Мощность электрического тока: определение, формулы, единицы измерения, обозначение
В этой статье мы расскажем вам, что представляет собой мощность электрического тока и как её можно рассчитать.
Определение.
Мощность электрического тока (обозначается буквой P) – это физическая величина, определяемая как количество работы, которая совершается источником электрического напряжения для переноса электрического заряда (q) по проводнику за единицу времени t.
Если сказать в целом, то мощность электрического тока показывает, сколько электрической энергии преобразуется за определенное время. Она, в том числе, описывает энергопотребление потребителя.
Формулы
На многих бытовых электроприёмниках есть этикетки с указанием мощности. Мощность (P) говорит о работе (A), выполняемой электроприбором в единицу времени (t). Поэтому, дабы отыскать среднюю мощность электрического тока, необходимо поделить его работу на время, то есть P = A / t.
Давайте рассмотрим, что такое мощность электрического тока. Для этого рассмотрим электрическую цепь (см. рисунок 1), состоящую из источника тока, проводов и какого-либо электроприёмника, которым может быть резистор, аккумулятор, электродвигатель и т.д.
Рис. 1. Электрическая цепь, в которой напряжение и ток постоянны
Рекомендуемое электрическое напряжение также указывается на электрооборудовании. Как эти две величины связаны друг с другом? Из школьного курса физики мы знаем, что напряжение (U) между концами данного электроприёмника определяется следующим образом: U = A / q, где: A – работа, совершаемая источником электрического напряжения для переноса электрического заряда (q) по проводнику.
Величина электрического заряда рассчитывается по формуле: q = I * t
Имеем A = P * t; A = U*q, а q = I * t. После преобразования формул получаем: A = P*t = U*q = U*I*t
Отсюда следует (разделив обе стороны уравнения на t), что P = U*I. То есть мы можем сказать, что количество энергии, переданное от источника тока к резистору определяется по формуле: P = U * I
Из этой формулы можно найти, что U = P / I , I = P / U.
Согласно закону Ома для участка цепи I = U/R, где R — электрическое сопротивление участка цепи. Потому из формулы P = U*I следуют две другие формулы для мощности электрического тока, то есть P = U 2 /R, P = I 2 R.
Формулу P = I 2 R комфортно применять для электрических цепей с последовательным соединением проводников, потому что сила электрического тока при таком соединении в проводниках одинакова.
Для параллельно соединенных проводников работу и мощность удобнее выражать через одинаковое для их электрическое напряжение, исключая силу электрического тока, т.е. лучше применять формулу P = U 2 /R.
Если электроприборы соединены последовательно либо параллельно, их электрическая мощность суммируется. В данном случае для расчета полной мощности употребляется такая формула:
Pобщ = P1 + P2 + … + Pn, где P1 , P2 , … – мощность отдельно взятых электроприёмников.
Единицы измерения и обозначение
Единицей измерения мощности в Международной системе единиц (СИ), является ватт. При этом русское обозначение: Вт, международное: W). 1 Вт = 1 Дж/c. Из формулы P = U*I следует, что: 1 ватт = 1 вольт * 1 ампер, или 1 Вт = 1 В*А.
Есть также единицы измерения мощности, кратные ваттам: гектаватт (гВт), киловатт (кВт), мегаватт (МВт). Другими словами 1 гВт = 100 Вт, 1 кВт = 1000 Вт, 1 МВт = 1 000 000 Вт.
Единицы мощности, применяемые в электротехнике, кратны ватту: микроватт (мкВт), милливатт (мВт), гектоватт (гВт), киловатт (кВт) и мегаватт (МВт). Другими словами, 1 мкВт = 1*10 -6 Вт, 1 мВт = 1*10 -3 Вт, 1 гВт = 1*10 2 Вт, 1 кВт = 1*10 3 Вт, 1 МВт = 1*10 6 Вт.
