Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Элементы комбинаторики
№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?
34 = 12 (способов)
Ответ: 12 способов.
№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?
№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?
Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.
Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.
№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?
№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?
= = = = 5 = 210 (способов).
№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?
= = =13 = 2780 (способов).
№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?
№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?
= = = 2 = 120 (способов).
№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?
№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?
№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?
№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.
х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0
х 2 – 7х + 6 = 0 х1 = 6, х2 = 1 (исключить).
№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?
Решение: Р4 = 4! = 1 = 24 (способа)
№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?
Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)
№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)
№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:
1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Ответ: 1) 720; 2) 600.
№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?
№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).
№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?
№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?
№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?
Р10 = 10! =1 — расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.
Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р55 = 5!5! = 1
Ответ: 3628800; 14400.
№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: = = = = 56 (способов).
№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?
Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р1 = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).
Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать
Если не нужен словарь, то
№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.
Сколько всего фотографий необходимо было для этого?
№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?
Решение: Р7 – Р6 = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1
№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.
Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?
№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?
№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?
Решение: = = = = 28 (прямых линий)
№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?
Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)
№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника
- n=5, то = 10 (диагоналей)
- n=12, то = 66 (диагоналей)
- n=8, то = 28 (диагоналей)
- n=15, то = 105(диагоналей)
Ответ: 10; 66; 28; 105.
№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?
Решение: Р3 = 3! = 1 = 6 (флагов).
№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?
Решение: = = = 360 (разных плоскостей)
№ 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?
Решение: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных пятизначных чисел)
№ 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?
Решение: 4! = 1 3 — перестановок начинаются цифрой 5.
3! = 1 3 6 — перестановок начинаются цифрой 12.
2! = 1 перестановок начинаются с цифрами 123.
№ 18. Среди сочетаний из 10 букв a, b, c, . по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?
= = 63 (сочетаний не содержат букву a)
= = 140 (сочетаний не содержат букву a и b)
№ 19. Среди размещений из 12 букв a, b, c, . по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?
Решение: — = — = – = =7 = 83160 (размещений)
– = – = – = =720(132 – 1) = 94320 (размещений)
Ответ: 83160; 94320.
№ 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?
Сколько было рукопожатий?
Очень радует, что Ваш ребенок решает логические задачи, которые не входят в обязательный минимум знаний, и Вы при этом поддерживаете его поиск.
Данная задача – не авторская, а классическая, ее уже более сотни лет включают в разнообразные сборники математических задач, олимпиады и т.д. Никаких уточнений по поводу того, что такое «рукопожатие» обычно не приводится, так как странно было бы уточнять, что под рукопожатием понимается то, что двое пожали друг другу руки». Именно поэтому никаких замечаний со стороны математиков РАН при грифовании учебников эта задача никогда не вызывала.
Данная задача имеет однозначное решение, которое можно получить несколькими способами. Приведем некоторые из них.
Каждый из 4 человек пожал руки трем другим людям. Произведение 3 · 4 = 12 дает удвоенное число рукопожатий. Действительно, в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а второй – первому, на самом же деле было одно рукопожатие. Итак, число рукопожатий равно: (4 · 3) : 2 = 6.
Обозначим людей номерами. Первый человек – (1), второй – (2) и т.д. Рукопожатие первого человека со вторым можно обозначить 1-2 и т.д. Тогда имеем наглядную картину:
Первый человек обменялся рукопожатиями 3 раза: 1-2, 1-3, 1-4;
дополнительно второй – 2 раза: 2-3, 2-4;
дополнительно третий – 1 раз: 3-4.
При этом все рукопожатия четвертого уже сосчитаны.
Значит, всего было 3 + 2 + 1 = 6 рукопожатий.
Возможно, ребёнку будет удобнее решить задачу графически.
Сделаем к задаче чертеж. Каждый из людей обозначается на нем точкой (по условию, их всего 4), а рукопожатие – отрезком, соединяющим две точки. Так, отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что люди А и В пожали друг другу руку.
Видно, что отрезков всего шесть.
Легче всего воспринимают дети представление решения в явном виде.
Например, можно вызвать к доске четырех учеников. Первый ученик пожимает остальным руки. На доске записывается число произведенных рукопожатий: 3.
Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски трое. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. На доске фиксируется: 2.
Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только двум ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше.
Следующему остается пожать только одну руку. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку.
На доске записано: 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 6.
Важно, что это задание допускает различные варианты решения. Каждый ребёнок находит свой вариант, обосновывает его. Всё это способствует развитию мыслительных операций, речи, вариативному мышлению, навыков общения.
Математика – наука интересная и занимательная. Новых Вам открытий!
С уважением,
Кигель Н.В., методист
Центра системно-деятельностной педагогики «Школа 2000…»