Сравнение в математике — как определить, какие из чисел больше или меньше
Сравнение чисел — одна из самых легких и приятных тем из курса математики. Впрочем, нужно сказать, что она не так уж и проста. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.
Но числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди теряются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнить два числа с разными знаками. На все эти вопросы мы и постараемся ответить.
Правила относительно сравнения положительных чисел
Начнем с самого простого — с чисел, перед которыми не стоит никакого знака, то есть с положительных.
- Прежде всего, стоит запомнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше, чем нуль, поскольку на координатной прямой соответствующая ей точка все-таки отстоит от нуля на два небольших деления.
- Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то нужно сравнивать каждый из разрядов. Например — 32 и 33. Разряд десятков у этих чисел одинаков, но число 33 больше, поскольку в разряде единиц «3» больше, чем «2».
- Как сравнить между собой две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть прежде всего на целую часть — например, дробь 3,5 будет меньше, чем 4,6. А если целая часть одинакова, но различаются знаки после запятой? В этом случае действует правило для целых чисел — нужно сравнивать знаки по разрядам до тех пор, пока не обнаружатся большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли. Например — 4,86 больше 4,75, поскольку восемь десятых больше, чем семь.
Сравнение отрицательных чисел
Если у нас в задаче есть некие числа –а и –с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяется универсальное правило. Сначала выписываются модули этих чисел — |a| и |с| — и сравниваются между собой. То число, модуль которого больше, окажется меньшим в сравнении отрицательных чисел, и наоборот — большим числом будет то, модуль которого меньше.
Что делать, если сравнить нужно отрицательное и положительное число?
Здесь работает всего одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше чисел со знаком «минус» — какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица стоит справа от нуля на координатной прямой.
Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?
Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении. Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.
Сравнение натуральных чисел
Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из 7 птиц, а на другом из 5 десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.
При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.
Если считать, что под сравнением натуральных чисел подразумевают действие, то оно может привести к нескольким результатам:
- Равенство. Этот случай возможен, когда числа равны.
- Неравенство. Когда числа не равны.
Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.
Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.
Равные и неравные натуральные числа
Рассмотрим определение равных и неравных чисел.
В случае, когда записи двух натуральных чисел одинаковы, их считают равными между собой. Когда записи имеют различия, тогда эти числа неравные.
Исходя из определения, числа 402 и 402 считаются равными, также как и 7 и 7 , так как они одинаково записываются. Но такие числа, как 55283 и 505283 не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, 582 и 285 разные, так как по записи отличаются.
Такие равенства имеют краткую запись. Знак равно « = » и знак неравно « ≠ ». Их расположение непосредственно между числами, например, 47 = 47 . Означает, что эти числа равные. Или 56 ≠ 65 . Это значит, что числа разные и отличаются по записи.
В записи, которая имеет два натуральных числа со знаком « = » называют равенством. Они бывают верными или неверными. Например, 45 = 45 , что считается верным равенством. Если 465 = 455 , что считается неверным равенством.
Сравнение однозначных натуральных чисел
Однозначными числами считают ряд от 1 до 9 . Из двух записанных однозначных чисел меньше считается то, которое левее, а больше то, которое правее.
Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если 1 меньше 2 , то и меньше 8 , а 5 меньше всех чисел, начиная от 6 . Это относится к каждому числу данного ряда от 1 до 9 .
Краткая запись знака меньше – « < », а знака больше – « > ». Их расположение между двумя сравниваемыми числами. Когда имеется запись, где 3 > 1 , это означает, что 3 больше единицы, если запись имеет вид 6 < 9 , тогда 6 меньше 9 .
Если в записи имеются два натуральных числа со знаками « < » и « > », тогда она называется неравенством. Неравенства могут быть верными и неверными.
Запись 4 < 7 – верная, а 3 > 9 – неверная.
Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел
Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:
5 < 10 , 6 < 42 , 303 > 3 , 32043 > 7 . Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: 3 > 11 , 733 < 5 и 2 > 1 020 .
Рассмотрим сравнения многозначных чисел.
Сравнение многозначных натуральных чисел
Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.
В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.
Чтобы решить пример, нужно уяснить, что 0 всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.
Произвести сравнение чисел 35 и 63 .
Визуально видно, что числа неравные, так как по записи они отличаются. Для начала сравним десятки данного числа. Видно, что 3 < 6 , а это означает, что заданные числа 35 и 63 не равны, а первое число меньше второго. Это решение записывается так: 35 < 63 .
Ответ: 35 < 63 .
Произвести сравнение заданных чисел 301 и 308 .
Визуально очевидно, что числа не равны, так как их запись отличается. Они оба трехзначные, это значит, что сравнение необходимо начинать с сотен, после чего десяток и потом единиц. Получим, что 3 = 3 , далее 0 = 0 . Единицы отличаются друг от друга, имеем: 1 < 8 . Отсюда имеем, что 301 < 308 .
Ответ: 301 < 308 .
Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.
Произвести сравнение заданных натуральных чисел 40391 и 92248712 .
Визуально заметим, что число 40391 имеет 5 знаков, а 92248712 – 8 .
Это значит, что количество знаков, равное 5 , меньше 8 . Отсюда имеем, что первое число меньше второго.
Ответ: 40 391 < 92 248 712 .
Выявить большее натуральное число из заданных: 50 933 387 или 10 000 011 348 ?
Заметим, что первое число 50 933 387 имеет 8 знаков, а второе 10 000 011 348 – 11 . Отсюда следует, что 8 меньше 11 . Значит, число 50 933 387 меньше 10 000 011 348 .
Ответ: 10000011348 > 50933387 .
Произвести сравнение многозначных натуральных заданных чисел: 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .
Решение
Рассмотрим, что первое число имеет 10 знаков, второе – 12 . Делаем вывод, что второе число больше первого, так как 10 меньше 12 . Сравнение 10 и 12 выполняется поразрядно. Получаем, что 1 = 1 , но 0 меньше 2 . Отсюда получаем, что 0 < 2 . Это говорит о том, что 10 < 12 .
Ответ: 9 876 545 678 < 987 654 567 811 .
Натуральный ряд чисел, нумерация, счет
Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 . Ряд с трехзначными числами имеет вид 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 , 100 , 101 , . . , 999 .
Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.
Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.
Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.
Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.
Натуральные числа на координатном луче
Для начала необходимо повторить определение координатного луча.
При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от 0 и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.
Рассмотрим на примере двух чисел 2 и 6 . Поставим две точки А и В на координатном луче, располагая на значениях 2 и 6 .
Отсюда следует, что точка А находится левее, а, значит, что она меньше точки В , так как расположение точки В правее точки А . Запишем в виде неравенства: 2 < 6 . Иначе можно озвучить, как «точка В лежит правее точки А , значит число 6 на координатном луче больше числа 2 ».
Наименьшее и наибольшее натуральное число
Считается, что 1 – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел. Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.
Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно 9 . Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется 99 . Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.
При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если 4 – число наименьшее, тогда 40 – наибольшее из заданного ряда: 4 , 6 , 34 , 34 , 67 , 18 , 40 .
Двойные, тройные неравенства
Известно, что 5 < 12 , а 12 < 35 . Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: 5 < 12 < 35 . Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем 5 < 12 , 12 < 35 и 5 < 35 .
Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение 76 , 512 и 10 , мы получаем три неравенства 76 < 512 , 76 > 10 , 512 > 10 . Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное 10 < 76 < 512 .
Таким же образом выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.
Если известно, что 5 < 16 , 16 < 305 , 305 < 1 001 , 1 001 < 3 214 , тогда запись может быть представлена в виде 5 < 16 < 305 < 1 001 < 3 214 .
Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.
Урок 30 Бесплатно Сравнение чисел
В этом уроке мы научимся сравнивать числа как с разными, так и c одинаковыми знаками.
Узнаем, что такое быстрое сравнение с нулем, а также поговорим про то, что касается сравнения чисел и модулей.
Сравнение чисел с одинаковым знаком
Со сравнением двух чисел, оба из которых больше нуля, вы уже знакомы: для этого мы просто смотрим на числа, их разряды и понимаем, какое из них больше. Для нас очевидно еще с начальной школы, что 3 больше, чем 2, 154 больше, чем 145, 1428 больш,е чем 425, и так далее.
