Решение уравнений с модулем методом интервалов
Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений. Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.
Давайте решим следующее уравнение:
У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:
Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.
Решим уравнение |x − 5| − |x| = 1 методом интервалов.
Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x
Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.
Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |x − 5| и |x| .
Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:
Для модуля |x − 5| точкой перехода будет 5 . Для модуля |x| точкой перехода будет 0 .
Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:
Проведем дуги от точек перехода:
С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5
Обратите внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ x < 5 .
Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5 .
Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.
Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид x ≤ 0 , а второй промежуток принял бы вид 0 < x < 5 , потому что ноль уже был включен в первый промежуток.
Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.
Теперь выясним как будут вести себя модули |x − 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.
Начнем с первого промежутка x < 0.
Если x < 0 , то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение x − 5 станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке x < 0 тоже будет раскрываться со знаком минус.
В результате после раскрытия модулей на промежутке x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(x − 5) + x = 1
Решим уравнение −(x − 5) + x = 1 , которое получилось после раскрытия модулей на промежутке x < 0
Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.
Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0 ≤ x < 5 .
Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение x − 5, станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке 0 ≤ x < 5 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0 ≤ x < 5 будет раскрываться с плюсом.
В результате после раскрытия модулей на промежутке 0 ≤ x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(x − 5) − x = 1
Решим это уравнение:
Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку 0 ≤ x < 5 . Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1 . Проверка также показывает это:
Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5 .
Если x больше или равно пяти, то модуль |x − 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.
В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид x − 5 − x = 1 .
Решим это уравнение:
Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.
В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x < 5.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7
Решение
Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |x − 3| и |x + 2|
Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:
Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули |x − 3| и |x + 2| на этих промежутках.
На промежутке x < −2 модуль |x − 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка x < −2 . Например, числа −4 или −9
Следующий модуль |x + 2| на промежутке x < −2 тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка x < −2 в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8
Значит после раскрытия модулей на промежутке x < −2 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:
Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток x < −2. Для этого нужно подставить в неравенство x < −2 найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 < −2 верно, значит корень −3 входит в промежуток x < −2 и соответственно является корнем исходного уравнения.
На следующем промежутке −2 ≤ x < 3 модуль |x − 3| будет раскрываться с минусом, а модуль|x + 2| будет раскрываться с плюсом.
Значит после раскрытия модулей на промежутке −2 ≤ x < 3 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:
Решим это уравнение:
Это уравнение не имеет решений, значит на промежутке −2 ≤ x < 3 исходное уравнение тоже не имеет решений (корней).
Наконец рассмотрим промежуток x ≥ 3
На промежутке x ≥ 3 модуль |x − 3| будет раскрываться с плюсом. Модуль|x + 2| так же будет раскрываться с плюсом. Значит на промежутке x ≥ 3 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:
Решим это уравнение:
Этот корень входит в рассматриваемый промежуток x ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:
Ответ: −3 и 4.
Пример 3. Решить уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16
Решение
Найдём точки перехода для модулей |2x − 3| и |2x + 7|
Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:
Решим исходное уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16 на промежутке 
. Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:
Корень −5 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.
Теперь решим исходное уравнение на промежутке 
. Модуль |2x − 3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:
Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).
Теперь решим исходное уравнение на промежутке 
. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:
Корень 3 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.
Ответ: −5 и 3 .
Пример 4. Решить уравнение |x − 2| + 3x = |x − 5| − 18
Решение
Найдём точки перехода для модулей |x − 2| и |x − 5|
Отметим точки перехода на координатной прямой:
Решим исходное уравнение на промежутке x < 2 . Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:
Число −5 принадлежит промежутку x < 2 , значит является корнем исходного уравнения.
Решим исходное уравнение на промежутке 2 ≤ x < 5 . Модуль |x − 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |x − 5| — с минусом:
Число 
не принадлежит промежутку 2 ≤ x < 5 , значит не является корнем исходного уравнения.
Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 5 . Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:
Число −7 не принадлежит промежутку x ≥ 5 , значит не является корнем исходного уравнения.
Ответ: −5
Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2
Решение
Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x − 4|
Отметим точки перехода на координатной прямой:
Решим исходное уравнение на промежутке x < 0 . Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:
Число 
не принадлежит промежутку x < 0 , значит не является корнем исходного уравнения.
Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x < 4. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |x − 7| и |x − 4| — с минусом:
Число 
не принадлежит промежутку 0 ≤ x < 4 , значит не является корнем исходного уравнения.
Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4 ≤ x < 7 . Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль |x − 7| — с минусом; модуль |x − 4| — с плюсом:
Число 
не принадлежит промежутку 4 ≤ x < 7 , значит не является корнем исходного уравнения.
Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7 . Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:
Число 
не принадлежит промежутку x ≥ 7 , значит не является корнем исходного уравнения.
Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.
В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2 пусто.
Ответ: ø.
Пример 6. Решить уравнение 
Решение
Найдём точки перехода для модулей 
и 
Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.
Если у модуля внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2x − 1 ≥ 0 (что равносильно 
), то исходное уравнение примет вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x| . Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны 
. Отметим эту точку на координатной прямой.
Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x| , то точки перехода надо найти для модулей |2x − 1 − 5| и |6 − x| .
Для модуля |2x − 1 − 5| точкой перехода будет число 3 , а для модуля |6 − x| — число 6 . Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку
Сейчас нас интересуют только те значения x , которые удовлетворяют условию 
, потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток 
мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию
Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это 
. На нем модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом:
Получили тождество — равенство верное при любом значении x . В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка . Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию
Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3 ≤ x < 6 . Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:
Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию , согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.
Теперь решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 6 . На этом промежутке модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с плюсом, а модуль |6 − x| с минусом. Тогда:
Корень 0 не удовлетворяет условию x ≥ 6 , значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.
Итак, если внутренний модуль уравнения раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток , а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:
Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2x − 1 < 0 (что равносильно неравенству 
). В этом случае исходное уравнение примет вид:
Отметим точку на координатной прямой.
Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от . Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.
Найдем точки перехода для модулей |−2x + 1 − 5| и |6 − x| . Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6
Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от . Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом
Решим уравнение на промежутке x < −2 . На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:
Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x < −2 исходное уравнение не имеет корней.
Решим теперь уравнение на промежутке alt=»метод интервалов рисунок 42″ width=»94″ height=»45″ />. Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2x + 1 − 5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка alt=»метод интервалов рисунок 42″ width=»94″ height=»45″ />модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом.
Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток x < −2 , который мы уже рассмотрели. На промежутке x < −2 модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.
На промежутке 
модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:
Получится корень который не удовлетворяет условию . Несмотря на это число является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2x − 1 ≥ 0 .
Задания для самостоятельного решения
Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.
Решение модуля 4.2 «Поколение Python» stepik.org
В этом уроке идут задания на отработку логических операторов: and, or и not. На этой странице представлены все решения задач из этого модуля (урока).
Расположите логические операторы в порядке значимости их приоритета (от наибольшего до наименьшего).
- Логическое отрицание not
- Логическое умножение and
- Логическое сложение or
Приведенная ниже таблица истинности показывает разные комбинации истинности и ложности значений, соединённых логическими операторами. Заполните таблицу, выбрав True или False, чтобы показать, является результатом такой комбинации истина или ложь.
True and False – False
True and True – True
False and True – False
False and False – False
True or False – True
True or True – True
False or True – True
False or False – False
not True – False
not False – True
Приведенная ниже таблица истинности показывает разные комбинации истинности и ложности значений, соединённых логическими операторами. Заполните таблицу, выбрав True или False, чтобы показать, является результатом такой комбинации истина или ложь.
| Логическое выражение | True | False |
|---|---|---|
| a == 2 or b > 2 | + | |
| 6 <= c and a > 3 | + | |
| 1 != b and c != 3 | + | |
| a >= -1 or a <= b | + | |
| not (a > 2) | + | |
| not (c <= 10) | + |
Что будет выведено на экран в результате выполнения следующей программы?
Ответ: число 34 выиграло
Какое значение будет выведено на экран после выполнения следующей программы, если с клавиатуры введено число 7?
Ответ: 100
Принадлежность 1
Напишите программу, которая принимает целое число xx и определяет, принадлежит ли данное число указанному промежутку.
Формат входных данных
На вход программе подаётся целое число xx.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.Примечание. Если точка выколотая, то граница не включается, если точка закрашенная, то граница включается.
Принадлежность 2
Напишите программу, которая принимает целое число xx и определяет, принадлежит ли данное число указанным промежуткам.
Формат входных данных
На вход программе подаётся целое число xx.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.Примечание. Если точка выколотая, то граница не включается, если точка закрашенная, то граница включается.
Принадлежность 3
Напишите программу, которая принимает целое число xx и определяет, принадлежит ли данное число указанным промежуткам.
Формат входных данных
На вход программе подаётся целое число xx.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.Примечание. Если точка выколотая, то граница не включается, если точка закрашенная, то граница включается.
Красивое число ?️
Назовем число красивым, если оно является четырехзначным и делится нацело на 77 или на 1717. Напишите программу, определяющую, является ли введённое число красивым. Программа должна вывести «YES», если число является красивым, или «NO» в противном случае.
Формат входных данных
На вход программе подаётся натуральное число.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.
