Как найти угол между вектором и плоскостью

А потом провести прямую через точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle O\).

Так вот, по определению, угол между прямой \( \displaystyle a\) и плоскостью \( \displaystyle \alpha \) равен углу (\( \displaystyle \varphi \)) между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle <’>\).

Угол между прямой и плоскостью в задачах

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опустится перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Здесь (\( \displaystyle <_<1>>,<_<1>>,<_<1>>\)), (\( \displaystyle <_<2>>,<_<2>>,<_<2>>\)) – координаты двух точек на прямой, \( \displaystyle A\), \( \displaystyle B\), \( \displaystyle C\) – координаты в уравнении плоскости: \( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0\).

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точка \( \displaystyle M\) – середина ребра.

Найти угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \( \displaystyle SE=3FE\).

Решение задачи геометрическим методом

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \( \displaystyle O\), то \( \displaystyle OE\) – это проекция \( \displaystyle SE\), а точка \( \displaystyle M\) проецируется в точку \( \displaystyle K\) – середину отрезка \( \displaystyle OE\).

И теперь \( \displaystyle FK\) – это проекция \( \displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \( \displaystyle \angle MFK\).

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \( \displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \( \displaystyle 3a\). Заметь, что \( \displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Проще всего найти тангенс этого угла.

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Решение задачи алгебраическим методом (методом координат)

Введём систему координат с центром в точке \( \displaystyle O\), осями \( \displaystyle Ox\) – вдоль \( \displaystyle OE\), \( \displaystyle Oy\ -\ \bot AF\) и \( \displaystyle CD\), \( \displaystyle Oz\) – вдоль \( \displaystyle OS\).

Тогда координаты точки \( \displaystyle F(\frac<2>;

Координаты точки \( \displaystyle M\):

Уравнение плоскости \( \displaystyle ABCDEF:Z=0\)

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью:

Открыть ответы…

Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Все зависит от задачи. Поэтому важно научиться пользоваться двумя методами.

Бонусы: вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14. Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Расстояние между точками и от точки до прямой — это первое видео раздела «Стереометрия», входящее в полный курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).

В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ №14. Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ

Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.

Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.

Об этом в нашем вебинаре в задаче о шестиугольной призме.

ЕГЭ 14 Стереометрия. Разбора задачи статграда, февраль 2021

Что проще: призма или пирамида? Хоть в призме и больше рёбер и граней, но с пирамидами справляться сложнее, причём прямо начиная с рисунка: все линии налезают друг на друга, ничего нигде не параллельно, в общем, лучше бы призму дали.

Но как только научились рисовать пирамиду, сразу всё стало проще: кругом одни треугольники, а как известно, фигур проще треугольника в геометрии найти не так-то просто 🙂

А если где прямые углы найдём, то вообще сказка.

Из этого видео вы узнаете, как правильно рисовать пирамиду и научитесь решать задачу №14 из февральского СтатГрада

Скалярное произведение векторов

Система координат — это совокупность определений, позволяющих определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Мы уже рассказывали, как найти координаты точки.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как . Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: .

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

При умножении вектора на вектор получается число. Если длины векторов , — это числа, косинус угла — число, то скалярное произведение этих векторов можно найти по формуле .

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: либо .

Значок угла можно опустить и писать просто: .

Пусть даны два вектора .

Отложим их от некоторой точки О пространства: . . Тогда угол между векторами — это угол .

Угол между векторами может быть прямым, тупым, острым или равным нулю. Рассмотрим каждый случай:

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

, где α — угол между векторами a и b

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть для векторов , на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:

А для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так:

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = 1; a₂; . ; a_n> и b = 1; b₂; . ; b_n> можно найти по формуле:

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

Сочетательный закон для скалярного произведения:

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов и , если .

В данном случае:

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Введем систему координат.

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В₁ имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

Найдем координаты векторов и :

Найдем длины векторов и :

Найдем скалярное произведение векторов через их координаты и :

Найдем косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁:

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: и .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: , следовательно .

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) , б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен красной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.