Явные и неявные функции
Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.
Такая функция имеет вид: , т.е. переменная y выражается через х.
Определение.
Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и y и, не разрешенного относительно y.
Неявная функция имеет вид: .
Замечание.
Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.
Основные характеристики функции
Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:
1) четность или нечетность функции;
2) периодичность функции;
4) возрастание или убывание функции (монотонность функции);
5) ограниченность функции.
Рассмотрим эти характеристики.
Четные и нечетные функции
Определение.
Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. .
Например, ; ; – четные функции.
График четной функции расположен симметрично относительно оси (рис.1.4).
Определение.
Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. .
Например, ; – нечетные функции.
График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).
Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.
Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.
Периодические функции
Определение.
Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что в области определения функции.
Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции .
Например, функции , являются периодическими с периодом .
Нули функции
Определение.
Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называется нулем функции.
Например, нулями функции являются значения и .
Монотонные функции
Определение.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).
Определение.
Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.
Ограниченные функции
Определение.
Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .
Например, функции и – ограниченные функции, т.к. и для .
График ограниченной функции лежит между прямыми и (рис.1.8).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти область определения следующих функций:
2. Найти множество значений функции:
3. Найти , , , , если .
4. Пусть и . Найти и .
5. Установить чётность или нечётность функции:
1) ; Ответ: чётная;
2) ; Ответ: чётная;
3) ; Ответ: общего вида;
4) ; Ответ: нечётная.
6. Найти основные периоды функций:
7. Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:
Математика — функции. Помогите понять. Что означает: — функция задана в явном виде; — функция задана в неявном виде.
Если функция задана в явном виде y=f(x), то всегда можно записать её в неявном виде y-f(x)=0
т. е. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т. е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математический анализ
Укажите область определения функции 
Какая функция называется четной?
если для любых значений х из области определения
Укажите область определения функции
На каком из рисунков изображена область определения функции ?
Укажите область определения функции
Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?
дробно-рациональная функция
Укажите область определения функции
Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?
логарифмическая функция
На каком из рисунков изображена область определения функции ? 
В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?
если она сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса
Укажите область определения функции
Относительно чего симметричен график нечетной функции?
относительно начала координат
График какой функции симметричен относительно оси ординат?
четной функции
Найдите интервал сходимости ряда , не исследуя концов интервала
Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Найдите радиус сходимости ряда
R = 2
Найдите интервал сходимости ряда
Найдите интервал сходимости ряда, не исследуя концов интервала
Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Какой ряд называется знакопеременным рядом?
числовой ряд, члены которого имеют различные знаки
Исследуйте ряд на сходимость
расходится
Укажите необходимый признак сходимости ряда
eсли ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте ряд на сходимость
сходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Найдите радиус сходимости ряда
R = 1
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Найдите интервал сходимости ряда
Найдите радиус сходимости ряда
R = 1
Найдите предел
0,1
Найдите предел 
Найдите предел
∞
Найдите предел
e -1
Найдите предел
5
Найдите
4
Найдите предел
1
Найдите предел
5
Найдите предел
32
Найдите предел
18
Найдите предел 
Найдите предел
∞
Найдите предел
0
Найдите предел
1,5
Найдите предел
∞
Найдите предел функции при
0
Найдите частные производные функции двух переменных
Найдите полный дифференциал функции
Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y
Дана функция . Решите уравнение 
Найдите производную функции
Дана функция . Найдите y′(36)
Найдите частные производные функции трех переменных
Вычислите предел по правилу Лопиталя
Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)
Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?
пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
Вычислите предел по правилу Лопиталя
0
Найдите производную функции
Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x
Найдите полный дифференциал функции
dz = (y cosxy + 2xy 2 ) dx + (x cosxy + 2yx 2 ) dy
Найдите производную функции 
Вычислите предел по правилу Лопиталя
Найдите производную функции
Найдите производную функции
Вычислите предел по правилу Лопиталя
1
Найдите производную функции
Чему равна производная постоянной функции?
