Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Нерастяжимость нити , соединяющей тела, означает, что оба тела движутся с одинаковым ускорением. На тело А действуют сила тяжести РЫЖ. К телу В приложены сила натяжения нити Т в направлении движения и сила трения FTp — в противоположном направлении. Только эти силы влияют на движение тел. [2]
Нерастяжимость нити означает постоянство ее длины. [3]
Вследствие нерастяжимости нитей модуль ускорения всех тел одинаков. [4]
В силу нерастяжимости нити ускорение груза Б равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону. [6]
Что касается условия нерастяжимости нити , которое выражается неизменностью каждого элемента кривой ds, то его нельзя ввести в уравнение взамен неопределенной величины X, как это можно сделать в том случае, когда нить образует собою многоугольник, — так как согласно природе дифференциального исчисления абсолютное значение элементов кривой и вообще всех бесконечно малых элементов остается неопределенным; однако по тем же основаниям нет нужды в том, чтобы число уравнений было равно числу переменных; для определения линии будь то линия простой, или двойной кривизны, достаточно иметь уравнений на единицу меньше, чем переменных. [7]
Ясно, что ввиду нерастяжимости нити ускорения грузов массами т и mi относительно блока равны по модулю, но противоположны по знаку. Если ускорение груза массой т равно ао-а, то ускорение груза массой тч равно ао а. Сила Т натяжения нити, действующая на грузы, одинакова. [8]
Что касается сил связи, которые обусловливают нерастяжимость нити , то сила связи, приложенная в какой-либо точке Р нити, определяется тем, что она представляет силу, которую нужно приложить в точке Р с тем, чтобы механическое состояние рассматриваемой системы точек никоим образом не нарушалось, если представить себе, что нить в этой точке перерезана. Очевидно, для этого в точке Р нужно приложить две силы, которые представляют силы связи, с которыми действуют друг на друга с. [9]
Несмотря на отдельные недостатки, например принятие гипотезы о нерастяжимости нитей корда , что приводит к бесконечно большой сдвиговой жесткости сетки, а это, в свою очередь, исключает возможность учета сдвигов, модель сетчатой оболочки [11.9] позволяет достаточно хорошо определять конфигурацию надутой диагональной шины. Следующий шаг был сделан Эймсом и позднее Б.Л. Бу-хиным, обобщивших обсуждаемую модель на случай линейно [11.33] и нелинейно [11.5] растяжимого корда. Расчеты, проведенные в работах [11.5, 11.6], показали, что влияние растяжимого корда на форму профиля надутой шины, невелико, поэтому им можно пренебречь в проектных расчетах. В дальнейшем в работах Б.Л. Бухина и его соавторов, например в [11.7], было установлено, что безмоментная теория сетчатых оболочек приводит к достоверному описанию равновесной конфигурации грузовых и легковых диагональных шин. [10]
Таким образом, в подобных задачах при выполнении требований нерастяжимости нити , невесомости блока, отсутствия трения в блоке появляется возможность сократить число рассматриваемых уравнений, применяя уравнение движения к совокупности связанных тел. [11]
В самом деле, если принять во внимание условие нерастяжимости нити , из которого вытекает ( см. предыд. [12]
Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити . [13]
Чтобы установить связь между проекциями ускорений, накладываемую условием нерастяжимости нити , рассмотрим мысленно возможные перемещения грузов. [14]
К системе пяти уравнений движения следует добавить уравнение связи движений тел вследствие нерастяжимости нити и отсутствия ее скольжения по лиску D и блоку В. [15]
wiki.eduVdom.com
Записаться
на занятия (831) 247 47 55
eduVdom.com
Теоретическая механика. Статика:
Контакты
Простейшие типы связей
1. Идеально гладкая поверхность. Рассмотрим тело, которое может перемещаться без трения по гладкой горизонтальной поверхности (Рис.1а).
Пусть в качестве активной силы выступает сила веса $\vec<Р>$, приложенная в его центре тяжести. Реакция связи $\vec
Идеально гладкая поверхность
Принципиально картина не меняется, если поверхность тела или связи будет гладкой, но криволинейной (Рис.1б).
Пусть тело в виде бруса с гладкой поверхностью опирается в точке А на идеально гладкую поверхность, а в точке В – на уступ (Рис.1в).
Нетрудно догадаться, что тело не сможет находиться в равновесии, если в качестве активной силы выступает его собственный вес, однако равновесие возможно, если к этому брусу приложить некоторую другую внешнюю силу $\vec
Итак, по поводу этого типа связи можно сделать следующий вывод: реакция идеально гладкой поверхности приложена в точке касания и направлена по нормали к поверхности тела или связи.
