Как сделать единичную матрицу

Единичная матрица

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные нулю. Обозначают единичную матрицу буквой .

Единичные матрицы первого, второго и третьего порядков, соответственно, имеют вид:

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Выберите язык:

Единичная матрица

Единичная матрица — это квадратная матрица, расположенные элементы которой по главной диагонали равны единице, а оставшиеся равны нулю. Обозначается символом $ E $.

Общая формула единичной матрицы имеет вид: $$ E = \begin 1&0&0&\text<. >&0 \\ 0&1&0&\text<. >&0 \\ 0&0&1&\text<. >&0 \\ \text<. >&\text<. >&\text<. >&\text<. >&\text <. >\\ 0&0&0&\text<. >&1 \end $$

Свойства

1. При умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица:
   $$ A \cdot E = E \cdot A = A $$
2. Любая квадратная матрица в нулевой степени равна единичной матрице:
   $$ A^0 = E $$
3. При умножении матрицы на обратную её матрицу получается единичная матрица:
   $$ A \cdot A^ <-1>= E $$
4. При умножении матрицы на транспонированную к ней матрицу получается единичная матрица:
   $$ A \cdot A^T = E $$
5. Определитель единичной матрицы $ E $ равен единице:
   $$ \Delta = \det E = 1 $$

Свойства единичной матрицы подразумеваются для квадратных матриц.

Примеры

По определению единичная матрица является квадратной, главная диагональ заполнена единицами, а остальные элементы равны нулю:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Единичная матрица

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице , называется единичной матрицей и обозначается символом .

Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

В матричной алгебре матрица играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно — при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

(2)

Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу, элементы которой находятся на главной диагонали, а остальные элементы равны нулю. Обозначается символом Е.

Действительно, пусть — произвольная матрица размера. Рассмотрим -ый элемент матричного произведения АЕ, где Е — единичная матрица -го порядка.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов , следовательно, АЕ = А.

Рассмотрим теперь -ый элемент матричного произведения ЕА. где Е — единичная матрица -го порядка.

Умножение матрицы на единичную матрицу дает ту же матрицу.

Примеры с решением

Пример 1

диагональная матрица второго порядка,

диагональная матрица третьего порядка.

Определение Если у диагональной матрицы alt=»Единичная матрица» />-го порядка Е все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей alt=»Единичная матрица» />-го порядка.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2

— единичная матрица третьего порядка.

Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю: В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.

Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица -го порядка перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

Чтобы доказать это, введем обозначения: АЕ = F, ЕА = G. Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы

(2.13)

находим, что для всех

Определение Под нулевой степенью квадратной матрицы А понимается единичная матрица того же порядка что и А, т. е. .. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение матриц, равных А, т. е.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.