Как привести уравнение к общему виду

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

3.3 Прямая в пространстве

1. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей, если нормали у них не параллельны:

– общее уравнение.

2. – канонические уравнения.

3. – параметрические уравнения.

Геометрический смысл букв, входящих в канонические и параметрические уравнения: – координаты текущей точки прямой, – координаты фиксированной точки прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Заметим, что в каждой точке пространственной прямой можно провести бесчисленное множество векторов, перпендикулярных к ней, не параллельных между собой. Поэтому задание нормали к прямой не определяет ее положения в пространстве. Чтобы составить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве, нужна фиксированная точка прямой и ее направляющий вектор.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

, (16)

Где – радиус-вектор точки , – радиус-вектор фиксированной точки прямой и – ее направляющий вектор.

Расстояние между двумя прямыми и , ( не параллелен ) вычисляется по формуле

. (17)

Условие пересечения прямых: . Если прямые скрещиваются, то .

Чтобы перейти от общего уравнения к каноническим или параметрическим, надо найти фиксированную точку и направляющий вектор. Так как прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, то все точки прямой принадлежат обеим плоскостям. Получаем два уравнения на три неизвестные. Одну из координат, например , полагаем равной любому числу (проще всего нулю) и, решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим остальные две координаты.

Если система окажется несовместной при выбранном (на прямой нет точки с такой аппликатой), то либо полагаем равному другому числу, либо полагаем или .

Направляющий вектор находим как векторное произведение и , так как и .

Пример 1. Написать канонические и параметрические уравнения прямой

Решение. Положим , тогда получим откуда находим , . Фиксированная точка . , , , . Канонические уравнения: . Обозначая , получим параметрические уравнения: , , .

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. В качестве фиксированной точки прямой можно взять любую из точек и . Направляющим вектором служит любой вектор, параллельный прямой (в частности, расположенный на самой прямой), поэтому . Запишем уравнения .

Пример 3. Вычислить расстояние от точки до прямой . Часто вызывает недоумение число нуль, стоящее в знаменателе (одна из координат направляющего вектора равна нулю). В этом случае полагают равным нулю соответствующий числитель, в данном случае – уравнение одной из плоскостей.

Решение. Из уравнения прямой берем фиксированную точку и . Воспользуемся формулой , где , , , . . .

Пример 4. Указать значения , при которых прямые и пересекаются.

Решение. Из уравнений прямых находим , , , , . Условие пересечения прямых запишем в координатной форме , откуда .

Пример 5. Проверить, лежат ли прямые и в одной плоскости.

Решение. Из уравнения прямых находим , , , , тогда . Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы компланарны, значит . Для проверки этого условия запишем его в координатной форме:

, следовательно прямые не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.

Пример 6. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и пересекает две прямые и .

Решение. Из условия находим , , , , тогда , .

Обозначим – направляющий вектор искомой прямой. Будем искать уравнение в виде . Запишем условие пересечения двух прямых: и , откуда для нахождения получаем систему

Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то разделим уравнения, например, на : Решая эту систему относительно неизвестных и , найдем , или .

Итак, . Канонические уравнения искомой прямой: .

Пример 7. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение. Можно было бы от канонических уравнений прямой перейти к общему: или а затем найти точку пересечения трех плоскостей. Рациональней другой путь. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: , , . Подставим эти выражения для в уравнение плоскости: , откуда . Тогда , , .

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Ответ: .

2. Написать параметрические уравнения прямой взяв в качестве фиксированной точки .

Ответ: .

3. Найти расстояние между прямыми и .

4. Найти угол между прямыми и .

Ответ: .

5. Найти проекцию начала координат на прямую .

Ответ: .

6. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую В ответе укажите координаты направляющего вектора.

Ответ: .

7. Составить уравнение проекции прямой на плоскость . В ответе укажите координаты направляющего вектора.

Ответ: .

8. Прямая пересекает прямую , оси и и параллельна плоскости . Найти длину отрезка искомой прямой между точками пересечения ее с осями координат.

9. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости . Если они не параллельны, найти их точку пересечения.

Ответ: .

10. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .

Ответ: .

Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии — составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки — и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .

Общее уравнение прямой по точке и направляющему вектору можно составить по формуле

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .

Решение. Используя формулу (2), имеем:

Далее путём преобразований получаем:

На всякий случай сделаем проверку — подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.

Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле

Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.

Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .

Решение. Используя формулу (3), имеем:

Далее путём преобразований получаем:

Получили общее уравнение плоскости.

Пример 6. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Для построения прямой достаточно знать координаты каких-либо двух точек, например, точек пересечения прямой с координатными осями. Полагая в данном уравнении , получим , т.е. — точка пересечения прямой с осью Oy.

При получим , т.е. — точка пересечения прямой с осью Ox.

По двум точкам и строим прямую (рисунок слева.)

Вектором нормали этой прямой служит вектор .

Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой

Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .

Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.

Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:

Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:

Неполные уравнения прямой

Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.

1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.

2. При уравнение определяет прямую, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой прямой перпендикулярен оси Ox. Аналогично при уравнение определяет прямую, параллельную оси Oy.

3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.

Пример 8. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. В данном уравнении свободный член равен нулю, поэтому оно определяет прямую, проходящую через начало координат. Следовательно, в точке прямая пересекает обе координатные оси. Для построения прямой нужно знать ещё какую-либо её точку. Для этого дадим одной из переменных в заданном уравнении произвольное значение, например, , и найдём соответствующее значение x: . Теперь строим прямую, проходящую через начало координат и точку (рисунок слева).