Математика
Дробь, если грубо, это особая запись числа. Если один арбуз разделить на шесть человек, то каждому достанется кусок, который является частью от того, что имели до деления. 
Сейчас 3 апельсина разделим на 20 человек. Каждому достанется часть от того, что было.
Если взять два куска арбуза (предыдущая картинка), то получим дробь
На следующем рисунке изображена дробь (закрашенная часть)
Обозначение дроби
Обозначается дробь, как .
Черта «-» обозначает деление! Это то же самое, что 1 разделить на 5 или Поэтому, когда 4 конфеты делить на двоих человек, получим дробь , а это 4 разделить на 2, каждый получит по 2 конфеты. Дробь
Верхнее число дроби, называется числителем, нижнее — знаменателем.
Зззззапомни зззззнаменатель внизззззу.
Виды дробей
Дроби бывают положительными и отрицательными. Это зависит от того, какое число в числителе (сверху) — отрицательное или положительное. Знак «-» у отрицательной дроби принято писать перед чертой дроби. Можно его записать сверху, если так удобнее. Знак «+» обычно не пишут, аналогично положительным числам.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Если наоборот, числитель больше знаменателя, то дробь неправильная.
Неправильную дробь можно записать смешанным числом (выделив целую часть)
Целая часть у дроби — это то же самое, что , однако знак «+» принято не записывать.
Особый вид чисел, которые можно представить в виде дробей — десятичные. У таких дробей в знаменателе 10 или 100, или 1000 и т.д.
Любое рациональное число можно обратить в конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь. Например, является конечной дробью. Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется. Повторяющуюся группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, или
Бесконечная десятичная непериодическая дробь представляется таким числом
Представление числа в виде дроби
Любое целое число представляется в виде дроби, знаменатель которой единица. При делении числа на единицу мы получаем то же число.
Если знаменатель и числитель дроби одинаковые числа, то эта дробь равна единице. При делении числа на себя получаем единицу.
Любая дробь, у которой числителем является ноль, равна нулю. Если ноль делить на любое число, получим ноль.
Не существует дроби, у которой в знаменателе ноль . Так как 
Обратное число
Число 
называется обратным числу 
.
Как представить число в виде дроби
Давайте теперь разберём такой пример. Мама купила $12$ мандаринов: себе, папе и двоим детям. По сколько мандаринов достанется каждому, если разделить их поровну?
Получается, иногда дробь можно «поделить до конца» и получить целое число. В таких случаях говорят, что деление выполняется нацело.
С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то в частное – целое число. Если же разделить нацело нельзя, то частное будет дробным числом.
Выглядит это, как будто мы записали пример, а решать его поленились.
Как записать число в виде дроби
Любое натуральное число можно записать в виде дроби. Например, нам нужно представить число $2$ как дробь со знаменателем $4$. Мы уже делали подобное при вычитании дробей из целых чисел. Тогда мы представляли единицу как $\frac<4><4>$, а затем умножали числитель на $2$.
Любое число можно записать в виде дроби с каким-либо знаменателем. Числитель этой дроби будет равен произведению этого числа на знаменатель.
Например, нам нужно представить $4$ как дробь со знаменателем $5$. Нам нужно найти число, которое при делении на $5$ дало бы нам $4$. Чтобы его найти, мы умножаем $5$ на $4$, получается $20$.
Это как если бы мы решали задачу, где нам известно, на сколько человек разделили конфеты, и сколько получил в итоге каждый человек, а неизвестно было бы, какое количество конфет было изначально.
Деление суммы на число
Мы знаем, что при сложении дробей с одинаковыми знаменателями нужно сложить числительные.
А если нам нужно не складывать дроби, а, наоборот, разделить сумму на число?
По-другому это можно записать так:
$$(a+b) : c = a : c + b : c$$
Получается, нам необязательно сначала складывать числа, а потом делить их – можно разделить каждое число и потом сложить результаты.
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.
Например, вспомним задачу с мандаринами. Мама купила $12$ мандаринов, которые разделили на четверых человек. Папа не знал, что мама купила мандарины, и купил $8$ штук по дороге с работы. Старший из детей решил, что мандаринов всё равно мало, пошёл и докупил ещё $4$. По сколько мандаринов получит каждый член семьи, если они разделят все получившиеся мандарины поровну?
У нас получается вот такой пример:
$$(\textcolor
Проверим? $(12+8+4) : 4 = 24 : 4 = 6$
Деление суммы перекликается с нахождением среднего арифметического, о нём мы будем говорить на отдельном уроке.
Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x — 5 , — 3 · a · b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a : ( 1 — b ) , ( x + 1 ) · ( y — 2 ) x 5 — 5 · x · y · 2 — 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 .
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y — 1 и 2 · x x · y — 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 · 3 — 2 = x x · y — 1
Ответ: 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 .
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) .
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) = 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 · x = 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 : x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 : x = ( 2 · ( — 4 ) : 2 ) · ( x · x 2 : x ) · y 4 = — 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) = — 4 · x 2 · y 4 .
Преобразовать выражение вида x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 .
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида ( x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) ) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x — 3 · x — 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 — 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 — 1 2 · x + 2 = ( x — 1 ) · ( x + 1 ) 2 · ( x + 1 ) = x — 1 2
Ответ: x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x — 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Данное выражение можно представить в виде a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a — 5 · ( a + 5 ) a + 3 · 1 a · ( a + 5 ) = a — 5 · ( a + 5 ) · 1 ( a + 3 ) · a · ( a + 5 ) = a — 5 ( a + 3 ) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) — ( a — 5 ) · ( a — 3 ) ( a + 3 ) · a · ( a — 3 ) = = a + 5 · a + 3 — ( a — 5 ) · ( a — 3 ) a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 — ( a 2 — 3 · a — 5 · a + 15 ) a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = = 16 · a a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = 16 a — 3 · ( a + 3 ) = 16 a 2 — 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 — 9 .
Ответ: a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 — 9 .
Представить x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x — 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · ( x + 1 ) 1 · ( x + 1 ) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x — 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1 : 2 · x — 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1 : 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 · ( 1 + x ) ( x + 1 ) · ( 2 · x — 1 ) = 2 · x + 1 2 · x — 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x — 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x — 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 : 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = x · 1 + x ( x + 1 ) · 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = = x 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = x + 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 2 · x — 1