Упр.859 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Угол между касательными
В этой статье мы рассмотрим, как решать задачи на нахождение угла между касательными.
Угол между касательными.
Пусть дана функция 
и через точку 
к графику этой функции проведены две касательные. Найти тангенс угла между прямыми:
Угол между прямыми — это меньший из двух углов, образованных этими прямыми. В нашем случае это угол 
.
Чтобы найти угол рассмотрим треугольник 
:
В треугольнике угол 
— внешний угол треугольника, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: 
— это угол между касательной 
и положительным направлением оси 
, следовательно, 
Угол 
— это угол между касательной 
и положительным направлением оси , следовательно, 
Итак, 
вполне может быть отрицательным, поэтому
формула для нахождения тангенса угла между касательными 
и 
выглядит так
Найти тангенс большего угла между касательными, проведенными из точки 
к параболе 
.
Заметим, что в этой задаче нужно найти тангенс большего угла между касательными, то есть тангенс тупого угла. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку. Следовательно, нам нужно найти тангенс угла между касательными, и в ответе записать это значение со знаком «-«.
Нужно найти коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе из точки . Но сначала найдем абсциссы точек касания 
и 
.
Вспомним, как находить уравнение касательной, проведенной к графику функции из данной точки, не принадлежащей графику.
Пусть 
— абсцисса точки касания.
имеет вид:
и 
:
. Для этого найдем, чему равны значения производной функции в точках касания.
И.В. Фельдман, репетитор по математике. 
Урок по теме "Уравнение касательной к графику" для 10-х классов с углубленным изучением математики
Цель урока: повторить теоретические знания по данной теме, закрепить их при решении задач.
Ход урока
1. Устная работа
1) Геометрический смысл производной.
— Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0 можно провести касательную не параллельную оси Оу, то производная данной функции в точке х0 выражает угловой коэффициент касательной.
2) Записать формулу уравнения касательной.
3) Известно, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен 0,6. Чему равно значение производной в этой точке?
4) Касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0 образует с положительным направлением оси Ох угол 45 0 . Найдите значение производной в точке касания.
5) В каких точках кривой у = 2 – х 2 касательная к ней параллельна оси Ох.
6) Какой угол (острый или тупой ) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точке с абсциссой х0.
2. Проверка домашней работы.
Двое работают у доски во время устной работы.
3. Работа в группах.
Учитель выступает в роли консультанта. Порядок выполнения заданий не играет роли.
Задача 1. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.
Решение: . Найдем тангенсы углов наклона касательных к положительному направлению оси Ох.
— угол между касательными;
Задача 2. Является ли прямая у=х-1 касательной к кривой у=х 3 -2х+1?
Решение: Найдем общие точки графиков.
Воспользуемся схемой Горнера.
(1;0), (-2;-3) – общие точки.
Найдем угловые коэффициенты касательных в этих точках:
k1= k2=, т.к. угловой коэффициент прямой у=х-2 равен 1, то в точке (-2;-3) она не может быть касательной.
Найдем уравнение касательной в точке (1;0)
Ответ: у=х-1 – касательная в точке (1;0) к графику функции у= х 3 -2х+1.
Задача 3. На параболе у=х 2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?
Решение: у=х 2 , (1;1), (3;9).
Найдем уравнение прямой .
Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.
— угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.
Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.
Задача 4. Составить уравнение касательной к графику функции у=х 3 , х>0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .
Решение: Пусть (х0; у(х0)) — точка касания . Составим уравнение касательной у=х0 3 +3х0 2 (х-х0).
Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
По условию х0 > 0 х0 = 1 – абсцисса точки касания.
Уравнение касательной у = 1 3 + 3*1 3 (х – 1).
4. Итог урока.
В – I.
1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = — 1.
А) у=-2х-3; Б) у= 2х-1; В) у= -2х+3; Г) у= 2х+3.
2. К графику функции у=3(х+2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0= — 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.
А) — 2; Б) 2; В) 1; Г) — 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x 2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.
А) у = 2х+4; Б) у = -2х+4; В) у = -4х+4; Г) у = 4х-3.
В – II.
1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = — 2.
А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у= 4х+8; Г) у= -10х+8.
2. К графику функции у=-4(х-3) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.
А) — 1; Б) 5; В) 2; Г) — 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x 2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.