Беседа 2. Потенциальная энергия
Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.
Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).
Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.
Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.
Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?
Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):
«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля. ».
Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.
Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть – объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м 3 ). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр. 136 читаем (дословно):
«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».
Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то оно должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.
Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее – давление, Дж/м 3 или Н/м 2 ). Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом – напряженностью поля. Причем, давление, потенциал и напряженность характеризуют потенциальное поле в данной его точке, независимо от наличия в этой точке пробного тела, ибо поле, как мы уже знаем, само обладает энергией и массой.
Если потенциальную энергию (WП, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v 2 = WП/m, Дж/кг) или электрический (U = WП/q, Дж/Кл) потенциалы.
Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:
— для гравитационного поля: g = – grad v 2 ;
— для электрического: E = – grad U (о знаке речь пойдет ниже).
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.
С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.
Дополнение: Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = – grad v 2 . Помножив эти два параметра на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (WП = mv 2 ). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = – grad WП).
Аналогично для электрического поля: напряженность электрического поля E = – grad U, сила F = qE, потенциальная энергия WП = qU. Значит, и здесь F = – grad WП.
Уравнение F = – grad WП показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.
Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?
Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с 2 ) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.
ДАВЛЕНИЕ измеряется в Н/м 2 или в Дж/м 3 . Здесь тоже более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает нам на ОБЪЁМНУЮ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ (Дж/м 3 ).
ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м 2 /с 2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м 2 /с 2 ) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.
И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.
Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:
— упрощенный (приближенный) – для однородного поля;
— общий (истинный) – для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.
Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:
WП = mgh, Дж,
где g – напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h – вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).
Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.
Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.
К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).
Здесь рассматривается:
— уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);
— и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).
Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии:
— уравнение (25.6) W(U) = – GMm/r в первом источнике и
— уравнение W(Ur) = – GMm/r – во втором.
Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:
— в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;
— во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = – GMm/r.
И действительно, свободно падающее к центру поля тело теряет свою потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния – увеличивается.
Учитывая, что в уже известном нам уравнении WП = – GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до… нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.
Вывод: потенциальная энергия для всех материальных частиц отрицательна.
Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v 2 = WП/m = – GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.
Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.
Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы.
Формулы пишут математики, а физики пользуются уравнениями. Необходимые уравнения здесь уже приводились. Однако попробуем, все же, обойтись пока без них, тем более – без «формул».
Для этого используем бытовые наблюдения, которые подсказывают: чтобы испарить воду, кипящую в чайнике, нужно сжечь некоторое количество дров или газа. Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения частиц в кипящей воде и в паре.
Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.
Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.
И здесь Вы совершенно правы. Для физиков проблем с пониманием сути и знака потенциальной энергии нет, ибо они гравитационное поле, в том числе и поле тяготения Земли, считают НЕОДНОРОДНЫМ. Для физиков напряженность гравитационного поля изменяется с расстоянием в квадрате: g = Gm/r 2 .
Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh. Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое.
Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.
Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?
В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:
«Векторное поле называется однородным, если А(Р) — постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az — постоянные величины.
Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».
Теперь Вы и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.
Куда и почему направлен градиент потенциала
§7 Работа силы электростатического поля при перемещении заряда.
Потенциальный характер сил поля.
Циркуляция вектора напряженности
Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое зарядом q . Пусть в нем перемещается пробный заряд q 0 . В любой точке поля на заряд q 0 действует сила
де 
— модуль силы, 
— орт радиус-вектора 
, определяющего положение заряда q 0 относительно заряда q . Так как сила меняется от точки к точке, то работу силы электростатического поля запишем как работу переменной силы:
Ввиду того, что рассматривали перемещение заряда из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории, можно сделать вывод, что работа по перемещению точечного заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным положением заряда. Это свидетельствует о том, что электростатическое поле является потенциальным, а сила Кулона – консервативной силой. Работа по перемещению заряда в таком поле по замкнутому пути всегда рвана нулю.
— проекция 
на направление контура ?.
Учтем, что работа по замкнутому пути равно нулю
— ЦИРКУЛЯЦИЯ вектора напряженности.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля, взятая по произвольному замкнутому контуру всегда равна нулю.
§7 Потенциал.
Связь между напряженностью и потенциалом.
Градиент потенциала.
Эквипотенциальные поверхности
Поскольку электростатическое поле является потенциальным работа по перемещению заряда в таком поле может быть представлена, как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути. (Работа равна уменьшению потенциальной энергии, или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус.)
Постоянную определяют из условия, что при удалении заряда q 0 на бесконечность его потенциальная энергия должна быть равна нулю.
.
Различные пробные заряды q 0 i , помещенные в данную точку поля будут обладать в этой точке различными потенциальными энергиями:
… 
Отношение W пот i к величине пробного заряда q 0 i , помещенного в данную точку поля является величиной постоянной для данной точки поля для всех пробных зарядов. Это отношение называется ПОТЕНЦИАЛОМ.
ПОТЕНЦИАЛ – энергетическая характеристика электрического поля. ПОТЕНЦИАЛ численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
Работу по перемещению заряда можно представить в виде
.
Потенциал измеряется в Вольтах
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ называются поверхности равного потенциала (φ = const ). Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Связь между напряженностью 
и потенциалом φ можно найти, исходя из того, что работу по перемещению заряда q на элементарном отрезке d ? можно представить как
С другой стороны 
— градиент потенциала.
Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус.
Градиент потенциала показывает, как меняется потенциал на единицу длины. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.
Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q 1 , q 2 , … qN . Расстояния от зарядов до данной точки поля равны r 1 , r 2 , … rN . Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q 0 , будет равна алгебраической сумме работ сил, каждого заряда в отдельности.
гле 
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, определяется как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых в этой же точке каждым зарядом в отдельности.
§9 Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара, цилиндра
Используя связь между φ и 
определим разность потенциалов между двумя произвольными точками
Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ.
2. Разность потенциалов поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.
Если х1 = 0; х2 = d , то 
или 
3. Разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R .
Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен
4. Разность потенциалов поля объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q.
Вне шара 
r 1 , r 2 > R ,
Внутри шара 
5. 
Разность потенциалов поля равномерно заряженного цилиндра (или бесконечно длинной нити).
r > R : 
Градиента потенциала.
В электростатическом поле между двумя близко расположенными точками в общем случае имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность потенциалов разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки.
В математике используют понятие градиента скалярной функции, под которым понимают скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания.
Возьмем две близко расположенные эквипотенциальные линии. Одна из них имеет потенциал φ1, другая – φ2, причем φ1 > φ2 (рис. 38.3). Тогда градиент изобразится вектором, перпендикулярным к эквипотенциальным линиям и направленным от φ2 к φ1 (в сторону увеличения потенциала).
Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (φ1) к менее высокому (φ2). Если через dn обозначить расстояние по нормали между эквипотенциальными поверхностями, а через вектор, совпадающий с направлением напряженности поля , т.е. ( – единичный вектор, направленный по направлению ), то можно записать выражение
где – приращение потенциала при переходе от точки 1 к точке 2.
Так как векторы и совпадают по направлению, то . Таким образом Отсюда . Вектор напряженности поля . Поэтому
Из определения градиента следует, что
Сопоставляя (19.5) и (19.6), получаем
Физический смысл выражения (38.7) заключается в том, что напряженность поля в какой-либо его точке равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком.
Нормаль в общем случае может не совпадать с направлением какой-либо координатной оси, и поэтому градиент потенциала в общем случае можно представить в виде суммы трех проекций по координатным осям. Например, в декартовой системе координат
Вектор напряженности поля Таким образом,
Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их соответствующие проекции. Следовательно
Для сокращения записи в математике используют дифференциальный оператор Гамильтона: используя который можно записать
Вопросы для самоконтроля
1. Какова основная отличительная особенность электромагнитного поля как вида материи?
2. Какими двумя сторонами характеризуется электромагнитное поле? Как эти стороны связаны между собой?
3. Охарактеризуйте понятие «электрическое поле».
4. Какими двумя основными величинами характеризуется электрическое поле?
5. Дайте определение потенциала электрического поля.
6. Какие поля называют потенциальными? Почему суммарная работа по переносу электрического заряда по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю?