Делители и кратные числа: определения и примеры
Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях 1 и — 1 , а также делителях и кратных 0 .
Основные определения
Для начала сформулируем определения для целого числа.
Делитель целого числа a есть такое число b , на которое можно разделить a без остатка.
Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.
Делитель целого числа a – это такое число b , которое в сочетании с некоторым числом q делает справедливым равенство a = b · q .
Когда мы говорим о числе b , являющимся делителем целого числа a , это значит, что b делит a , что можно записать кратко как b | a или b \ a .
Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть a = a · 1 и a = 1 · a . Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства a = ( − a ) · ( − 1 ) и a = ( − 1 ) · ( − a ) . Из них следует, что у a будет еще два делителя, равных − a и − 1 . Следовательно, целое число a мы всегда можем разделить на a , − a , 1 и − 1 . К примеру, число 12 делится на 12 , — 12 , 1 и — 1 .
Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем 0 может стать любое целое число (включая сам 0 ), а единица и минус единица имеют только делители, равные 1 и − 1 соответственно.
Таким образом, 0 всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у 1 и − 1 будут только 2 делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят a , − a , 1 и − 1 .
Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?
Так, 8 можно разделить на — 2 , поскольку равенство 8 = ( − 2 ) · ( − 4 ) верное (если нужно, повторите материал об умножении целых чисел). Восьмерку мы также можем разделить на − 8 , − 4 , − 1 , 1 , 2 , 4 , 8 , а вот — 3 не входит в состав делителей, поскольку числа q , при котором равенство 8 = ( − 3 ) · q было бы верным, не существует. То есть разделить 8 на — 3 мы можем только с остатком. Кроме указанных делителей, мы не можем разделить восьмерку ни на какие целые числа без остатка.
Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если b – делитель целого числа a , то и противоположное число — b тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.
Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число b будет делителем a , то a можно разделить и на — b , следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного a будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.
Далее мы будем говорить лишь о положительных делителях целых положительных (натуральных) чисел.
У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим 1 отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше 2 делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.
Наименьший положительный делитель числа a – это единица (если само число a не равно 1 ),
а число a – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального a положительный делитель b будет соответствовать условию 1 ≤ b ≤ a . Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.
Понятие кратных чисел
Начнем, как всегда, с определения.
Число a называется кратным b , если его можно разделить на b без остатка.
Другими словами, кратное b число является некоторым числом a , для которого будет верным равенство a = b · q (здесь q – некоторое целое число). Если у нас есть a , которое по отношению к b является кратным, мы говорим, что a кратно b . Записать это можно так: a ⋮ b .
Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если a является кратным b , то b будет делителем данного числа, и наоборот.
Возьмем несколько примеров кратных чисел.
Так, — 12 будет кратно трем, поскольку − 12 = 3 · ( − 4 ) . У тройки есть много других кратных, например, 0 , 3 , − 3 , 6 , − 6 , 9 , − 9 и др. А 5 не будет кратным 3 , поскольку нет такого q , при котором было бы верным равенство 5 = 3 · q .
Согласно определению кратных чисел, 0 будет кратным по отношению к любому b , в том числе и нулевому. Доказательством является равенство 0 = b · 0 , ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.
Также уточним, что для любого целого числа b существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению b · q , где q – любое целое число, будет кратным b .
Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).
Далее будут рассмотрены другие случаи с натуральными кратными целых положительных чисел.
Что значит кратно числу? Как это понять?
В заданиях по математике можно встретить фразы: "найдите число, кратное. " Иногда эта формулировка может вызвать непонимание. Что значит кратно? Это значит, что одно число делится на другое целиком, без остатка. Приведем пример: Найти число, кратное 2. Это значит, что число должно без остатка делиться на 2. Ответом может быть любое четное число.
Приведем еще пример: Число, кратное 5. Что это за число? Например, 10, 35, 55, 60 и все другие, которые делятся на 5 без остатка.
Про кратность можно сказать и так: Число 16 кратно 4 (шестнадцать кратно четырем) — это значит, что 16 делится без остатка на 4.
Кратность в математике означает делимость.
Кратно, кратный, сократить — это родственные слова, образованные от старинного слова «крат», то есть «раз». Сейчас это слово употребляется только в выражении «во сто крат», то есть «в сто раз».
Число Х кратно числу Y — значит, число Х можно разделить (сократить) на Y, то есть Х делится на Y без остатка.
Кратное — это число, которое делится на данное число.
«Кратно» — краткое прилагательное от «кратный».
12 кратно числу 3, то есть 12 можно сократить на 3, разделить на 3 без остатка.
20 кратно числу 5, то есть 20 можно сократить на 5, разделить на 5 без остатка.
Кратно какому-либо числу может быть только другое определённое (меньшее первому) число, обладающее соответствующими свойствами: кратное число должно быть ровно во сколько-то крат (раз) больше другого. Это арифметическое понятие.
- Число 26 кратно числу 13. Оно больше 13 ровно в два раза.
- Число 100 кратно числу 5, потому что оно больше 5 ровно в 20 раз.
- Число 101 не кратно числам 10 или 5, потому что при делении 101 на 10 или на 5 возникает остаток 1, который и препятствует кратности.
Говорить, например, о том, что число 5 кратно сотне, не совсем верно. Кратное число — это большее, но не меньшее. Кратное число — не делитель, а делимое. Так считать удобнее и грамотнее. 1 не кратно 1000, а вот 1000 кратно 1.
Слово "кратно" напоминает слово "сократить". Вспомните привычную фразу: "количество сократилось вдвое" — это значит, что изначальное число разделили на два. В математике слово "кратно" можно заменить на слово "делится" (причем подразумевается деление без остатка), например:
десять кратно двум = десять делится на два
восемь кратно четырем = восемь делится на четыре
То есть кратное — это не делитель, а делимое, "кратное" = "делящиеся". Часто задача звучит так: "Найти наименьшее число, кратное двум и семи". Это значит, что мы должны узнать, какое число без остатка делится и на два и на семь. Очевидно, что это — 14.
Иногда слово "кратное" применяют не только в учебниках математики, но в разговорах, касающихся экономических или других показателей.
Найти кратные числа онлайн
Нахождение кратных чисел с калькулятором онлайн. Просто введите любое целое число, а калькулятор быстро посчитает и выдаст результат.
Калькулятор
Инструкция
Примечание: π записывается как pi ; корень квадратный как sqrt() .
Шаг 1. Введите число.
Шаг 2. Нажмите кнопку “Найти”.
Шаг 3. Получите результат.
Шаг 4. Нажмите кнопку “More”, чтобы увидеть больше кратных чисел.
Например, ищете кратные числа к цифре 6. Вводите цифру “6” в поле “Введите число” и высветятся: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60. Это и есть числа, кратные “6”.
Что такое кратные числа
Кратные числа – это такие числа, которые делятся на любое заданное целое число без какого-либо остатка. То есть, в итоге должно получится целое число.
Например: число 12 делится без остатка на 3, 4 и 6. Это означает, что 12 является кратным числам 3, 4, 6, так как существуют натуральные числа 4, 3 и 2. Это легко проверить на примерах ниже: