Иррациональные уравнения и неравенства
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
Однако подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть
Итак, мы получили, что 2 ⩽ х < 11. Напомним, что традиционно решения нер-в записывают с помощью промежутков. Поэтому двойное нер-во 2 ⩽ х < 11 мы заменим на равносильную ему запись х∈[2; 11).
Пример. Решите нер-во
Решение. Возведем нер-во в четвертую степень:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
Получили неравенство второй степени, такие мы уже решать умеем. Напомним, что сначала надо решить ур-ние
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
7 – х 3 < 1 – 3x + 3x 2 – х 3
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
2х – 5 < 16 – 8х + х 2
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не «<», то есть оно имеет вид
Его тоже можно решить аналитически, однако мы для простоты рассмотрим только графическое решение.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Построим графики обеих частей:
Видно, что в какой-то точке графики пересекаются, после чего график корня будет лежать выше прямой у = 2 – х. Осталось найти точное значение точки, для чего можно составить ур-ние:
Корни квадратного ур-ния найдем через дискриминант:
Мы убедились, что иррациональные ур-ния и нер-ва являются довольно сложными. Для разных задач приходится использовать разные, не всегда стандартные методы решений. Зачем же их вообще надо решать? Оказывается, они часто возникают при геометрических расчетах. В частности, уравнение, описывающее зависимость расстояния между двумя точками от их координат, является иррациональным. Поэтому при решении многих физических задач, связанных с движением объектов в пространстве, возникает необходимость решать иррациональные ур-ния.
Также важно напомнить, что для поступления в ВУЗ по окончании 11 класса школьники сдают ЕГЭ. В задачах 13 и 15 очень попадаются именно иррациональные ур-ния и нер-ва. Поэтому, если вы желаете в будущем получить высшее образование по экономической (менеджер, аналитик, брокер, банкир), технической (инженер, программист) и тем более физико-математической специальности, то начинайте тренироваться уже сейчас!
Способы решения задач с помощью преобразования выражений с квадратными корнями
При извлечении квадратного корня из некоего числа в любом случае получается один результат, который больше нуля. Он и будет арифметическим корнем, имеющим ряд характерных свойств. Перечислим их:
- Корень произведения соответствует произведению корней: a b = a · b . Приведем пример: 64 · 9 = 64 · 9 = 8 · 3 = 24
- Корень из дроби равен корню из числителя и корню из знаменателя: a b = a b , когда a ≥ 0 , b > 0 . Приведем пример: 64 9 = 64 9 = 8 3 = 2 2 3 .
- При возведении корня в степень необходимо возвести в данную степень подкоренное значение: a n = a n , когда a ≥ 0 . Приведем пример: 2 4 = 2 4 = 16 = 4 .
Решение задач по вынесению множителя из квадратного корня
Операция вынесения числа, то есть множителя, из-под знака корня представляет собой извлечение корня из выражения, находящегося под знаком корня. Такое выражение называют подкоренным.
При a 2 = b имеем, что b = a .
Приведем несколько примеров:
4 = 2 , так как 2 2 = 4
36 = 6 , так как 6 2 = 36
С целью упрощения вынесения чисел и множителей из-под знака квадратного корня следует ознакомиться с таблицей квадратов:
Разберем несколько наглядных примеров, с которыми можно встретиться на уроках в классе, а также при решении контрольных и проверочных работ. Вынесем множитель из-под знака корня (с объяснением) в таком выражении:
Заметим, что извлечение квадратного корня в данном случае возможно лишь из числа 25. Выполним действия:
25 × 3 = 5 2 × 3 = 5 2 × 3 = 5 × 3
Разберем другое задание для повторения темы, которое следует решать аналогичным методом. Представим, что нужно вынести корень из числа:
В первую очередь стоит разложить выражение, которое записано под знаком корня. Множителями являются числа 9 и 5. Заметим, что извлекается квадратный корень в этом случае лишь из 9. Запишем:
45 = 9 × 5 = 3 2 × 5 = 3 5
Когда под знаком корня записано выражение, то его можно вынести. Данное утверждение справедливо лишь в том случае, когда под корнем произведение. Приведем примеры:
Все, за исключением первого выражения, являются неверными. В таких случаях целесообразно сначала выполнить действия под знаком корня, а затем переходить к его извлечению. Продолжим вычисления:
Во многих задачах по алгебре и физике можно встретить выражения, для решения которых необходимо вынести из-под знака корня не число, а букву. В таком случае необходимо выполнить тождественные преобразования и преобразовать эту букву в дробь. Роль числителя при этом будет играть степень подкоренного выражения, а знаменателем является непосредственно сам корень:
Данная формула справедлива также при выполнении действий с числами. Приведем несколько типичных примеров:
a 12 4 = a 12 4 = a 3
Решение задач по внесению множителя под знак корня
На следующем этапе стоит потренироваться с внесением чисел под знак корня. Запишем некое выражение с содержанием корня:
4 6 — 2 3 · 8 = 16 · 6 — 4 · 3 · 8 = 96 — 96 = 0
Отметим, что после внесения числа под знак корня решение существенно упростилось. Рассмотрим число:
Заметим, что цифру 3 можно внести под корень. Это связано с тем, что данное число является корнем квадратным из числа 9:
С помощью записанных закономерностей получилось значительно расширить возможности при решении разнообразных заданий. Например:
3 10 — 45 · 2 = 90 — 90 = 0
Здесь важно отметить, что внесение под знак арифметического корня допускается лишь в том случае, когда число является положительным.
Разберем еще несколько примеров:
4 6 — 2 3 · 8 = 16 · 6 — 4 · 3 · 8 = 96 — 96 = 0
5 2 = 25 · 2 = 25 · 2 = 50
Решение задач по освобождению от иррациональности в знаменателе
При решении задач можно встретить примеры с дробями, в знаменателе которых записан корень или иррациональное число. В таком случае следует выполнить умножение данной дроби на какой-то член или выражение. В результате получится исключить корень. Существует несколько видов выражений, где нужно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Когда в знаменателе записан одночлен, следует внимательно изучить такую дробь. При отсутствии корня упростить подобное выражение не составит труда. Однако при наличии в знаменателе квадратного или другого корня необходимо выполнить умножение числителя и знаменателя на какой-нибудь одночлен, что в итоге позволит избавиться от корня. Разберем пример:
Воспользуемся записанным правилом и упростим выражение:
7 3 2 7 · 7 7 = 7 21 14 = 21 2
Когда в знаменателе дроби записан двучлен в виде суммы или разности пары одночленов, в один из которых включен корень, недопустимо выполнять умножение дроби на подобный двучлен, так как не получится исключить иррациональность:
Рассмотрим это правило на примере дроби:
Здесь в одночлене a или b имеется корень.
Попробуем упростить выражение:
( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2
Заметим, что в составе одночлена 2ab в любом случае имеется корень а или b.
Разберем наглядный пример:
4 2 + 2 · 2 + 2 2 + 2 = 4 ( 2 + 2 ) 4 + 4 2 + 2
Заметим, что в этом случае отсутствует возможность исключить корень из знаменателя, так как в нем записан одночлен 4 2 .
При решении подобных задач следует воспользоваться понятием сопряженного двучлена, то есть такого двучлена, который состоит из аналогичных одночленов, но знак между ними противоположный. Таким образом, 2 + 2 является сопряженным для двучлена 2 — 2 . Применим данное правило к нашему выражению:
4 2 + 2 · 2 — 2 2 — 2
При умножении числителя и знаменателя дроби на сопряженный двучлен одночлены будут возведены в квадрат, что позволяет избавиться от знака корня:
( a + b ) ( a — b ) = a 2 — b 2
Заметим, что в последнем задании имеется общий множитель в числителе и знаменателе:
Таким образом, можно сократить дробь:
4 2 + 2 · 2 — 2 2 — 2 = 4 ( 2 — 2 ) 4 — 2 = 4 — 2 2
Разберем другие выражения, при решении которых нужно избавиться от иррациональности. К таким относят обратные выражения. Представим, что требуется определить выражение, которое является обратным для данного и содержит корень. В этом случае следует рационализировать полученную дробь, а затем приступать к ее упрощению. Здесь пригодятся правила, описанные ранее. Рассмотрим пример:
Запишем для этого выражения обратное. На первом шаге следует выполнить деление единицы на это выражение. В том случае, когда имеется дробь, нужно поменять местами числитель со знаменателем. Важно заметить, что какое-либо выражение достаточно просто записать в виде дроби. При этом в знаменателе будет стоять единица.