Неравенство треугольника
Напишите программу, которая принимает три положительных числа и определяет, существует ли невырожденный треугольник с такими сторонами.
Формат входных данных
На вход программе подаётся три положительных целых числа.Формат выходных данных
Программа должна вывести «YES» или «NO» в соответствии с условием задачи.Примечание. Треугольник существует, если выполняется неравенство треугольника.
Високосный год
Напишите программу, которая определяет, является ли год с данным номером високосным. Если год является високосным, то выведите «YES», иначе выведите «NO».
Год является високосным, если его номер кратен 4, но не кратен 100, или если он кратен 400.
Формат входных данных
На вход программе подаётся натуральное число.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.
Ход ладьи
Даны две различные клетки шахматной доски. Напишите программу, которая определяет, может ли ладья попасть с первой клетки на вторую одним ходом. Программа получает на вход четыре числа от 1 до 8 каждое, задающие номер столбца и номер строки сначала для первой клетки, потом для второй клетки. Программа должна вывести «YES», если из первой клетки ходом ладьи можно попасть во вторую, или «NO» в противном случае.
Формат входных данных
На вход программе подаётся четыре числа от 1 до 8.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.Примечание. Шахматная ладья ходит по горизонтали или вертикали.
Ход короля ?️
Даны две различные клетки шахматной доски. Напишите программу, которая определяет, может ли король попасть с первой клетки на вторую одним ходом. Программа получает на вход четыре числа от 1 до 8 каждое, задающие номер столбца и номер строки сначала для первой клетки, потом для второй клетки. Программа должна вывести «YES», если из первой клетки ходом короля можно попасть во вторую, или «NO» в противном случае.
Формат входных данных
На вход программе подаётся четыре числа от 1 до 8.Формат выходных данных
Программа должна вывести текст в соответствии с условием задачи.Примечание. Шахматный король ходит по горизонтали, вертикали и диагонали, но только на 1 клетку.
19. Анализ математических моделей
Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.
Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Чтобы произведение было больше 40, числа должны быть больше 6 (одно число может равняться 6, но остальные должны быть больше). Чтобы произведение было меньше 10, числа должны быть не больше 10. Подходит набор 6,7,8,9,10.
б) Для удобства будем считать, что числа написаны в порядке возрастания a
На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Обозначим за n – количество чисел на доске, за x – количество положительных, за y – количество отрицательных. Обозначим за z – количество нулей. Тогда $n=x+y+z$ .
Пусть S — сумма всех чисел, тогда $S=3\cdot n$ .
Пусть S + — сумма всех положительных из них, тогда $S^<+>=10\cdot x$ .
Пусть S — — сумма всех отрицательных из них, тогда $S^<->=-5\cdot y$
Теперь свяжем то, что мы записали. А именно, учтем, что сумма всех чисел равна сумме всех положительных плюс сумма всех отрицательных S = S + + S — , получаем уравнение: 3n = 10x – 5 y.
Справа стоит число, которое делится на 5. Значит слева тоже должно стоять число, которое делится на 5, иначе уравнение не имеет решений в целых числах. Но для того, чтобы 3n делилось на 5, нужно, чтобы n делилось на 5. То есть, n — какое-то из чисел: 5, 10, 15 … 40, 45, 50, …. Единственное n, которое удовлетворяет условию 45 30 выполняется неравенство x (например, если y = 32, то x = 31), а при y y (например, если y = 28, то x = 29).
Но $x+y\leq 50$ , так как всего на доске 50 чисел. Значит, y не может быть больше 30. А значит x>y. Или количество положительных больше количества отрицательных.
В третьем пункте нас просят найти максимально возможное количество отрицательных чисел. В пункте б) мы как раз получили те уравнения и неравенства из которого можно это оценить:
$\left\< \begin
Подставим x из уравнения в неравенство:
$15+\displaystyle \frac
$\displaystyle \frac<3><2>y\leq 35$
Но мы помним, что y – целое и четное, а значит $y\leq 22$ .
Видим, что наибольшее количество отрицательных чисел, которое подходит – это 22.
Пусть у нас в наборе 26 «десяток», 22 «минус пятерки», а остальные нули. Сумма равна 150 – все верно, средние арифметические положительных и отрицательных, очевидно равны 10 и -5 соответственно.
Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Обозначим суммы чисел в группах $S_<1>,S_<2>,S_<3>,S_<4>$, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через A. Можно считать, что $S_<1>\leq S_<2>\leq S_<3>\leq S_<4>$
а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей S равнялась 0, то есть $S_<1>=S_<2>=S_<3>=S_<4>$ Сумма всех двадцати чисел $1+2+. +20=\displaystyle \frac<20\cdot 21><2>=210$. С другой стороны, она равна $4S_<1>$ , но 210 не делится на 4. Значит, не может.
б) Чтобы число А равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0. Значит, $S_ <1>< S_<4>$, но в этом случае каждая из сумм $S_<2>,S_<3>$ не равна хотя бы одной из сумм $S_<1>,S_<4>$. поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число А не меньше 3. Иными словами, если есть хотя бы одна разность, равная 1, а остальные нули, то найдётся ещё три разности, которые вместе с ней дадут 1. Поэтому А не может быть меньше чем 3. Значит, не может быть.
в) Выразим число А явно через суммы:
В предыдущих пунктах было показано, что A≥ 3.
Если A = 3, то $S_<1>=S_<2>=S_<3>=S_<4>-1$ или $S_<4>=S_<2>=S_<3>=S_<1>+1$ В этом случае сумма всех двадцати чисел равна $4S_<1>+1$ или $4S_<4>-1$ , то есть нечётна, что неверно.
Попробуем следующее минимальное значение А = 4. Достаточно подобрать пример, когда это возможно:
20,19,13; 18,17,9,8; 16,15,14,5,3; 12,11,10,7,6,4,2,1 – такое разбиение подходит, А = 4.
Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.
Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.
в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого, отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: $1,\sqrt<2>,\sqrt<3>. \sqrt<12>$
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.
Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 15.
б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100?
в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Число 15 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:
б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 50 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 49 ∙ 2 = 101. Значит, после 50 ходов на доске не может оказаться число 100.
в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано a + b и 2a − 1 или a + b и 2b – 1. В первом из этих случаев разность чисел равна b – a + 1, а во втором b – a – 1 . То есть после каждого хода разность большего и меньшего чисел изменяется на 1, причём для любых двух различный чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.
Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 2015 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.
Например, если сначала сделать 1008 ходов, увеличивающих разность, а затем 1007 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.
в) Нет, не всегда. Пример-опровержение: для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число S быть равным 34?
б) Может ли число S быть больше $33\displaystyle \frac<1><18>$?
в) Найдите максимально возможное значение S.
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных $\displaystyle \frac<34><35>$. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac<34><35>=17\displaystyle \frac<17><35>>17$ Значит, S не может быть равным 34.
б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 17, получаем S ≤ 34.
Пусть $33\displaystyle \frac<1><18>< S\leq 34$. Рассмотрим разбиение числа S на 35 слагаемых, равных между собой.
$\displaystyle \frac<35>\leq \displaystyle \frac<34> <35>< 1$
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac<35>>18\cdot \displaystyle \frac<33\displaystyle \frac<1><18>><35>=17$. Значит, S не может быть больше $33\displaystyle \frac<1><18>$.
в) Рассмотрим произвольное представление $33\displaystyle \frac<1><18>$ в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих $1:S=x_<1>+x_<1>+. x_
Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию. Первую группу составим из k небольших слагаемых так, чтобы
Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть $S_ <1>< 33\displaystyle \frac<1><18>-17=16\displaystyle \frac<1><18>.$
В этом случае $\displaystyle \frac<17> <18>< 17-S_ <1>< x_
Поэтому $k < 17$, $k\geq 16$ и $S_<1>=x_<1>+x_<1>+. x_
Полученное противоречие доказывает, что $S_<1>=16\displaystyle \frac<1><18>$.
Поэтому сумма слагаемых во второй группе: $S_<2>=x_
Таким образом, число $S=33\displaystyle \frac<1><18>$ удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел $S>33\displaystyle \frac<1><18>$ не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение S — это $33\displaystyle \frac<1><18>$. Разбиение на числа, равные $\displaystyle \frac<34><35>$.
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.
б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?
в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условий = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19 получаем:
Так как все числа натуральные и в сумме дают 15, одно из слагаемых должно быть равно 0. Иначе в сумме получается число, которое больше 4. Получаем два случая:
Этот случай не реализуется, так как самое больше число а больше как минимум 3, а b>2.
б) Из условия получаем:
Поскольку a>b получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при a=b+1 и c=d+1 Значит, 2b+2d+2=23 что невозможно, так как число 23 нечетное.
в) Из равенства a + b + с + d = a 2 − b 2 + с 2 − d 2
получаем: a=b+1 и c=d+1 как в прошлом пункте.
Значит, 2a+2d=1200, d=600-a
Получаем четвёрку чисел a,b=a-1,c=601-a,d=600-a
Поскольку b>c получаем: a-1>601-a;
Кроме того, d>0 откуда a
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.
в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $\displaystyle \frac<41><7>$ , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являютс задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.