0
Найдите частные производные второго порядка функции
Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке, и их произведение также дифференцируемо в этой точке
Найдите среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону , для промежутка времени от
12
Вычислите предел по правилу Лопиталя
4
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
возрастает при и убывает при
В каких точках выпукла или вогнута кривая
выпукла во всех точках
В каких точках выпукла или вогнута кривая
вогнута во всех точках
Каково необходимое условие возрастания функции?
если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то для всех x из этого интервала
Найдите вертикальные асимптоты к графику функции
х = 0 и х = 1
Найдите точки максимума (минимума) функции
(2; 4) — точка максимума
Что называется асимптотой кривой?
прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность
Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?
если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале
Найдите точку перегиба кривой
Найдите точку перегиба кривой
(0; 0)
Определите поведение функции
возрастает
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
убывает при , возрастает при
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]
Что называется критическими точками второго рода?
точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
Исследуйте функцию на экстремумы
максимум в точке ; минимум в точке 0
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
убывает при x > 2, возрастает x < 2
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
Исследуйте функцию на монотонность и экстремум
— промежуток возрастания, — промежуток убывания, x = 0 — точка максимума
Найдите точки максимума (минимума) функции
— точка максимума
Вертикальные асимптоты к графику функции имеют вид
x = 4, x = 0
Укажите необходимое условие экстремума
в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует
Определите поведение функции
убывает
Определите поведение функции при x = 0
возрастает
Число называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если
для всех x из этого отрезка выполняется неравенство
Найдите точки максимума (минимума) функции
— точка минимума, (1; 0,5) — точка максимума
Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?
алгебраической сумме интегралов от этих функций
Найдите первообразную для функции
Найдите 
Укажите формулу интегрирования по частям
Найдите первообразную функции
Сколько первообразных может иметь каждая функция?
бесконечно много первообразных
Найдите первообразную для функции
Вычислите определенный интеграл
2
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
8
Вычислите определенный интеграл
0,24
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Укажите какая из сумм является интегральной
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,25
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,5
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,4
Вычислите определенный интеграл
2
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
45
Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5x, x = 2 и осью Ox
10
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами:
9
Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: и y = 0
Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
0,24 кГм
Найдите площадь области, ограниченной прямыми и осью Ox
10
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0, x = 0, x = 2
14/3
Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox
Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения
140 м
Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?
0,24 Дж
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой
2,45 МН
Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y = 4x — 5, x = -3, x=-2 и осью Ox
15
Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком оси Ox, графиком функции y = cosx, отрезками прямых и x = π
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
8
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 4x, x = 4 и осью Ox
32
Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , y = 0, ,
1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
36
Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
490 м
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения
48 м
Найдите площадь области, ограниченной кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox
17
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , x = 2 и отрезком оси Ox
6
Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума имеющего длину 30 см и высоту 20 см
58,8 Н (6 кГ)
Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0
Среди перечисленных уравнений укажите однородные уравнения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6.
1, 4, 5
Что называется порядком дифференциального уравнения?
наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение
Найдите частное решение уравнения 2(z + 3)dt = (t + 2)dz, если при
z = — (t + 2) 2 — 3
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными
Даны дифференциальные уравнения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Укажите среди них однородные уравнения
1, 3, 5
Найдите общее решение уравнения
Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2
Найдите общее решение уравнения y′′ = cos x 
Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?
частным решением
Найдите частное решение уравнения , если при t = 0 s = 0
Найдите общее решение уравнения
Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0
Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0
–
Укажите общее решение дифференциального уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения y′ = sin x + 2
y = — cosx + 2x + C1
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнения с разделяющимися переменными:
1. ;
2. ;
3.
4.
5. ;
6.
2, 3, 5
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными
y′ + ycos x = 0
Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?
уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков
Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?
y = u ∙ v
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение
Среди перечисленных дифференциальных уравнений указать уравнение Бернулли:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
3
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
2, 4
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Решите уравнение 
Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4 удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли
Найдите общее решение уравнения
Даны дифференциальные уравнения:
1.
2.
3.
4.
Укажите среди них линейные уравнения
1, 3
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
y = C1e -x + C2e x
Найдите общее решение уравнения
Решите уравнение y″ — 6y′ + 9y = 0
Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6
При решении каких уравнений используют подстановку ?
при решении однородных уравнений