Когда числа могут быть сторонами треугольника

Когда числа могут быть сторонами треугольника

Тип 18 № 514433

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел противоречащее условию.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел:

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.

Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.

С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.

Как проверить, существует ли треугольник?

Как проверить, существует ли треугольник, если известны три его стороны?

Необходимым и достаточным условием существования треугольника является выполнение следующих неравенств:

a+b>c, a+c>b, b+c>a, (a>0, b>0, c>0),

где a, b и с — длины сторон треугольника.

Другими словами, треугольник существует тогда и только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей стороны.

Условие существования треугольника можно представить в следующем виде: пусть a b c стороны треугольника. Тогда, что бы треугольник существовал необходимо, что бы сумма двух любых его сторон была больше третьей стороны a+b>c или a+c>b или b+c>a (если сумма будет равна какой-либо стороне, то такой треугольник называется вырожденным). Рассмотрим пример: пусть дан треугольник со сторонами 3, 6, 5. Возьмём две любые стороны, например, 3 и 6. Проверим условие существования: 3+6=9>5, следовательно треугольник существует.

Так же условие сущесвтвования треугольника можно представить в виде векторной суммы. Пусть вектора a b c задают стороны треугольника(и эти вектора не равны нуль-вектору), тогда треугольник существует, если векторная сумма a+b+c=0.

Треугольник. Числовые зависимости между элементами треугольника (сторон, высот, медиан).

Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н.э.) и носит поэтому его имя — теорема Пифагора.

В треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.

Пусть BС — сторона треугольника ABС (черт. 1 и черт. 2), лежащая против острого угла A , и BD — высота опущенная на какую-либо из остальных сторон, например, на AС (или на ее продолжение).Требуется доказать, что:

Из прямоугольных треугольников BDС и ABD выводим:

Подставив в равенство [1] вместо BD 2 и DС 2 их выражения из равенств [2] и [3] , получим:

Это равенство, после сокращения членов -AD 2 и +AD 2 , и есть то самое, которое требовалось доказать.

Замечание. Доказанная теорема остается верной и тогда, когда угол С прямой. Тогда отрезок СD обратится в ноль, т.е. AС станет равна AD, и мы будем иметь:

Что согласуется с теоремой о квадрате гипотенузы.

Теорема.

В треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенных с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок ее продолжения от вершины тупого угла до высоты. Доказательство аналогично предыдущему.

Следствие.

Из трех последних теорем выводим, что квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.

Отсюда следует обратное предложение: Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат противолежащей стороны равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон.

Вычисление высоты треугольника по его сторонам.

Обозначим высоту, опущенную на сторону а треугольника ABС , через h_a. Чтобы вычислить ее, предварительно из уравнения:

находим отрезок основания с’:

.

После чего из DABD определяем высоту, как катет:

.

Таким же путем можно определить высоты h_b и h_с , опущенные на стороны b и с.

Вычисление медиан треугольника по его сторонам.

Пусть даны стороны треугольника ABС и требуется вычислить его медиану BD. Для этого продолжим ее на расстояние DE = BD и точку E соединим с A и С. Тогда получим параллелограмм ABCE.

Тогда .