Нахождение радиуса/площади/объема описанной около конуса сферы (шара)
В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной около конуса сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.
- Нахождение радиуса сферы/шара
- Формулы площади и объема сферы/шара
Нахождение радиуса сферы/шара
Около любого конуса можно описать сферу (шар). Другими словами, в любую сферу можно вписать конус.
Чтобы найти радиус сферы (шара), описанной около конуса, чертим осевое сечение конуса. В итоге у нас получится равнобедренный треугольник (в нашем случае – ABC), вокруг которого описана окружность с радиусом r.
Радиус основания конуса (R) равен половине основания треугольника (AC), а образующие ( l ) – его боковые стороны (AB и BC).
Радиус окружности (r), описанной вокруг треугольника ABC, в том числе, является радиусом шара, описанного около конуса. Он находится по следующим формулам:
1. Через образующую и радиус основания конуса:
2. Через высоту и радиус основания конуса
Высота (h) конуса – это отрезок BE на рисунках выше.
Формулы площади и объема сферы/шара
Зная радиус (r) можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) шара, ограниченного этой сферой:
геометрия — Найти радиус основания конуса [закрыт]
Угол равен 30 градусам, если я правильно понимаю (без такого добавления угловая мера «по умолчанию» считается радианной). Осевое сечение — равнобедренный треугольник. Основание равно $%2R\sin\varphi$% по теореме синусов, где $%\varphi$% — угол при вершине. Отсюда всё сразу находится. Можно то же самое получить через половину центрального угла ($%r=R\sin\varphi$%, где $%r$% — половина длины основания треугольника, она же — радиус основания конуса).
05. Конус
Задача 1. Высота конуса равна , образующая равна Найдите его объем, деленный на .
Объем конуса вычисляется по формуле где – радиус основания, – высота конуса.
Находим радиус основания по т. Пифагора (см. на рисунке зеленый прямоугольный треугольник):
Задача 2. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного Найдите его объем, деленный на .
В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также
Задача 3. Высота конуса равна а диаметр основания – Найдите образующую конуса.
Решение: + показать
Найдем образующую конуса из прямоугольного треугольника по т. Пифагора.
При этом заметим, что
Задача 4. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите
где – радиус основания конуса, – высота
Высота конуса как катет напротив угла в равен половине гипотенузы длиной , то есть равен
При этом по теореме Пифагора
Задача 5. Длина окружности основания конуса равна образующая равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.
где – радиус основания конуса и образующая конуса.
А поскольку длина окружности основания конуса равна и равна по условию, то
Задача 6. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в раз?
Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от и , так как
( – радиус, образующая конуса)
Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в раз.
Задача 7. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в раз?
Если высоту уменьшаем в раз, то и объем уменьшается в раз.
Задача 8. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в раз, а высота останется прежней?
Увеличение радиуса основания в раз повлечет за собой увеличение объема конуса в то есть в раз.
Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
( – радиус основания конуса, образующая конуса).
Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен
Задача 10. Объем конуса равен Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Отсекаемый конус подобен исходному и – коэффициент подобия.
Как известно, объемы подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Тогда объем отсекаемого конуса в раз (так как ) меньше объема исходного, то есть равен
Задача 11. Площадь полной поверхности конуса равна Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Малый отсеченный конус подобен исходному с коэффициентом подобия Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении где – коэффициент подобия. Поэтому площади поверхностей будут отличаться в раза.
Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть
Задача 12. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите .
где (так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы ())
Задача 13. Диаметр основания конуса равен а угол при вершине осевого сечения равен °. Вычислите объем конуса, деленный на .
Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти радиус основания и высоту конуса так как
Треугольник , образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.
Середина гипотенузы является центром описанной окружности около треугольника . А значит . Поэтому, так как диаметр основания равен то
Задача 14. Площадь основания конуса равна , высота — Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с основанием и высотой , проведенной к этому основанию.
Задача 15. Площадь основания конуса равна Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной и считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному и коэффициент подобия Площади оснований конусов отличаются тогда в раз.
Тогда площадь сечения конуса указанной плоскостью равна
Задача 16. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания и высотой
Задача 17. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания и высотой
Задача 18. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия
Так как объемы подобных тел находятся в отношении , где – коэффициент подобия, то объем исходного конуса есть объемов отсеченного конуса ). Стало быть, на усеченный конус приходится объемов отсеченного (малого) конуса.
То есть объем усеченного конуса (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть