В семье двое детей какова вероятность что старший ребенок мальчик

Научный форум dxdy

Я не ТС, но попробую ответить. Задачи разные. Пусть $p$ — вероятность того, что ребенок — мальчик по имени Коля, $$\frac<1> <2>— p$» /> — мальчик с другим именем, <img decoding=$ — событие «в семье два мальчика», $B$ — «в семье есть мальчик по имени Коля».
Тогда $$P(A|B) = \frac<\frac<1> <4>— \left(\frac<1> <2>— p\right)^2> <p^2 + 2p(1-p)>= 1 — \frac<1><2 - p>$» />, что зависит от <img decoding=$ .
(в частности, при $p \to 0$ получаем вероятность, стремящуюся $$\frac<1><2>$» /> — т.к. у нас в семье с двумя мальчиками вероятность найти Колю почти в два раза больше, чем в семье с одним) Давайте сначала упростим задачу. Не будем исключать семьи, где две девочки. Старший ребенок в семье мальчик или девочка с вероятностью пополам. Младший ребенок -мальчик или девочка, с вероятностью пополам. Эти события независимы. То-есть: для абсолютно любого ребенка. Не важно: для мальчика или для девочки, для старшего или для младшего, для Коли или для Рабиндраната, — для любого ребенка вероятность того, что у него есть братик и вероятность того, что у него есть сестренка равна 1/2. Это потому, что они маленькие, и еще не изучали теорию вероятностей. Теперь, для родителей (которые изучали теорию вероятностей опытным путем, и из-за этого у них два ребенка) — вероятности перемножаются. Поэтому, вероятность того, что у них два сына равна <img decoding=$ .
Вероятность того, что у них две дочки — тоже '/4$ .
А вот вероятность того, что у них сын и дочка равна '/2$ .
Парадокс?!
Нет, не парадокс, а формула сложения вероятностей!
Потому что с вероятностью '/4$ — старший будет мальчик, а девочка — младшенькая, и с точно такой же вероятностью '/4$ будет все точно так же, но наоборот!
А в сумме — в два раза больше.
То-есть братик есть у любого мальчика, пусть даже и у Коли, с вероятностью '/2$ , а вот семей, где есть два сына — всего '/4$ .

Теперь, вернемся к нашей задаче, и из этого множества семей откинем ту '/4$ семей, где две дочки.
Останется '/4$ семей, где есть хотя бы один мальчик. Это вероятность события, что в семье есть хотя бы один мальчик.
На что это повлияет, а на что не повлияет?
Вероятность того, что в семье два сына увеличится с '/4$ до '/3$ .
Вероятность того, что в семье есть и сын и дочка увеличится с '/2$ до .
Это условные вероятности, вычисленные при дополнительном условии, что «в семье есть хотя бы один мальчик», по формуле условной вероятности.
Теперь, что там у нас с братиками-сестренками?
По-прежнему у любого мальчика, даже у Коли, с вероятностью '/2$ будет братик, и с вероятностью '/2$ будет сестричка, поскольку наше дополнительное условие никак не повлияло на это соотношение.
Но!
Условная вероятность того, что у любой девочки, даже у Маши, есть братик, вычисленная «при дополнительном условии,
что в семье есть мальчик», равняется единице! Потому что абсолютно все семьи, в которых у девочки есть сестричка, это
дополнительное условие исключает из вероятностного пространства.
Вот, собственно, весь расклад.
И даже не понадобилось вызывать дух преподобного Томаса Байеса, чтобы разобраться в этом вопросе.

Последний раз редактировалось DmitriyMalakhov 15.01.2017, 13:06, всего редактировалось 3 раз(а).

atlakatl, извиняюсь, что не ответил, задача может и одна и та же, но вот ответы к двум формулировкам получаются разные.

С решением mihaild, не совсем согласен. Хотябы потому, что в предельном случае, если у нас только есть Коли (вероятность имени мальчика Коли равна 1) по вашей формуле получается вероятность двух мальчиков 0, а должно быть 1/3.
В предыдущем посте я посчитал вероятность через байеса и получается формула Вероятность второго мальчика, при условии, что в семье есть Коля (вероятность имени коля р)
$$ = \frac <(1 - (1-p)^2)><(2p + 1 - (1-p)^2)>$ и если упростить,то получим$ \frac <(2 - p)><(4 - p)>.$» /> Если вам сказали что один из двух детей мальчик, то какова вероятность, что другой ребенок девочка. Ответ вероятность <img decoding=$ , что вторая девочка при условии, что один из детей мальчик.

Помочь смириться с этим парадоксом может следующий игрушечный пример.
Пусть существует только два мужских имени — Коля и Миша, и только два женских — Оля и Маша.
Тогда семьи с двумя детьми бывают следующие (все пункты равновероятны):

1 Коля Миша
2 Коля Миша
3 Миша Коля
4 Миша Коля

5 Коля Оля
6 Коля Маша
7 Миша Оля
8 Миша Маша

9 Оля Коля
10 Оля Миша
11 Маша Коля
12 Маша Миша

13 Оля Маша
14 Оля Маша
15 Маша Оля
16 Маша Оля

В каждом пункте вначале пишем младшего ребёнка, затем старшего.
В группах ММ и ЖЖ некоторые пункты дублируются для того, чтобы соблюсти равновероятность всех пунктов. Ясно, что вероятность каждого из четырёх составов семей (ММ, МЖ, ЖМ и ЖЖ) является равновероятной (при отсутствии априорных условий). Предполагается также, что дети в семье не могут иметь одинаковые имена.

Теперь смотрите.
Пусть дано, что один из детей мальчик.
Этому условию удовлетворяют пункты 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, всего 12 равновероятных пунктов.
В 4 из них (1,2,3,4) второй ребёнок мальчик, в оставшихся 8 пунктах (5,6,7,8,9,10,11,12) второй ребёнок девочка.
Вероятность того, что второй ребёнок мальчик, получается 4/12=1/3; вероятность того, что второй ребёнок девочка, получается 8/12=2/3.

Пусть теперь дано, что один из мальчиков — Коля.
Этому условию удовлетворяют пункты 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, всего 8 равновероятных пунктов.
В 4 из них (1,2,3,4) второй ребёнок мальчик, в оставшихся 4 пунктах (5,6,9,11) второй ребёнок девочка.
Вероятность того, что второй ребёнок мальчик, получается 4/8=1/2; вероятность того, что второй ребёнок девочка, получается 4/8=1/2.

Конечно же, этот игрушечный пример ничего не доказывает, но помогает смириться с парадоксом.

В семье двое детей какова вероятность что старший ребенок мальчик

Научный форум dxdy

Добавить комментарий Отменить ответ