2. Гибкая невесомая и нерастяжимая нить. Рассмотрим тело, которое подвешено на двух таких нитях и находится в равновесии под действием собственного веса и реакций нитей, прикрепленных к телу в точках А и В (Рис.2 слева).
Слева: Гибкая невесомая и нерастяжимая нить
Гибкая невесомая и нерастяжимая нить (слева)
Жесткий невесомый прямолинейный стержень (справа)
Реакция связи равна силе натяжения нити, она направлена вдоль нити и от тела, которое эта нить удерживает.
3. Жесткий невесомый прямолинейный стержень. Реакция направлена вдоль стержня, который, в отличие от нити, может воспринимать как растягивающие ($\vec
Справа: Жесткий невесомый прямолинейный стержень
Гибкая невесомая и нерастяжимая нить (слева)
Жесткий невесомый прямолинейный стержень (справа)
4. Подвижная опора. Допускает перемещение закрепленным таким образом точки тела только вдоль опорной плоскости (Рис.3а).
Реакция направлена перпендикулярно заштрихованной опорной площадке.
В учебной литературе этот вид связи также называют подвижным цилиндрическим шарниром.
Помимо стандартного обозначения, предусмотренного ГОСТом, на схемах эту связь изображают так, как показано на рис.3б.
Отметим, что четыре рассмотренные связи имеют одну общую особенность: соответствующие им реакции известны по направлению и неизвестны по величине. То есть с точки зрения алгебры каждая из этих реакций соответствует только одному неизвестному.
5. Неподвижная опора. Препятствует перемещению закрепленной таким образом точки тела в горизонтальном и вертикальном направлениях. Это означает, что в общем случае реакция $\vec
Эта связь допускает поворот тела вокруг рассматриваемой точки, поэтому в учебной литературе эту связь также называют неподвижным цилиндрическим шарниром.
Помимо стандартного обозначения, предусмотренного ГОСТом, на схемах она изображается так, как показано на рис.4б.
6. Сферический шарнир. В отличие от цилиндрического шарнира не допускает перемещения закрепленной таким образом точки тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В качестве неизвестных при ее определении выбирают проекции этой реакции на оси координат: RAX , RAY , RAZ (Рис.5).
Рассмотренными в этом параграфе шестью типами связей мы и ограничимся. Другие связи будут рассмотрены по мере необходимости.
Примечания:
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
2.10.1. Движение связанных тел
[latexpage]При решении задач на движение связанных тел часто приходится сталкиваться с условием, что нить связывающая тела невесома и нерастяжима. Разберемся что означает.
Нить невесома — это значит, что сила натяжения нити, связывающая грузы, будет одинаковой по модулю во всех точках нити, обычно силу натяжения нити обозначают $\overrightarrow
Нить нерастяжима — связанные грузы будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением, одинаковой по модулю скоростью в одни и те же моменты времени, а также происходить одинаковые расстояния за одинаковые промежутки времени.
Отдельно покажем как будет выглядеть чертеж с указанием сил натяжения нитей в случае кода нить перекинута через невесомый неподвижный блок и можно пренебречь силами трения, которые возникают при вращении блока (по умолчанию все правые грузы будут двигаться вниз с некоторым ускорением).
Неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а значит и не дает проигрыша в расстоянии, поэтому ускорения с которыми движутся тела одинаковы по модулю, т.е. $a_1=a_2=a$, но при этом направлены в противоположные стороны.
Пример. На столе лежат два связанных нитью бруска. Масса левого бруска m 1 = 1 кг, правого — m 2 = 3 кг. Коэффициент трения между каждым столом и бруском μ = 0,2. Найдите ускорение системы и силу натяжения соединяющей их нити, если к левому бруску приложить силу F 1 = 1 Н , а к правому F 2 = 2 Н . Задачу решить для случая, когда F 1 = 2 Н; F 2 = 16 Н.
Решение. 1. Систему отсчета свяжем со столом, эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль поверхности стола в направлении силы F 2 . Координатную ось $Oy$ направим перпендикулярно поверхности стола в направлении вектора силы реакции опоры.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Будем считать, что тело движется с ускорением направленным в сторону движения большей силы, так как по условию непонятно как будет двигаться тело и будет ли оно двигаться вообще.
3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:
Проекции на координатную ось $Ox$:
Проекции на координатную ось $Ox$:
4. Найдем силы трения, т.к. из последних равенств $N_1=m_1g$ и $N_2=m_2g$, то $F_
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестных величин. Складывая первое и второе уравнение системы, получим
$F_2-F_1-\mu m_1g-\mu m_2g=m_1a+m_2a$,
$F_2-F_1-\mu g (m_1+ m_2)=(m_1+m_2)a$,
$a= \frac<2-1><1+2>-0,2 \cdot 10 \approx — 1,67 $ м/с 2 .
мы получили ускорение отрицательное по модулю, такого быть не может, а это значит тело покоится, т.е. $a=0$. При этом силу натяжения можно найти из уравнений полученных нами для проекций на горизонтальную ось с учетом полученного результата
Складывая первое и третье уравнение, получим
$2T+\mu m_2g-F_1-F_2-\mu m_1g=0$,
Пример. Два одинаковых тела массой m = 1 кг каждое связаны нитью, перекинутой через легкий блок, и находятся на поверхности неподвижного клина с углами при основании α = 60 ° и β = 30 ° (см. рис.). При движении тел сила натяжения нити T = 7 Н. Найдите коэффициент трения между телами и поверхностями клина.
Решение. 1. Будем рассматривать движение тел в разных системах координат, связав их с поверхностями клина, относительно которых движутся тела. В остальном будем действовать также, как и при решении задач на наклонную плоскость.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона, для каждого тела
Проекции на координатные оси для первого тела на оси $Ox_1$ и $Oy_1$ соответственно:
$mg\, sin\alpha -T_1-F_
Проекции на координатные оси для второго тела на оси $Ox_2$ и $Oy_2$ соответственно:
$-mg\, sin \beta+T_2-F_
4. Найдем силы трения, т.к. $ N_1=mg\, cos\alpha$, то $F_
$mg\, sin\alpha -T_1-\mu mg\, cos\alpha=ma_1$,
$-mg\, sin \beta+T_2-\mu mg\, cos\beta=ma_2$.
Учтем также, что грузы связаны нитью, перекинутой через блок, а значит $T_1=T_2=T$ и $a_1=a_2=a$. Учтем и этот факт при написании уравнений
$mg\, sin\alpha -T-\mu mg\, cos\alpha=ma$,
$-mg\, sin \beta+T-\mu mg\, cos\beta=ma$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Из последних двух уравнений найдем коэффициент трения. Вычитаем из второго уравнения первое
$-mg\, sin \beta — mg\, sin\alpha +2T-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=0$,
$-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,
$\mu mg ( cos\alpha — cos\beta) =mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,
Пример. В системе, изображенной на рисунке, массы нижнего и верхнего брусков $M=2$ кг и $m=1$ кг соответственно. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с постоянным ускорением $a=g/2$. Коэффициент трения между брусками 0,5; между нижним бруском и столом 0,2.
Решение. 1. Систему отсчета свяжем с поверхностью относительно которой движется нижнее тело.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Остановимся подробнее на силах. На верхний брусок действует 4 силы: тяжести, натяжения нити, реакции опоры и сила трения между брусками (очевидно, что брусок движется влево относительно нижнего, значит сила трения будет направлена вправо). На нижний брусок действуют силы: тяжести, реакции опоры, натяжения нити, две силы трения (со стороны верхнего бруска и поверхности, причем сила трения, действующая со стороны верхнего бруска направлена влево, т.к. нижний брусок движется относительно верхнего вправо), сила с которой тянут брусок, а также вес верхнего бруска (мы намеренно акцентируем на этом внимание, т.к. случай далеко не распространенный, но встречающийся в ЕГЭ).
3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела и найдем проекции векторов на координатные оси. Для нижнего тела имеем
В проекциях на координатные оси
Для верхнего тела получим
В проекция на координатные оси
4. Запишем дополнительные соотношения. Силы трения $\overrightarrow $ с есть результат взаимодействия нижнего и верхнего бруска, а значит, согласно третьему закону Ньютона справедливы равенства $\overrightarrow $\overrightarrow \Rightarrow N_2=P$. Кроме того, учитывая, что тела связаны нитью получим равенство ускорений тел $a_1=a_2=a$. Учтем все вышесказанное при нахождении модулей силы трения. Известно что $N_1-Mg-P=0 \Rightarrow N_1 = Mg + P= Mg + N_2$, $N_2-mg=0 \Rightarrow N_2 = mg$ Перепишем полученные в п.3 уравнения 5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6. 6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестной величины, для этого вычитаем из первого уравнения второе (чтобы избавиться от модуля силы натяжения) $=g\left ( \mu_2(M+m)+2\mu_1 m+\frac $F=10\cdot \left ( 2\cdot 0,5\cdot 1+(2+1)\left ( \frac<1><2>+0,2 \right ) \right )=31$ Н. Задачи для самостоятельного решения. Для закрепления пройденного материала и развития навыков задач решения рекомендуется выполнить задания, которые предлагает сайт «Решу ЕГЭ» для подготовки к ЕГЭ по физике на тему «Движение связанных тел» — нажать на ссылку и перейти к решению задач.