Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

10+ советов по написанию быстрого кода в Mathematica

Когда люди говорят мне, что Mathematica недостаточно быстро работает, обычно я прошу посмотреть код и часто обнаруживаю, что проблема не в производительности Mathematica, а в её не оптимальном использовании. Я хотел бы поделиться списком тех вещей, на которые я обращаю внимание в первую очередь при попытке оптимизировать код в Mathematica.

1. Используйте числа с плавающей точкой, и переходите к ним на как можно более ранней стадии.

Самая распространённая ошибка, которую я замечаю, когда разбираюсь с медленным кодом — задание слишком высокой точности для данной задачи. Да, неуместное использование точной символьной арифметики — самый распространенный случай.

У большинства вычислительных программных систем нет такого понятия, как точная арифметика — для них 1/3 это то же самое, что и 0,33333333333333. Это различие может играть большую роль, когда вы сталкиваетесь со сложными и неустойчивыми задачами, однако для большинства задач числа с плавающей точкой вполне удовлетворяют нуждам, и что важно — вычисления с ними проходят значительно быстрее. В Mathematica любое число с точкой и с менее чем 16 цифрами автоматически обрабатывается с машинной точностью, потому всегда следует использовать десятичную точку, если в данной задаче скорость важнее точности (например, ввести треть как 1./3.). Вот простой пример, где работа с числами с плавающей точкой проходит почти в 50,6 раза быстрее, чем при работе с точными числами, которые лишь затем будут переведены в числа с плавающей точкой. И в этом случае получается такой же результат.

То же самое можно сказать и для символьных вычислений. Если для вас не принципиальна символьная форма ответа и устойчивость в этой задаче не играет особой роли, то постарайтесь как можно раньше перейти к форме числа с плавающей точкой. Например, решая это полиномиальное уравнение в символьном виде, перед тем, как подставить значения, Mathematica строит промежуточное символьное решение на пять страниц.

Но если сперва выполнить подстановку, то Solve будет использовать значительно более быстрые численные методы.

При работе со списками данных следует быть последовательным в использовании действительных чисел. Всего лишь одно точное значение в наборе данных переведёт его в более гибкую, но менее эффективную форму.

2. Используйте Compile.

Функция Compile принимает код Mathematica и позволяет предварительно задавать типы (действительный, комплексный и т. д.) и структуры (значение, список, матрица и т. д.) входных аргументов. Это лишает части гибкости языка Mathematica, но освобождает от необходимости беспокоиться о том, «Что же делать, если аргумент в символьной форме?» и других подобных вещах. Mathematica может оптимизировать программу и создать байт-код для его запуска на своей виртуальной машине (возможна также компиляция в C — см. ниже). Не всё можно скомпилировать, и очень простой код может и не получить никаких преимуществ, однако сложный и низкоуровневый вычислительный код может получить действительно большое ускорение.

Использование Compile вместо Function даёт ускорение более чем в 80 раз.

Но мы можем пойти дальше, сообщая Compile о возможности распараллеливания этого кода, получая ещё лучший результат.

На моей двухъядерной машине я получил результат в 150 раз быстрее, чем в изначальном случае; прирост скорости будет ещё заметнее с большим количеством ядер.

Однако следует помнить, что многие функции в Mathematica, такие как Table, Plot, NIntegrate и ещё некоторые автоматически компилируют свои аргументы, так что вы не увидите каких-либо улучшений при использовании Compile для вашего кода.

2.5.… и используйте Compile для генерации кода на C.

Кроме того, если ваш код компилируется, то вы также можете использовать опцию CompilationTarget -> «C» для генерации кода на C, что автоматически вызовет компилятор C для компиляции в DLL и отправки ссылки на него в Mathematica. Мы имеем дополнительные издержки на этапе компиляции, но DLL выполняется непосредственно в процессоре, а не в виртуальной машине Mathematica, так что результаты могут быть еще быстрее (в нашем случае, в 450 раз быстрее, чем изначальный код).

3. Используйте встроенные функции.

Mathematica содержит много функций. Больше, чем обычный человек сможет выучить за один присест (последняя версия Mathematica 10.2 содержит уже более 5000 функций). Так что не удивительно, что я часто вижу код, где кто-то реализовывает какие-то операции, не зная, что Mathematica уже умеет их осуществлять. И это не только пустая трата времени на изобретение велосипеда; наши ребята основательно потрудились, создав и наиболее эффективно реализовав лучшие алгоритмы для различных типов входных данных, так что встроенные функции работают действительно быстро.

Если вы найдете что-то похожее, но не совсем то, то вам следует проверить параметры и необязательные аргументы — часто они обобщают функции и охватывают многие специальные и более отдалённые приложения.

Вот пример. Если у меня есть список из миллиона матриц 2х2, который я хочу превратить в список из миллиона одномерных списков из 4 элементов, то по идее самый простой способ будет использовать Map на функцию Flatten, применённую к списку.

Но Flatten знает, как самой решить эту задачу, если вы укажете, что уровни 2 и 3 структуры данных должны быть объединены, а уровень 1 чтобы не затрагивался. Указание подобных деталей может быть несколько неудобным, однако используя только одну Flatten, наш код будет выполнен в 4 раза быстрее, чем в случае, когда мы будем заново изобретать встроенные в функцию возможности.

Так что не забывайте заглянуть в справку перед тем, как вводить какой-то свой функционал.

4. Используйте Wolfram Workbench.

Mathematica прощает некоторые виды ошибок в коде, и всё будет спокойно работать, если вы вдруг забыли инициализировать переменную в нужный момент, и не нужно заботиться о рекурсии или неожиданных типах данных. И это здорово, когда вам нужно просто по-быстрому получить ответ. Однако подобный код с ошибками не позволит вам получить оптимальное решение.

Workbench помогает сразу несколькими способами. Во-первых, он позволяет лучше отлаживать и организовывать крупные проекты, а когда всё ясно и организованно, то значительно проще писать хороший код. Но ключевой особенностью в данном контексте является профайлер, который позволяет увидеть, какие строки кода используется в определённые моменты времени, сколько раз они были вызваны.

Рассмотрим в качестве примера подобный, ужасно неоптимальный (с точки зрения вычислений) способ получения чисел Фибоначчи. Если вы не задумывались о последствиях двойной рекурсии, то, вероятно, несколько удивитесь 22-м секундам для оценки fib[35] (примерно столько же времени потребуется встроенной функции для расчета всех 208 987 639 цифр Fibonacci[1000000000] [см. пункт 3]).

Выполнение кода в Profiler показывает причину. Главное правило вызывается 9 227 464 раз, а значение fib[1] запрашивается 18 454 929 раз.

Увидеть код таким, каким он является в действительности — может стать настоящим откровением.

5. Запоминайте значения, которые вам понадобятся в дальнейшем.

Это хороший совет для программирования на любом языке. Вот как это можно реализовать в Mathematica:

Она сохраняет результат вызова f для любого аргумента, так что если функция будет вызвана для уже вызванного ранее аргумента, то Mathematica не потребуется вычислять его снова. Тут мы отдаем память, взамен получая скорость, и, конечно, если количество возможных аргументов функции огромно, а вероятность повторного вызова функции с тем же аргументом весьма мала, то так делать не стоит. Но если множество возможных аргументов невелико, то это действительно может помочь. Вот этот код спасает программу, которую я использовал для иллюстрации совета 3. Нужно заменить первое правило на это:

И код начинает работать несравнимо быстро, и для вычисления fib [35] главное правило должно быть вызвано лишь 33 раза. Запоминание предыдущих результатов предотвращает необходимость неоднократно рекурсивно спускаться к fib[1].

6. Распараллеливайте код.

Всё большее число операций в Mathematica автоматически распаралливаются на локальные ядра (особенно задачи линейной алгебры, обработки изображений, статистики), и, как мы уже видели, по запросу могут быть реализованы через Compile. Но для других операций, которые вы хотите распараллелить на удаленном оборудовании, вы можете использовать встроенные конструкции для распараллеливания.

Для этого есть набор инструментов, однако в случае принципиально монопоточных задач использование одних лишь ParallelTable, ParallelMap и ParallelTry может увеличить время вычислений. Каждая из функций автоматически решает задачи коммуникации, управления и сбора результатов. Существует некоторые дополнительные издержки в отправке задачи и получении результата, то есть получая выигрыш во времени в одном, мы теряем время в другом. Mathematica поставляется с определенным максимальным количеством доступных вычислительных ядер (зависит от лицензии), и вы можете масштабировать их с gridMathematica, если у вас есть доступ к дополнительным ядрам. В этом примере ParallelTable дает мне двойную производительность, поскольку выполняется на моей двухъядерной машине. Большее количество процессоров дадут больший прирост.

Всё, что может сделать Mathematica, может быть распараллелено. Например, вы можете отправить наборы параллельных задач удалённым устройствам, каждое из которых компилирует и работает в C или на GPU.

6.5. Подумайте об использовании CUDALink и OpenCLLink.

С помощью GPU некоторые задачи могут в параллельном режиме решаться значительно быстрее. Не считая случая, когда для решения ваших задач требуются уже оптимизированные под CUDA функции, вам потребуется проделать небольшую работу, однако инструменты CUDALink и OpenCLLink автоматизируют для вас большое количество всякой рутины.

7. Используйте Sow и Reap для накопления больших объемов данных (но не AppendTo).

Из-за гибкости структур данных в Mathematica, AppendTo не может знать, что вы будете добавлять число, потому что вы можете точно так же добавлять документ, звук или изображение. В результате AppendTo необходимо создать новую копию всех данных, реструктуризованную для размещения прилагаемой информации. По мере накопления данных работа будет осуществляться всё медленнее (а конструкция data=Append[data,value] эквивалентна AppendTo).

Вместо этого используйте Sow и Reap. Sow передаёт значения, которые вы хотите собрать, а Reap собирает их и создаёт объект данных в конце. Следующие примеры эквивалентны:

8. Используйте Block и With вместо Module.

