Косинус это проекция на какую ось
Чтобы объяснить понятия синуса и косинуса рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность, у которой радиус равен 1 (рис. 1).
Единичный радиус-вектор имеет угол с осью Ox. Тогда в этих обозначениях проекция радиус-вектора на ось Ox равна , а проекция на ось Oy — . Например, если , то
Почему и равны этому значению? Это легко объяснить на следующем рисунке (рис. 2)
Проекции синуса и косинуса вместе с радиусом-вектором образуют прямоугольный треугольник. Вспоминая теорему Пифагора, мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Тогда можно записать
и учитывая, что и равны, то это равенство можно записать и в таких вариантах
Другой случай. Пусть теперь угол , тогда (рис. 3) получается, что
Рассмотрим, как ведут себя функции синуса и косинуса при изменении угла .
Из рис. 4 видно, что если угол меняется от 0 до , то синус остается всегда положительным, а косинус меняет свой знак, как только угол становится больше .
Если же угол меняется от до , то косинус остается положительным, а синус меняет свой знак, когда .
Последнее, что следует указать про функции синуса и косинуса, это то, что они повторяются через каждые радиан или . То есть, если угол взять в , то это будет то же самое, что и и . В этом смысл их периодичности, т.е. повторяемости. Математически это обозначается так
Памятка по проекциям вектора на ось
Здравствуй, дорогой друг! Вот и наступил 11-й класс. Уже совсем скоро начнутся экзамены, а такие слова, как « сила », « проекция на ось », « векторная сумма сил », ставят тебя в тупик… Ну ничего, сейчас я постараюсь помочь тебе разобраться со всеми этими страшными терминами. Погнали!
Итак, первое, с чего нужно начать, это понять, что же от нас хотят. Ведь распространённой ошибкой, которую допускают многие одиннадцатиклассники, является невнимательное чтение вопроса задачи. «ПТУ или СПБ» … нет, что-то не! «Модуль или проекция». Да, да, да… невнимательно прочтённое задание, а вслед за ним, возможно, упущенный «минус» отделяют потенциального инженера-конструктора от заветного бюджетного места в топовом вузе.
Если от нас требуется найти «модуль силы» (в особо изысканных задачах «модуль проекции силы»), то всё не так страшно. Но если же на твою нелёгкую долю, друг, выпала участь отыскать «проекцию» (или «проекцию модуля»), то будь внимательней самого внимательного внимателя.
В первом случае мы видим, что вектор силы F параллелен оси x . Более того, направление вектора совпадает с направлением оси. Тогда проекция вектора равна самому вектору. Во втором случае мы видим, что вектор силы параллелен оси, но его направление уже противоположно. Тогда можно сказать, что проекция также равна самому вектору, но взятому со знаком «минус».
И самый трудный случай, когда вектор даёт проекции сразу на обе оси:
Тут необходимо учитывать угол отклонения вектора от оси. В данном примере взят угол α между самим вектором и осью x . В таком случае проекция вектора на ось x будет равна произведению самого вектора на косинус угла отклонения:
а соответственно, проекция на ось y равна произведению самого вектора на синус угла отклонения:
Также следует внимательно следить за тем, какой угол тебе дан, ведь если взять противоположный угол, то и тригонометрические функции в проекциях поменяются на противоположные.
Надеюсь, прочитав эту маленькую статью, ты стал еще на шаг ближе к своей будущей профессии. Ну а если ты хочешь не просто шагать, а бежать навстречу знаниям, то ждём тебя на занятиях в наших центрах!
Функция y = cos x, её свойства и график
Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=cosx для любого \(x\in\mathbb
Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».
п.2. Свойства функции y=cosx
1. Область определения \(x\in\mathbb
2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1\leq cosx\leq 1 $$ Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$
4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2\pi k)=cosx $$
5. Максимальные значения \(y_
6. Функция возрастает на отрезках $$ -\pi+2\pi k\leq x\leq 2\pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k $$
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:
a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(cosx=\frac\pi2-x\)
Один корень: \(x=\frac\pi2\)
б) \(cosx-x=1\)
\(cosx=x+1\)
Один корень: x = 0
в) \(cosx-x^2=1\)
\(cosx=x^2+1\)
Один корень: x = 0
г*) \(cosx-x^2+\frac<\pi^2><4>=0\)
\(cosx=x^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=x^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=0\) (ось OY) и вершиной \(\left(0; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: \(x_<1,2>=\pm\frac\pi2\)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=-cosx,\ \ y=2cosx,\ \ y=cosx-2 $$
\(y=-cosx\) – отражение исходной функции \(y=cosx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2cosx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=cosx-2\) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений \(y\in[-3;-1]\).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=cos2x,\ \ y=cos\frac
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
\(y=cosx\) – главная арка косинуса соответствует отрезку \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\)
\(y=cos2x\) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок \(-\frac\pi4\leq x\leq\frac\pi4\).
\(y=cos\frac