Сумма чисел от 1 до 100
Аналогичным образом доказывается общая формула для суммы всех чисел от 1 до n, где n — произвольное целое число:
1 + 2 + . + (n – 1) + n = n × (n+1) / 2
Примечание: В качестве иллюстрации к этой головоломке приведён портрет великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Согласно легенде, когда учитель математики задал маленькому Гауссу точно такую же задачу с целью надолго его занять, тот практически мгновенно решил её в уме, причём именно таким способом, как описано выше.
Как сложить все числа от 1 до 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Блог питониста
Гаусс быстро дал ответ: 5050. Так быстро? Учитель не поверил, но юный гений оказался прав. Складывать все числа от 1 до 100 — это для слабаков! Гаусс нашёл формулу:
Как это у него получилось? Давайте попробуем разобраться на примере суммы от 1 до 10.
Первый способ: разбить числа на пары
Запишем числа от 1 до 10 в виде матрицы c двумя строками и пятью столбцами:
Интересно, сумма каждого столбца равна 11 или $n+1$. И всего таких пар чисел 5 или $\frac
$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac
Если нечетное число слагаемых?
Что, если сложить числа от 1 до 9? У нас не хватает одного числа для составления пяти пар, но мы можем взять ноль:
Сумма столбцов теперь равна 9 или ровно $n$. А количество столбцов? По-прежнему пять столбцов (спасибо нулю!), но теперь количество столбцов определяется как $\frac
$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac
Второй способ: увеличить вдвое и записать в две строки
Мы немного по-разному считаем сумму чисел в этих двух случаях.
Может быть, есть способ одинаково посчитать сумму для четного и нечетного количества слагаемых?
Вместо того, чтобы делать из чисел своеобразную «петлю», давайте запишем их в две строки, при этом количество чисел умножим на два:
Для нечетного случая:
Видно, что в обоих случаях сумма столбцов равна $n+1$, а количество столбцов $n$.
$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=n\cdot(n+1)$$
Но нам нужна сумма только одной строки, поэтому:
Третий способ: сделать прямоугольник
Есть еще одно объяснение, давайте попробуем сложить крестики, допутим у нас есть крестики:
Как нам посчитать количество крестиков? Давайте добавим такое же количество ноликов:
Похоже просто на другое представление второго способа — каждая последующая строка пирамидки имеет больше крестиков и меньше ноликов. Количество всех крестиков и ноликов — площадь прямоугольника.
Но нам нужна сумма крестиков, поэтому:
Четветрый способ: среднее арифметическое
Известно: $Среднее\ арифметическое=\frac<Сумма><Количество\ членов>$
Тогда: $Сумма = среднее\ арифметическое\cdotКоличество\ членов$
Количество членов нам известно — $n$. А как выразить Cреднее арифметическое?
Заметьте, числа распределены равномерно. На каждое большое число приходится маленькое, расположенное на другом конце.
1 2 3, среднее 2
1 2 3 4, среднее 2.5
В этом случае среднее арифметическое — это среднее арфиметическое чисел 1 и $n$, тоесть $Среднее\ арифметическое=\frac
Пятый способ: интеграл
Все мы знаем, что определенный интеграл вычисляет сумму. Посчитаем сумму от 1 до 100 интегралом? Да, но для начала давайте хотя бы найдем сумму от 1 до 3. Пусть наши числа будут функцией y(x). Нарисуем картинку:
Высоты трех прямоугольников — как раз числа от 1 до 3. Проведем прямую через середины «шапок»:
Неплохо было бы найти уравнение этой прямой. Она проходит через точки (1.5;1) и (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin
Таким образом, уравнение прямой, которой мы можем аппроксимировать наши прямоугольники $y=x-0.5$
Она отсекает от прямоугольников желтые треугольники, но «добавляет» к ним сверху голубые. Желтые равны голубым. Сначала убедимся, что использование интеграла ведёт к формуле Гаусса:
Теперь посчитаем сумму от 1 до 3, по иксу берем от 1 до 4, чтобы все наши три прямоугольника попали в интеграл:
Чтобы посчитать сумму от 1 до 100 нужно взять интеграл от 1 до 101:
И зачем все это нужно?
Наша формула позволяет быстро подсчитать сумму чисел. Заметьте:
В первый день на ваш сайт зашел один человек, на второй день двое… Каждый день количество посещений увеличивалось на 1. Сколько всего посещений наберет сайт к концу 1000-го дня?