Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH ² + BC ² = 4 R ² и AH = BC |ctg α|.

Решение

Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A 1 B 1 C 1 , серединами сторон которого являются точки A, B и C . Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому центр описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 является точкой пересечения высот треугольника ABC .

б) Точка H является центром описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому 4 R ² = B 1 H ² = B 1 A ² + AH ² = BC ² + AH ². Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника» («Математика в школе», 1988, №1, с.72).

Теорема о пересечении высот треугольника

Дано: АВС, АА₁, ВВ₁ и СС₁ — прямые, содержащие высоты треугольника.

Доказать: АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А₂В₂С₂. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А₂С и АВ = СВ₂ как противоположные стороны параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂. Аналогично С₂А = АВ₂ и С₂В = ВА₂. Кроме того, как следует из построения, СС₁А₂В₂, АА₁В₂С₂ и ВВ₁А₂С₂. Таким образом, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника : точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Свойство высот треугольника

Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.

Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.

Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.

Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен . BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и . Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен .