Факториал в Excel
В этой статье я расскажу о факториале, его свойствах и о том, как вычислить его значение с помощью Excel. Мы проверим, как точно вычисляет значение факториала формула Стирлинга и разберем решение типовых задач с факториалами, а на закуску — несколько видеороликов (и конечно расчетный файл эксель). Удачи!
Что такое факториал?
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. Факториал определен только для целых неотрицательных чисел.
$$n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot . \cdot (n-1) \cdot n$$
По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$. Далее:
$$ 2!=1 \cdot 2 = 2,\\ 3!=1 \cdot 2 \cdot 3= 6,\\ 4!=1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4= 24,\\ 5!=1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5= 120,\\ . $$
Факториал растет невероятно быстро (недаром он обозначается восклицательным знаком!), существенно быстрее степенной $x^n$ или даже экспоненциальной функции $e^n$ (но медленее чем $e^
Факториал широко применяется в комбинаторике — он равен числу всех перестановок $n$-элементного множества, а также входит в формулы для числа сочетаний и размещений. Факториал встречается в математическом анализе (чаще при разложениях функции в степенные ряды), а также в функциональном анализе и теории чисел.
Формулы и свойства факториала
Рекуррентная формула для факториала:
Факториал связан с гамма-функцией по формуле: $n!= \Gamma(n+1)$. Фактически, гамма-функция — обобщение понятия факториала на все положительные вещственные функции.
Для любого натурального $n$ выполняется:
$$ (n!)^2 \ge n^n \ge n! \ge n. $$
Любопытная формула связывает факториал и производную степенной функции:
Формула Стирлинга
Для приближенного вычисления факториала применяют асимптотическую формулу Стирлинга:
Обычно для расчетов берут только главный член:
$$ n! \approx \sqrt <2\pi n>\left( \frac
Ниже вы увидите пример расчета факториала по обычной формуле и с помощью формулы Стирлинга, которая, как видно, дает вполне хорошее приближение (начиная с $n=9$ относительная погрешность уже меньше 1%).
Расчет факториала в Эксель
Для нахождения факториала в Excel нужно использовать специальную функцию =ФАКТР($n$) , где $n$ — число, факториал которого нужно найти.
Пример расчета и ввода формулы ниже на скриншоте, также вы можете скачать расчетный файл
Примеры задач с факториалом
Рассмотрим решение типовых задач.
Пример 1. На полке стоят 8 дисков. Сколькими способами их можно расставить между собой?
Решение. Требуется найти число всех перестановок 8 различных объектов, что вычисляется как раз как факториал:
$$N=8!=1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=40320.$$
Пример 2. Вычислить
Пример 3. Упростить выражение
Пример 4. Упростить дробь, содержащую факториал:
Видео о факториале
Небольшое учебное видео про факториал — определение, свойства, как быстро растет, как вычислить в Excel по встроенной формуле и по приближенной формуле Стирлинга.
Как считать факториал в экселе
Предположим, что у вас шесть колокольчиков с разными тонами и вы хотите найти количество уникальных последовательностей, в которых каждый колокольчик можно запускать один раз. В этом примере вычисляются факториал из шести. Как правило, с помощью факториала можно подсчитать количество способов у организовать группу отдельных элементов (также называемых перестроениями). Чтобы вычислить факториал числа, используйте функцию ФАКТЫ.
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ФАКТР в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает факториал числа. Факториал числа — это значение, равное 1*2*3*…* число.
Синтаксис
Аргументы функции ФАКТР описаны ниже.
Число — обязательный аргумент. Неотрицательное число, для которого вычисляется факториал. Если число не является целым, оно усекается.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Факториал числа часто используется, например, для расчета количества перестановок или вычисления биномиальных коэффициентов.
Рассмотрим особенности использования факториала в Excel.
Для начала освежим в памяти что же такое факториал числа.
Факториал числа n — произведение натуральных чисел от 1 до n (включительно), обозначается как n!.
В общем виде формула расчета факториала имеет вид n!=1*2*3*…*n, при этом по умолчанию считается, что 0!=1.
Наибольшее применение факториал имеет в комбинаторике и теории чисел.
Перейдем от теории к практике.
Для расчета факториала в Excel применяется функция ФАКТР:
ФАКТР(число)
Возвращает факториал числа, равный 1*2*3*…*число.
- Число(обязательный аргумент) — натуральное число (т.е. целое неотрицательное), факториал которого вычисляется.
В случае, если в качестве аргумента функции было введено нецелое число, то оно округляется в меньшую сторону.