Если говорить про отрицательные числа, то для начала приведем аналогию из реальной жизни.
Например, 3-го января температура была равна -10°С , а 4-го января температура была на отметке -7°С , в таком случае мы скажем, что 3-го числа температура была меньше, чем 4-го.
То есть, казалось бы, 10 больше, чем 7, но при этом -10°С меньше, чем -7°С.
Чтобы сравнить два числа, оба из которых отрицательные, надо сравнить их модули, тогда меньше будет то число, у которого модуль больше.
Это же работает и в обратную сторону.
Если два числа отрицательны и модуль первого меньше модуля второго, то первое число больше второго.
Если оба числа отрицательны и их модули равны, то и сами числа равны.
Пример:
Допустим, необходимо сравнить \(\mathbf<-324>\) и \(\mathbf<-245>\)
Первым делом находим модули:
Это верно и для дробных чисел, смешанных чисел, десятичных дробей и всего, с чем мы уже работали.
Действие первое- находим модули чисел:
Теперь приводим дроби к общему знаменателю:
В таком случае делаем вывод, что \(\mathbf<-\frac<3><4>>-\frac<5><6>>\)
Также сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<-5>\)
Мы видим, что модули чисел равны, к тому же, они оба отрицательны, значит эти числа равны.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Сравнение чисел с разными знаками
Сейчас мы познакомимся с одним интересным свойством сравнения, которое позволит нам сравнивать числа с разными знаками вообще без каких-либо усилий с нашей стороны.
Задумывались ли вы раньше, почему если мы знаем, что Борис выше Анны, а Сергей выше Бориса, мы сразу сделаем вывод, что Сергей выше и Анны тоже?
Или если мы знаем, что Ваня пришел раньше Пети, а Петя раньше Ильи, то мы делаем вывод, что Ваня пришел раньше Ильи.
Это свойство называется транзитивностью.
Если говорить абстрактно, то это свойство говорит о следующем: если между объектом А и объектом Б есть транзитивное отношение и между объектом Б и объектом В тоже есть это же транзитивное отношение, то это значит, что это отношение есть между А и В.
Звучит может немного непонятно, но на примере со сравнением сейчас все встанет на свои места.
Отношения «быть больше», «быть равным» и «быть меньше» обладают свойством транзитивности.
Поэтому если мы знаем, что 2 меньше, чем 3, а 3 меньше, чем 4, то мы можем утверждать, что 2 меньше, чем 4.
Зафиксируем эти правила коротко и емко.
1. Если а меньше b и b меньше с, то а меньше с
2. Если a больше b и b больше с, то а больше с
3. Если а равно b и b равно с, то а равно с
Более подробно про отношения говорят на курсах высшей математики, дискретной математики или математической логики, но при этом бояться таких абстрактных понятий не стоит.
Теперь мы можем применить это мощное свойство к сравнению чисел с разными знаками.
Пусть а — отрицательное число, b — равно нулю, а с — положительное число.
Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.
Также мы знаем, что положительные числа больше или, другими словами, нуль меньше положительных чисел.
Тогда, зная транзитивность отношения «меньше», мы можем прийти к выводу, что a меньше с.
Заметьте, что мы нигде ни для а, ни для с не предполагали конкретных значений, а значит, любое отрицательное число меньше любого положительного.
Те же самые рассуждения можно провести в обратную сторону и получить, что любое положительное число больше любого отрицательного.
Итак, посмотрим, как происходит процесс сравнения чисел с разными знаками на практике.
Пример 1
Сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<3>\).
\(\mathbf<-5>\)- отрицательное число, \(\mathbf<3>\)— положительное.
Значит, \(\mathbf<-5<3>\), так как любое отрицательное число меньше любого положительного.
Пример 2
Сравним \(\mathbf<6>\) и \(\mathbf<-1>\).
\(\mathbf<6>\)- положительное число, \(\mathbf<-1>\)- отрицательное.
Значит, \(\mathbf<6>-1>\), так как любое положительное число больше любого отрицательного.