Как найти угол между медианой и биссектрисой
Тип 3 № 27774 
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как CM — медиана, то AM = MC (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы A и ACM равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
Как найти угол между медианой и биссектрисой
07.06.2019 
5 июня Что порешать по физике
30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как CM — медиана, то AM = MC (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы A и ACM равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:
∠КСВ = 90° / 2 = 45°, так как СК биссектриса, тогда
ΔМСВ равнобедренный, значит
∠МВС = ∠МСВ = 45° – у.
Найдем угол СМВ:
∠СМВ = 180° – (∠МВС + ∠МСВ) = 180° – (90° – 2у) = 90° + 2у
Площадь треугольника СМВ:
Scmb = 1/2 MC · MB · sin∠CMB
Scmb = 1/2 · c/2 · c/2 · sin(90° – 2y) = c²/8 · cos(2y),
т.к. sin(90° – α) = cosα
Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади), поэтому
Sabc = 2Scmb = c²/4 · cos(2y)
Задание:
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.
Решение:
1) Угол C по условию задачи = 90°. Угол ACD = углу DCB = 90 / 2 = 45°, так как биссектриса CD делит угол пополам.
2) Угол MCD = 14° по условию = > Угол MCB = 14° + 45° = 59°.
3) Медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине => CM = MB, а значит треугольник CMB равнобедренный. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: Угол MCB = углу MBC = 59°.
4) Теперь рассмотрим весь треугольник ACB. Угол C = 90° по условию, угол B = 59° => угол A = 180° – угол C – угол B = 180° – 90° – 59° = 31°.
Как найти угол между медианой и биссектрисой
Задание 6. Острые углы прямоугольного треугольника равны 80° и 10°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведенная из его прямого угла к гипотенузе образует равные отрезки:
То есть, треугольник AMC – равнобедренный с углами . Мы можем взять один из углов в 10° или 80° (принципиально на решение не влияет). Выберем угол в 10°. Значит, . Далее, , т.к. CD – биссектриса. Получаем угол между биссектрисой и медианой: