. Повторяя эксперимент, мы все время получаем число, близкое к числу 1,61 — это связано с так называемым понятием «асимметричная симметрия». Одна часть объекта должна быть больше другой в 1,6 раза. Все другие величины, если они возникли в результате нарушения формообразования по каким-либо причинам, данной пропорции не составляют. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, к гармонии и красоте. Непропорциональные отношения в природе ведут к нарушению порядка, нарушению симметрии и ритма.
Проведено частичное (выборочное) исследование, так как выбрана из всего количества существующих в природе объектов только малая часть. Представительная, случайная выборка – равная вероятность для всех. Мы использовали метод случайных чисел. Из всех, имеющихся материалов, были изучены: 13 лекарственных растений гербария, 13 объектов энтомологической коллекции, 15 растений из школьного Ботанического сада, кабинета биологии, 3 улитки Ахатина Фулика Альбино. (Приложения. Таблицы №1-№3).
Для эксперимента отобраны более 40 природных объектов: растения, насекомые и живые организмы. Исходную информацию об объекте получили путем измерения, вычисления, обработки и анализа данных. (Приложения. Фотографии). Данные исследования для большего количества объектов можно ввести в компьютерную программу и посчитать «число Фи». Можно посчитать вручную. Даже для небольшого количества биологических данных можно успешно использовать статистические методы, т.е. математику.
Анализ данных включает выполнение следующих необходимых шагов:
1. Определение структуры данных.
2. Ввод данных в компьютер в соответствии с их структурой и требованиями программы.
3. Задание метода обработки данных в соответствии с задачами исследования.
4. Получение результата обработки данных.
5. Интерпретация результатов обработки.
Шаги (подготовительный) и шаг 5 (заключительный) не способна выполнить ни одна компьютерная программа – их исследователь делает сам.
Путем эксперимента мы установили, что отношения, составленные из полученных измерений объектов, примерно равны 1,61. Повторяя эксперимент с другими экземплярами (измеряя и подсчитывая), мы все время получаем число, близкое к числу 1,61 . Одна часть отрезка должна быть больше другой в 1,6 раза. В расчетах такие отношения заменяют приближенным значением.
Из данных таблицы №1, №2 и №3 видно, что параметры «числа Фидия», вычисленного по формуле, в целом внутри своих видов одинаковые, но есть некоторые отклонения в уменьшение и, наоборот, в укрупнение размеров. Это отклонение от нормы является значимым для экологического мониторинга. Наиболее точно соответствует формуле a:b = ( a + b ): a , a > b лишь несколько исследованных объектов: Крапива двудомная (1,6); Береза бородавчатая (1,6) из гербария; Жук Красотел- Calosoma sp .(1,6) из энтомологической коллекции; живые растения Эпипремнум подвисной (1,6) и Декабрист (1,61).
Интересно отметить, что среди некоторых экземпляров — растений с коэффициентом 1,6 примерно одинаковое количество: 4 из 13 в гербарии, 4 из 15 у живых растений, у насекомых — 4 из 13. Следует отметить, что само понятие «асимметричная симметрия», как и «число Фидия», являются, скорее, эталонным значением. Отклонения у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Совместная работа биологов и математиков показывает удивительные явления природы. В дальнейшем авторы планируют продолжить исследования и изучение живых организмов и биологических явлений, с применением математики и биометрии.
Атанасян Л.С. Электронное приложение к учебнику «Геометрия», «Просвещение», 2013 г.
Сиделев С.И. Математические методы в биологии и экологии: введение в элементарную биометрию», Ярославль, ЯрГУ, 2012 г.
Большая советская энциклопедия.
Фирсов Н.Н., Микробиология: словарь терминов», М: Дрофа, 2006 г.
Шуберт Р. Биоиндикация загрязнителей наземных экосистем /Под ред. Р. Шуберта. – М.: Мир, 1998 г.
Стахов А.П. Коды золотой пропорции, Москва, 1984 г.
https :// ru . wikipedia . org / wiki /
Dimensions. Une promenade math´ematique. (Размерности. Математическая прогулка). Мультфильм. Доступен в YouTube.
Асимметрия и эксцесс распределения
Предварительно отметим, что асимметрия и эксцесс – это числовые характеристики, выражающие количественную меру степени близости данного распределения к нормальному.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса теоретического распределения
Под теоретическим распределением понимается распределение вероятностей изучаемого признака Х генеральной совокупности, который трактуется как случайная величина Х. Для случайной величины Х введем безразмерные числовые характеристики:
которые называются соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса теоретического распределения. Они оценивают степень близости данного распределения к нормальному, а также характеризуют форму закона распределения вероятностей изучаемой случайной величины Х.
Прежде всего отметим, что для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: , .
Рис. 12. Кривые распределения:
Если для данного распределения , то длинная часть кривой распределения (графика плотности ) расположена справа от вершины (рис.12,а); если же , то длинная часть кривой распределения расположена слева от вершины (рис.12,б).
Если для данного распределения , то кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая Гаусса (рис.13,а); если же , то кривая распределения имеет более низкую и пологую вершину, чем нормальная кривая (рис. 13,б). При этом сравнении предполагается, что данное и нормальное распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.
Сравнительно небольшие по модулю значения коэффициентов и свидетельствуют о близости данного распределения к нормальному. Большие же значения и указывают на значительное отклонение данного распределения от нормального.
Рис. 13. Кривая распределения:
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса
Приведенные ниже коэффициенты являются точечными статистическими оценками коэффициентов асимметрии и эксцесса теоретического распределения, вычисленными по выборке, представленной в виде интервального статистического ряда.
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса можно использовать для упрощенной проверки гипотезы о нормальности распределения. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:
1. Если оба выборочных коэффициента асимметрии и эксцесса по модулю меньше соответствующих табличных критических значений
то распределение изучаемой генеральной совокупности достаточно близко к нормальному.
2. Если хотя бы один из модулей коэффициентов или окажется больше соответствующего табличного критического значения
то распределение изучаемой генеральной совокупности существенно отличается от нормального.
Таблица критических значений коэффициентов асимметрии и эксцесса приведена в учебном пособии В.И. Лупандина «Математические методы в психологии».
С целью существенного упрощения вычислений коэффициентов , применим метод условных вариант. В интервальном статистическом ряде перейдем к условным вариантам (). В условных вариантах формулы для и запишутся следующим образом:
Для удобства вычисления организуются в форме расчетной таблицы (см. пример).