Каждый электроприбор имеет определенную мощность (указана на приборе). Вот типовые значения мощности для некоторых электроприборов.
| Прибор | Мощность, Вт |
| Телевизор в режиме ожидания | 0,5 |
| Лампа карманного фонарика | Около 1 |
| Лампы накаливания | 25-150 |
| Холодильник | 160 |
| Электронагреватель | 500-2000 |
| Пылесос | До 1300-1800 |
| Электрочайник | Около 2000 |
| Утюг | 1200-2200 |
| Стиральная машина | До 2300 |
Раньше для обозначения мощности использовалась единица измерения – лошадиная сила (л.с.), которая известна и сейчас. Переведите из лошадиных сил в ватты, используя выражение: 1 л.с. = 735.5 Вт.
Пример расчета мощности электрического тока
В конце концов, вы сможете проверить свои познания на 2-ух обычных примерах.
Представьте, что в первой задачке у вас есть резистор R = 50 Ом, через который течет электрический ток I = 0,3А. Какая электрическая мощность преобразуется в этом резисторе?
Вы можете отыскать решение, найдя соответствующую формулу и подставив в нее заданные значения. То есть у нас получается: P = I 2 R = 0,3 2 * 50 = 4,5 Вт
Во второй задаче дан резистор R, электрическое сопротивление которого 700 Ом. В техническом описании указано, что максимальная мощность этого резистора составляет 10 Вт. Насколько высоким может быть напряжение, подаваемое на этот резистор?
Для решения этой задачки подбираем подходящую формулу: P = U 2 /R, откуда мы находим Umax = Pmax * R = 700 * 10 = 83,67 В.
Это означает, что максимальное напряжение может составлять 83,67 В. Чтобы подстраховаться, следует выбирать электрическое напряжение значительно ниже этого предела.
Более подробно о том как можно находить мощность электрического тока я писал в статье: https://www.asutpp.ru/kak-nayti-moschnost.html
Измерение мощности электрического тока
Вы сможете измерить силу электрического тока при помощи вольтметра и амперметра. Чтобы высчитать нужную мощность, помножьте электрическое напряжение на силу тока. Электрический ток и напряжение можно найти по показаниям приборов.
Рис. 2. Измерение мощности электрического тока
Помните, что вы всегда должны определять электрическое напряжение параллельно нагрузке и электрический ток последовательно.
Есть особые приборы – ваттметры, определяющие мощность электрического тока в цепи, которые, по сути, подменяют два устройства – амперметр и вольтметр.
Единицы измерения электрического тока, применяемые на практике
В паспортах потребителей электроэнергии – лампочки, плиты, электродвигатели – обычно указывают силу электрического тока в них. Исходя из мощности, найти работу электрического тока за данный промежуток времени довольно просто, нужно лишь использовать формулу A = P*t.
Выразив мощность в ваттах, а время в секундах, мы получим работу в джоулях: 1 Вт = 1 Дж/с, где 1 Дж = 1 Вт*с.
Но эту единицу работы неудобно применять на практике, так как электроприёмники потребляют ее в течение долгих периодов времени, как, к примеру, в бытовых устройствах – в течение нескольких часов, в электропоездах – в течение нескольких часов либо даже суток, а расчет потребленной энергии по электросчетчику в большинстве случаев делается раз в месяц.
Потому при расчете работы тока либо затраченной и выработанной электроэнергии во всех этих случаях нужно переводить эти промежутки времени в секунды, что усложняет расчеты.
Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010. [2]
Потому на практике, при расчете работы электрического тока, более удобно выражать время в часах, а работу электрического тока не в джоулях, а в других единицах: например, ватт-час (Вт*ч), гектоватт*час (гВт*ч), киловатт-час (кВт*ч).
Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010. [2]
Будут верны следующие соотношения:
- 1 Вт*ч = 3600 Дж;
- 1 гВт*ч = 100 Вт*ч = 360 000 Дж;
- 1 кВт*ч = 1000 Вт*ч = 3 600 000 Дж.
Задача. Существует электрическая лампа, рассчитанная на ток в мощностью 100 ватт. Лампа работает в течение 6 часов каждый день. Нам нужно отыскать работу электрического тока за один месяц (30 дней) и стоимость потребленной электроэнергии, предполагая, что тариф составляет 500 копеек за один кВт/ч.
Запишем условие задачки и решим ее.
Входные данные: P = 100 Вт, t = 6 ч * 30 = 180 ч, тариф = 500 к / кВт*ч .
Решение задачи. Мы знаем, что A = P*t, потому получаем: A = 100 Вт*180 ч = 18 000 Вт*ч = 18 кВт*ч.
Мы рассчитываем стоимость так: Стоимость = 500 к / кВт*ч * 18 кВт*ч = 9000 копеек = 90 рублей.
Ответ: A = 18 кВт*ч, стоимость израсходованной электроэнергии = 90 рублей.
Связь мощности тока с действием тока в электрической цепи
Сравнение мощности тока с номинальной мощностью электрического прибора позволяет определить, насколько сильно нагружен в электрической цепи прибор. Если мощность тока меньше номинального, то действие тока не достаточно интенсивно или совсем не проявляется. Подключение мощного прибора к слабому источнику тока не вызывает в нем никаких действий. Приборы, рассчитанные на малую мощность работы тока, при подключении к источникам, создающим сильное поле, сгорают.
Учебник. Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность
В § 2.3 были выведены соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности: R I R = U R ; 1 ω C I C = U C ; ω L I L = U L .
Эти соотношения во виду напоминают закон Ома для участка цепи постоянного тока, но только теперь в них входят не значения постоянных токов и напряжений на участке цепи, а амплитудные значения переменных токов и напряжений.
Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего один из элементов R, L и C. Физические величины R, 1 ω C и ωL называются активным сопротивлением резистора, емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки.
При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: p = J ċ u. Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности P = P ср = I 0 U 0 cos ω t cos ( ω t + φ ) ¯ .
Здесь I0 и U0 – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Черта означает знак усреднения. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ = 0: P R = I R U R cos 2 ω t ¯ = I R U R 2 = I R 2 R 2 .
Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения: I д = I 0 2 ; U д = U 0 2 .
Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна P R = I д U д .
Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C, то фазовый сдвиг между током и напряжением φ = π 2 . Поэтому P C = I C U C cos ω t cos ( ω t + π 2 ) ¯ = I C U C cos ω t ( — sin ω t ) ¯ = 0.
Аналогично можно показать, что PL = 0.
Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.
Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. Цепь подключена к источнику переменного тока частоты ω. На всех последовательно соединенных участках цепи протекает один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e (t) и током J (t) возникает фазовый сдвиг на некоторый угол φ. Поэтому можно записать J (t) = I0 cos ωt; e (t) = ℰ0 cos (ωt + φ).
Такая запись мгновенных значений тока и напряжения соответствует построениям на векторной диаграмме (рис. 2.3.2). Средняя мощность, развиваемая источником переменного тока, равна P = I 0 ℰ 0 cos ω t cos ( ω t + φ ) ¯ = I 0 ℰ 0 2 cos φ = I д ℰ д cos φ .
Как видно из векторной диаграммы, UR = ℰ0 · cos φ, поэтому P = I 0 U R 2 . Следовательно, вся мощность, развиваемая источником, выделяется в виде джоулева тепла на резисторе, что подтверждает сделанный ранее вывод.
В § 2.3 было выведено соотношение между амплитудами тока I0 и напряжения ℰ0 для последовательной RLC-цепи: I 0 = ℰ 0 R 2 + ( ω L — 1 ω C ) 2 .
Величину Z = R 2 + ( ω L — 1 ω C ) 2 называют полным сопротивлением цепи переменного тока. Формулу, выражающую связь между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи, можно записать в виде ZI0 = ℰ0.
Это соотношение называют законом Ома для цепи переменного тока. Формулы (*), приведенные в начале этого параграфа, выражают частные случаи закона Ома (**).
