Как найти собственный вектор

Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

Пусть задана квадратная матрица $A=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right)$ . Ненулевой вектор $X=\left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right)$ называется собственным вектором матрицы , если существует такое ненулевое число $\lambda$ , что $AX=\lambda X$ .

Число $\lambda$ при этом называется собственным значением вектора относительно матрицы .

Матрица $A-\lambda E$ называется характеристической матрицей матрицы , многочлен $\left| A-\lambda E \right|$ называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение $\left| A-\lambda E \right|=0$ называется характеристическим уравнением матрицы .

Собственными числами матрицы являются корни характеристического уравнения $\left| A-\lambda E \right|=0$ и только они.

Координаты собственного вектора соответствующего собственному значению $\lambda$ находятся из однородной системы уравнений

$\left\{ \begin{matrix} \left( a_{11}-\lambda \right)x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+\left( a_{22}-\lambda \right)x_{2}+\ldots +a_{2}x_{n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +\left( a_{nn}-\lambda \right)x_{n}=0 \\ \end{matrix} \right.$

Примеры нахождения собственных векторов и значений матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)$

$\left| \begin{matrix} 4-\lambda & -5 & 7 \\ 1 & -4-\lambda & 9 \\ -4 & 0 & 5-\lambda \\ \end{matrix} \right|=0$

$\left( 4-\lambda \right)\cdot \left( -4-\lambda \right)\cdot \left( 5-\lambda \right)+\left( -5 \right)\cdot 9\cdot \left( -4 \right)+1\cdot 0\cdot 7-\left( -4 \right)\cdot \left( -4-\lambda \right)\cdot 7-1\cdot \left( -5 \right)\left( 5-\lambda \right)-0\cdot \left( 4-\lambda \right)\cdot 9=0$

После раскрытия скобок и приведения подобных получим характеристический многочлен

${ \lambda ^{3}-5\cdot { \lambda ^{2}+17\lambda -13=0$

Раскладываем полученный многочлен на множители:

${ \lambda ^{3}-{ \lambda ^{2}-4\cdot { \lambda ^{2}+4\lambda +13\lambda -13=0$

$\left( \lambda -1 \right)\left( { \lambda ^{2}-4\lambda +13 \right)=0$

Тогда или $\lambda -1=0$ , или ${ \lambda ^{2}-4\lambda +13=0$ . Откуда $\lambda =1$ , а уравнение ${ \lambda ^{2}-4\lambda +13=0$ действительных решений не имеет, так как $D={\left( -4 \right)}^{2}-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0$ .

Таким образом, исходная матрица имеет одно действительное собственное значение $\lambda =1$ .

Для отыскания собственного вектора подставим найденное собственное значение $\lambda =1$ в систему уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} \left( 4-\lambda \right)x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0 \\ x_{1}+\left( 4.+\lambda \right)x_{2}+9x_{3}=0 \\ -4x_{1}+\left( 5-\lambda \right)x_{3}=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 3x_{1}-5x_{2}+7x_{3}=0 \\ x_{1}-5x_{2}+9x_{3}=0 \\ -4x_{1}+4x_{3}=0 \\ \end{array} \right.$

Решим полученную однородную систему уравнений методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -4 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)$

Преобразуем её с помощью элементарных преобразований. Умножим третью строку на $\left( \frac{1}{4} \right)$ :

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -4 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Поменяем местами первую и третью строки:

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 9 \\ 3 & -5 & 7 \\ \end{matrix} \right)$

Прибавим ко второй строке первую и к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 9 \\ 3 & -5 & 7 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix} \right)$

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на $\left( -1 \right)$ :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Умножим вторую строку на $\left( -\frac{1}{5} \right)$ :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Переходя обратно к системе, будем иметь:

$\left\{ \begin{matrix} -x_{1}+x_{3}=0 \\ x_{2}-2x_{3}=0 \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{matrix} x_{1}=x_{3} \\ x_{2}=2x_{3} \\ \end{matrix} \right.$

Полагая $x_{1}=1$ , получаем $x_{2}=2$ и $x_{3}=1$ .

Собственные числа матрицы. Примеры решений

Решение находим с помощью калькулятора. Составим характеристическое уравнение:

Отсюда собственные числа данной матрицы: λ₁=-1, λ₂=7
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям
Подставим собственное число λ₁=-1 в систему однородных уравнений (A-λE)X=0 и найдем ее нетривиальное решение.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n—r)=1 решение. Пусть x₂=1, тогда x₁=-1. Получаем собственный вектор

Рассмотрим собственное значение λ₂=7

Положим x₂=1, тогда x₁=1. Получаем собственный вектор

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные числа данной матрицы: λ_1,2=3, λ₃=6
Найдем собственные векторы, соответствующие λ=3.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n—r)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора

Найдем собственные векторы, соответствующие λ=6.

Ранг матрицы r=2 , ФСР содержит (n—r)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор

Нахождение собственных векторов

Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае , где – собственные значения, её главный определитель равен нулю ( ). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и :

Подставляя поочерёдно значения , полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем n собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.

3.1. Случай

Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:

Восстановим систему уравнений:

Это линейная однородная система. При и её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λЕ равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Найдём собственные значения λ, решая уравнение . Его корни λ₁ = 6, λ₂ = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.

1) При λ₁ = 6 имеем систему , которая сводится к уравнению . Из уравнения следует: , или . В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ₁ = 6, можно взять вектор . Подойдёт также любой вектор, кратный Х₁, например, или .

2) При λ₂ = –1 система имеет вид , она приводится к одному уравнению и . Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению λ₂ = –1, (или любой вектор, кратный ему).

Ответ: , , , .

3.1. Случай

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение

Разложим определитель по элементам первой строки:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:

Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения λ₁, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ₁ = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность (λ − 3), т. е. .

Определим два других корня из уравнения . По теореме Виета получим следующие два корня: λ₂ = 6, λ₃ = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.

1) При λ₁ = 3 имеем однородную систему уравнений

Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду

Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:

Решая эту систему, находим . Положим , тогда получим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ₁=3.

2) При λ₂ = 6 имеем систему уравнений

Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду

Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:

Пусть , тогда , . Собственный вектор .

3) Точно так же находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ₃ = –2.

Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:

Как найти собственный вектор

Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

Примеры нахождения собственных векторов и значений матрицы

Собственные числа матрицы. Примеры решений

Нахождение собственных векторов

Добавить комментарий Отменить ответ