Избавимся от корня путем умножения числителя и знаменателя на некое выражение. При этом значение полученной дроби сохранится без изменений. Применительно к этой задаче, следует умножить дробь на сопряженный двучлен:
1 2 — 3 · 2 + 3 2 + 3
Упростим выражение с помощью сокращения выражения, записанного в знаменателе:
1 2 — 3 · 2 + 3 2 + 3 = 2 + 3 4 — 3 = 2 + 3
Задания для самостоятельной работы
Упростить записанное выражение:
15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2
Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня и выполним необходимые вычисления:
a 2 = a , если a ≥ 0
15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2 = | 15 | + | — 13 | + 3 = 15 + 13 + 3 = 31
Ответ: 15 2 + ( — 13 ) 2 + 3 2 = 31
Вспомним свойства арифметического квадратного корня и выполним преобразования:
— 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = | — 2 — 5 | + | 2 — 5 |
Вычислим модули по определению:
— 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = | — 2 — 5 | + | 2 — 5 | = 2 + 5 + 5 — 2 = 2 5
Ответ: — 2 — 5 2 + 2 — 5 2 = 2 5
Дано выражение, которое требуется упростить:
a 4 · b 9 3 a — 2 3
Переведем показатели степеней в вид рациональных чисел. Затем выполним необходимые преобразования:
a 4 · b 9 3 a — 2 3 = a 4 — ( — 2 ) · b 9 3 1 3 = a 6 · b 3 1 3 = a 6 1 3 · b 3 1 3 = a 6 3 · b 3 3 = a 2 b
Ответ: a 4 · b 9 3 a — 2 3 = a 2 b
3 + 5 3 — 5 — 3 5 2
Здесь следует исключить иррациональность, которую можно наблюдать в первой дроби. Сделать это можно путем умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, которое сопряжено со знаменателем, то есть на ( 3 + 5 ) . Таким образом:
3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) ( 3 + 5 ) ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) 2 ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2
Заметим, что дробь, которая получилась, может быть преобразована. При этом целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения:
3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = ( 3 + 5 ) 2 ( 3 — 5 ) ( 3 + 5 ) — 3 5 2 = 3 2 + 2 · 3 · 5 + ( 5 ) 2 3 2 — ( 5 ) 2 — 3 5 2 = 9 + 6 5 + 5 9 — 5 — 3 5 2 = 14 + 6 5 4 — 3 5 2
Далее необходимо выполнить вычитание дробей, заранее приведя их к общему знаменателю:
3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = 14 + 6 5 4 — 3 5 2 = 14 + 6 5 — 6 5 4 = 14 4 = 3 , 5
Ответ: 3 + 5 3 — 5 — 3 5 2 = 3 , 5
Дано выражение, которое следует упростить:
27 + 2 50 · ( 5 — 2 )
Здесь следует записать выражение, расположенное под знаком корня, как:
27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 2 · 25 + 2 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 · 5 2 + ( 2 ) 2 · ( 5 — 2 )
В результате получился квадрат суммы, записанный под знаком корня:
27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = 25 + 2 · 5 2 + ( 2 ) 2 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) 2 · ( 5 — 2 )
Вспомним свойство, которым обладает арифметический квадратный корень:
Применим записанную формулу:
27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) 2 · ( 5 — 2 ) = | 5 + 2 | · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) · ( 5 — 2 )
Заметим, что результат данных преобразований является разностью квадратов. В таком случае:
27 + 2 50 · ( 5 — 2 ) = ( 5 + 2 ) · ( 5 — 2 ) = 5 2 — ( 2 ) 2 = 25 — 2 = 23
Корни и степени
Здесь — основание степени, — показатель степени.
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Степень с целым показателем
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
Это верно для . Выражение 0 0 не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .
Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .
Свойства арифметического квадратного корня:
Кубический корень
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .
Например, , так как ;
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .
Корень -ной степени
Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
Сразу договоримся, что основание степени больше 0.
Выражение по определению равно .
При этом также выполняется условие, что больше 0.
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются
— при делении степени на степень показатели вычитаются
— при возведении степени в степень показатели перемножаются
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.