Понятие полного сопротивления играет важную роль при расчетах цепей переменного тока. Для определения полного сопротивления цепи во многих случаях удобно использовать наглядный метод векторных диаграмм. Рассмотрим в качестве примера параллельный RLC-контур, подключенный к внешнему источнику переменного тока (рис. 2.4.1).
Параллельный RLC-контур
При построении векторной диаграммы следует учесть, что при параллельном соединении напряжение на всех элементах R, C и L одно и то же и равно напряжению внешнего источника. Токи, текущие в разных ветвях цепи, отличаются не только по значениям амплитуд, но и по фазовым сдвигам относительно приложенного напряжения. Поэтому полное сопротивление цепи нельзя вычислить по законам параллельного соединения цепей постоянного тока. Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура изображена на рис. 2.4.2.
Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура
Из диаграммы следует: I 0 = ℰ 0 ( 1 R ) 2 + ( ω L — 1 ω C ) 2 .
Поэтому полное сопротивление параллельного RLC-контура выражается соотношением Z = 1 ( 1 R ) 2 + ( ω L — 1 ω C ) 2 .
При параллельном резонансе (ω 2 = 1 / LC) полное сопротивление цепи принимает максимальное значение, равное активному сопротивлению резистора: Z = Zmax = R.
Фазовый сдвиг φ между током и напряжением при параллельном резонансе равен нулю.
X xmax cos wt формула
Колебательное движение – один из видов механического движения. В жизни оно встречается повсюду: маятник в настенных часах, груз, подвешенный на пружине, вода в открытом сосуде, вагон на рессорах, корабль на волнах и др. Главной характерной чертой колебательного движения является егоповторяемость,т.е. каждое последующее движение повторяет предыдущее.
Для осуществления колебательного движения необходимы следующие условия: во-первых, должно быть наличие инертной массы, во-вторых, при выведении тела из положения равновесия должна возникать возвращающая сила.Данная сила должна быть пропорциональна величине отклонения тела от положения равновесия. Данная сила сообщает телу ускорение.
F = -kX– сила упругости; F = ma– сила инерции.
В данном случае, сила упругости является силой инерции: ma = -kX
Отсюда: a = -(k/m)XВведём обозначение: k/m = w 2 Здесь w– циклическая частота колебаний. Перепишем это уравнение в виде:
d 2 X/dt 2 = -w 2 X
Это – дифференциальное уравнение 2-го порядка. Представим его в виде:
d 2 X/dt 2 + w 2 X = 0
где d 2 X/dt 2 = kX/m w = k/m
Частное решение этого уравнения будет выглядеть так:
X = A sin ( wt + fо)
X – текущая координата
A – амплитуда
w – циклическая частота
t – время
f – фаза
fо – начальная фаза.
Следует напомнить, что здесь, как и во всей физике принято координату и амплитуду измерять в метрах, время – в секундах, фазу – в радианах, циклическую частоту – в с -1 .
Кроме того, в физике колебательного движения приняты следующие единицы:
n– частота (Гц)
Т – период (с)
Частота (в герцах) показывает, сколько колебаний совершит тело за 1 секунду.
Частота w ( в с -1 ) показывает, сколько колебаний тело совершит за 2pсекунд.
Период Т показывает продолжительность одного полного колебания (в секундах)
Особенность колебательного движения в том, что его легко можно связать с вращательным. Если представить себе какое-либо тело, движущееся по окружности в плоскости чертежа, то тень от него, падающая на вертикальную ось координат Х, будет совершать колебания вверх-вниз и если развернуть это движение на горизонтальную ось t, то получится кривая, являющаяся синусоидой.
Следует заметить, что графиком частного решения вышеуказанного дифференциального уравнения является кривая той же формы:
Наибольшее затруднение у студентов вызывает понятие фазы. В колебательном движении фаза играет туже роль, что координата в поступательном движении.
X = (ut + X ) для поступательного движения
f = ( wt + f ) для колебательного движения
В колебательном движении фаза показывает, какая часть периода прошла от начала колебания.
Зная, что координата колеблющегося тела изменяется по закону:
Х = А sin (wt + f )
найдём закон, по которому изменяется скорость и ускорение:
u = X = A w cos(wt + f )
a = u = X \ = -Aw 2 sin (wt + f )
Отсюда видно, что координата, скорость и ускорение изменяются либо по закону синуса, либо по закону косинуса. Причём, производная любого порядка даст либо синус, либо косинус. Из этого следует, что синус и косинус являются гармоническими функциями. Значит движение, осуществляющееся по законам синуса или косинуса является гармоническим колебанием, или колебанием, типа «проще некуда».
Все эти три графика представляют собой кривую одинаковой формы, только эти кривые сдвинуты относительно друг друга на 90 о
б) Баланс энергии при колебательном движении
Следует напомнить формулы кинетической и потенциальной энергии, используемые в механике.
Ек = mu 2 /2 – кинетическая энергия
Еп = kX 2/ /2 – потенциальная энергия
Из закона сохранения энергии следует, что полная механическая энергия замкнутой системы – есть величина постоянная:
Ек + Еп = Е
u = dX/dt = ( A sin wt) = A cos wt u = Aw
a = d 2 X/dt 2 = du/dt (Acos wt) = -Aw 2 sin wt a = Aw 2
Кинетическая энергия точки:
Ek = mA 2 cos 2 w t
Потенциальная энергия точки:
Еп = kA 2 /2 здесь: k = m w 2 так как k = ma /X = mA 2 w 2 /X
Еп =mA 2 w 2 sin 2 w t
Ек = mA 2 w 2 sin 2 w t
2
Ек + Еп = mA 2 w 2 (sin 2 wt + cos 2 wt)
Учитывая, что выражение в скобках равно единице, окончательно получим значение полной механической энергии колеблющейся точки
Е = mA 2 w 2
в) Сложение гармонических колебаний
Гармонические колебания можно сложить как в одном направлении, так и во взаимно перпендикулярных направлениях. Рассмотрим сложение колебаний в одном направлении. Возьмём простейший случай, когда складываются колебания одинаковой частоты, совпадающих по фазе. В этом случае будут складываться их амплитуды:
Если складываются колебания, находящиеся в противофазе, то их амплитуды будут вычитаться. При одинаковых амплитудах, колебания вообще погасят друг друга:
Если колебания складываются во взаимно перпендикулярном направлении, то колеблющаяся точка будет на плоскости выписывать сложную траекторию. Если частоты этих колебаний будут относиться как целые числа, то траектория будет иметь вид устойчивой кривой, которая называется фигурой Лиссажу:
г) Гармонический спектр
Если в одном направлении складываются колебания разных частот, то точка будет совершать сложные колебания, график которых будет представлять очень замысловатый вид, изобразить который графически бывает очень трудно. Существует ещё один способ графического изображения колебательного движения.
Французский математик Фурье доказал, что периодический процесс любой формы можно разложить на простые гармонические колебания. В связи с этим, графически колебания можно изобразить гармоническим спектром. По горизонтальной оси откладывается частота, а по вертикальной – амплитуда. Таким образом, гармонический спектр простого синусоидального колебания представляет собой отрезок прямой, перпендикулярный оси частот. Положение отрезка по горизонтали определяется частотой, а длина отрезка – амплитудой колебания.
Спектр сложного колебания представляет собой несколько линий.
Во многих случаях колебания изображать гармоническим спектром удобнее и проще, чем их графиком.
д) Затухающие колебания
В идеальном случае в колебательной системе происходит обмен кинетической и потенциальной энергии, причём, потерь энергии на трение нет. Поэтому, амплитуда колебания остаётся постоянной. В реальных же условиях при каждом цикле часть энергии переходит во внутреннюю, поэтому амплитуда колебания постепенно уменьшается по экспоненциальному закону:
Х = Aoe – bt sinwt гдe b– коэффициент затухания
График затухающего колебания имеет вид:
Дата добавления: 2014-01-05 ; Просмотров: 3739 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Ответ оставил Гость
Решение: 1. запишем уровнение гк – X = Xmax * cos (wt + Фи(0)
2. выразим Омегу (w) через период (Т) : w = 2Пи/ T => w = 4*2Пи/10 = 4Пи/5 или
6.28 / 2.4 = 2,616. 7
3. подставляем в уравнение Х = 0.05*cos(4Пи/5 * 0.6)
Гармонические Колебания
Механическое гармоническое колебание – это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.
Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:
где wt – величина под знаком косинуса или синуса; w – коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А – амплитуда механических гармонических колебаний.
Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.
Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. 64). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w , v = wА ). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt .
При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А • cos ф = = А • cos wt . Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.
Если известна величина wt, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении (4.1).
Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания . Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М х , совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos wt = A cos w (t + Т), а это значит, что w (t + Т) – wt = 2 ПИ (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что
Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л . Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой .
Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид:
Величину ф 0 называют начальной фазой .
Скорость точки М х найдем как производную от координаты по времени:
Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:
Из формулы (4.4) видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, изменяется тоже по закону косинуса. Но скорость по фазе опережает координату на ПИ/2 . Ускорение при гармоническом колебании изменяется по закону косинуса, но опережает координату по фазе на п . Уравнение (4.5) можно записать через координату х:
Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения (4.5) на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:
Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения (4.6) есть проекция силы F x , которая обеспечивает гармоническое механическое движение:
Величина F x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).
Закономерность зависимости ускорения от смещения, вытекающую из уравнения (4.6), рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение (4.8) называют основным уравнением динамики гармонических колебаний .
Рассмотрим движение пружинного и математического маятников.
Пусть к пружине (рис. 63), расположенной горизонтально и закрепленной в точке 0, одним концом прикреплено тело массой т, которое может перемещаться вдоль оси х без трения. Коэффициент жесткости пружины пусть будет равен k. Выведем тело m внешней силой из положения равновесия и отпустим. Тогда вдоль оси х на тело будет действовать только упругая сила, которая согласно закону Гука, будет равна: F yпp = -kx.
Уравнение движения этого тела будет иметь вид:
Сравнивая уравнения (4.6) и (4.9), делаем два вывода:
- Движение тела на пружине будет происходить по гармоническому закону, т. е. тело m будет совершать механические гармонические колебания;
- Сравнивая коэффициенты перед х уравнений (4.6) и (4.9), заключаем, что циклическая частота этих гармонических колебаний будет равна:
Из формул (4.2) и (4.10) выводим формулу для периода колебаний груза на пружине:
Математическим маятником называется тело массой т, подвешенное на длинной нерастяжимой нити пренебрежимо малой массы. В положении равновесия на это тело будут действовать сила тяжести и сила упругости нити. Эти силы будут уравновешивать друг друга.
Если нить отклонить на угол а от положения равновесия, то на тело действуют те же силы, но они уже не уравновешивают друг друга, и тело начинает двигаться по дуге под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль касательной к дуге и равной mg sin a .
Уравнение движения маятника принимает вид:
Знак минус в правой части означает, что сила F x = mg sin a направлена против смещения. Гармоническое колебание будет происходить при малых углах отклонения, т. е. при условии а 2* sin a .
Заменим sin а в уравнении (4.12), получим следующее уравнение:
Уравнение (4.13) показывает, что ускорение колебания маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему направлено. Следовательно, маятник будет совершать механические гармонические колебания с циклической частотой
и поэтому, согласно уравнению (4.2), период колебаний его будет равен:
Превращение энергии при гармонических механических колебаниях рассмотрим на примере пружинного маятника. В любой момент времени полная энергия колеблющегося груза (Е полн ) будет состоять из кинети-
Полная энергия при гармонических механических колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату циклической частоты.
На рис. 65 качественно изображены графики зависимостей потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника от координаты х.
На рис. 66 представлены качественные графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени.
За начальный момент времени принято положение тела, максимально отклоненное от положения равновесия. Частота колебания потенциальной и кинетической энергии в два раза больше, чем частота колебания движущегося тела.