Block (локализация значения переменной), With (замена переменных во фрагменте кода на их конкретные значения с последующим вычислением всего кода) и Module (локализация имен переменных) представляют собой ограничивающие конструкции, которые имеют несколько различные свойства. По моему опыту, Block и Module взаимозаменяемы, по крайней мере в 95% случаев, с которыми я сталкиваюсь, но Block, как правило, работает быстрее, а в некоторых случаях With (фактически Block с переменными, доступными лишь для чтения) ещё быстрее.

9. Не перебарщивайте с шаблонами.

Шаблонные выражения — это здорово. Многие задачи с их помощью легко решаются. Однако шаблоны — это не всегда быстро, особенно такие нечёткие, как BlankNullSequence (обычно записывается как «___»), которые могут долго и упорно осуществлять поиск шаблонов в данных, которых там явно не может быть. Если скорость выполнения принципиальна, используйте чёткие модели, или вообще откажитесь от шаблонов.

В качестве примера приведу изящный способ осуществить сортировку пузырьком в одну строчку кода через шаблоны:

В теории всё аккуратно, но слишком медленно по сравнению с процедурным подходом, который я изучал, когда только начинал программировать:

Конечно, в этом случае следует использовать встроенную функцию Sort (см. совет 3), которая работает наиболее быстро.

10. Используйте разные подходы.

Одна из самых сильных сторон Mathematica — возможность решать задачи по-разному. Это позволяет писать код так, как вы мыслите, а не переосмысливать проблему под стиль языка программирования. Тем не менее, концептуальная простота не всегда есть то же, что и вычислительная эффективность. Иногда простая для понимания идея порождает больше работы, чем это необходимо.

Но другой момент заключается в том, что из-за всяких специальных оптимизаций и умных алгоритмов, которые автоматически применяются в Mathematica, часто трудно становится предсказать, какой из путей следует выбрать. Например, вот два способа расчёта факториала, но второй более чем в 10 раз быстрее.

Почему? Вы могли бы предположить, что Do медленнее прокручивает циклы, или все эти присваивания Set к temp занимают время, или ещё что-то не так с первой реализацией, но настоящая причина, вероятно, окажется довольно неожиданной. Times (оператор умножения) знает хитрый трюк с бинарным разбиением, который может использоваться, когда у вас есть большое количество целочисленных аргументов. Рекурсивное разделение аргументов на два меньших произведения (1 * 2 *… * 32767) * (32768 *… * 65536) работает быстрее, чем обработка всех аргументов — от первого до последнего. Количество умножений получается таким же, однако однако меньшее количество из них включают большие числа, потому в среднем алгоритм осуществляется быстрее. Есть много другого скрытого волшебства в Mathematica, и с каждой версией его всё больше.

Конечно лучший вариант в данном случае — использовать встроенную функцию (опять-таки совет 3):

Mathematica способна обеспечить превосходную вычислительную производительность, а также высокую скорость и точность, но не всегда одновременно. Надеюсь, что эти советы помогут вам сбалансировать зачастую противоречивые требования быстрого программирования, быстрого исполнения и точных результатов.

Все тайминги приводятся для 7 64-разрядной Windows PC, с 2,66 ГГц Intel Core 2 Duo и 6 Гб оперативной памяти.

Помимо этого краткого поста Джона Маклуна, мы рекомендуем вам ознакомиться с двумя видео, приведенными ниже.

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в [1-5].

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Читайте также

1. Зинина А.И.

1. Зинина А.И.

1. Зинина А.И.

1. Зинина А.И.

1. Зинина А.И.

Список литературы

1. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
2. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
6. Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
7. Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 13.06.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

• И : &&
• ИЛИ : ||
• НЕ : !

Основные константы

• Число : Pi
• Число : E
• Бесконечность : Infinity или inf

Основные функции

: x^a

• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]
• : sin[x] или Sin[x]
• : sec[x] или Sec[x]
• : ArcCos[x]
• : ArcSin[x]
• достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].
  • Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
  • Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
  • Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

  Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.

  • Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
  • x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
  • x+y+z+t+p+q=9.

  Решение неравенств

  Решение в Wolfram Alpha неравенств типа , полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

  • Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

  Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.

  • Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
  • x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
  • x+y+z+t+p+q>=9.

  Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

  Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

  • x^3+y^3==9&&x+y=1;
  • x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
  • Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
  • Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

  Построение графиков функций

  Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке был конкретным, например на прямоугольнике пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

  • Plot[Sin[x^2+y^2],,];
  • Plot[xy,,].

  Математический анализ

  Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

  Пределы

  Для того, чтобы найти предел последовательности при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

  • Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
  • Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

  Производные

  Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где означает тоже, что и Выше.

  Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

  • D[x*E^x, x];
  • D[x^3*E^x, ];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
  • D[x/(x+y^4), ].

  Интегралы

  Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл Как в ворде поставить запятую вверху слова

• Как в ворде сделать сквозные строки в таблице
• Как отформатировать текст по ширине страницы в ворде
• Как переименовать гиперссылку в outlook