Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве
Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.
Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.
Метод координат для определения расстояния
Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
- Определить координаты точек \(М_1\) и \(М_2\) , лежащих соответственно на прямых a и b.
- Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
- Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) .
- Записать общее уравнение плоскости: \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: \(x\times\cos\left(\alpha\right)+y\times\cos\left(\beta\right)+z\times\cos\left(\gamma\right)-p=0\) , где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а \(\cos\left(\alpha\right),\;\cos\left(\beta\right)\) и \(\cos\left(\gamma\right)\) — координаты единичного нормального вектора плоскости.
- Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: \(M_1H_1=\left|x_1\times\cos\left(\alpha\right)+y_1\times\cos\left(\beta\right)+z_1\cos\left(\gamma\right)-p\right|\) , где \(x_1\) ,\(y_1\) и \(z_1\) — координаты точки \(M_1\) , лежащей на прямой a, а \(H_1\) — точка, лежащая на искомой плоскости.
Примеры задач с решением
Задача 1
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром равным \(\sqrt<32>\) см. Найти расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .
Решение
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Так как \(DD_1\parallel CC_1\) , плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(СС_1\) .
Сначала нужно доказать, что \(CO\) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (так как ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Получается, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, \(CO\perp(B_1D_1D)\) .
\(AC\) — диагонально квадрата — равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt<32>\times\sqrt2=\sqrt<64>=8\) см. Следовательно, \(CO=\frac12\times AC=4\) см.
Задача 2
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:
А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:
Вычислить расстояние между заданными прямыми.
Решение
Прямая a проходит через точку \(M_1(-2, 1, 4)\) и имеет направляющий вектор \(\overrightarrow a=(0, 2, -3)\) . Прямая b проходит через точку \(M_2 (0, 1, -4)\) , а ее направляющий вектором является вектор \(\overrightarrow b=(1, -2, 6)\) .
Найдем векторное произведение векторов \( \overrightarrow a=(0, 2, -3)\) и \(\overrightarrow b=(1, -2, 6): \left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]=\begin
Так, \(\overrightarrow n=\left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]\) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).
Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_2(0, 1, -4)\) и имеющей нормальный вектор \(\overrightarrow n=(6, -3, -2)\) :
Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости \(6x-3y-2z-5=0\) равен \ \(frac1<\sqrt<6^2+<(-3)>^2+<(-2)>^2>>=\frac17\) . Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0\) .
Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки \(M_1(-2, 1, 4)\) до плоскости \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0: \left|M\_1H\_1\right|=\left|\frac67\times(-2)-\frac37\times1-\frac27\times4-\frac57\right|=\left|\frac<-28>7\right|=4\) см.
Как найти расстояние d1b b1c
И в двумерном и трехмерном случаях мы можем использовать векторное произведение для вычисления дистанции от точки P до прямой L, заданной точками P1 и P2.
Двумерный случай сводится к трехмерному подстановкой z=0.
Основное наблюдение, которое мы должны сделать — это заметить факт, что величина векторного произведения двух 3-мерных векторов равна площади параллелограма, построенного на них.
Однако эта площадь также равна произведению основания на высоту параллелограмма, а длина высоты — искомая дистанция d(P,L). Пусть vL=P0P1=(P1-P0) и w=P0P=(P-P0) как показано на рисунке:
Тогда |vLЧ w| = Area( parallelogram(vL,w) ) = |vL| d(P,L) что дает простую формулу:
единичный вектор направления L. Если мы хотим вычислить расстояние от большого числа точек точек до фиксированной прямой, то наиболее рациональным будет предварительно вычислить uL.
Для 2D случая при P=(x,y,0), векторное произведение будет:
и формула для расстояния:
Мы не ставили знак абсолютной величины при числителе, так как часто полезно такое расстояние, со знаком, показывающим расположение точки по отношению к прямой. Если же взять модуль этого выражения, то получим расстояние в обычном смысле слова.
В двумерном пространстве часто встречаются ситуации, когда прямую L задана уравнением f(x,y) = ax+by+c = 0. Для любой точки P=(x,y) расстояние d(P,L) может быть получено прямо из уравнения.
Я дам просто формулу, доказательство ее можно найти в любом учебнике
| (ax+by+c) | |
| d(P,L) = | ————————- |
| КОРЕНЬ( a 2 +b 2 ) |
Если же мы предварительно нормализуем уравнение: разделим его коэффициенты на КОРЕНЬ( a 2 +b 2 ), тогда знаменатель будет равен 1, и получится очень эффективная формула
требующая всего 2 операции произведения и 2 сложения для каждой точки. Если же требуется просто сравнить расстояния, то нормализация не нужна, так как знаменатель будет одинаковый для рассматриваемых точек.
Для вычисления расстояния d(P,L) (в любом n-мерном пространстве) от произвольной точки P до прямой L, заданной параметрическим уравнением, положим P(b) — основание перпендикуляра, опущенного из P на L. Пусть параметрическое уравнение прямойs: P(t)=P0 + t (P1-P0). Тогда вектор P0P(b) является проекцией вектора P0P на отрезок P0P1, как показано на рисунке:
где uL — единичный вектор направления L.
Такой путь вычисления имеет то преимущество, что он работает в n-мерном пространстве и, кроме того, дает нам основание перпендикуляра P(b). В трехмерном пространстве он также эффективен, как и векторное произведение. Но в двумерном, где P(b) не нужна, особенно при большом количестве точек и одной линии, более удобен предыдущий способ, использующий другое уравнение прямой.
Луч(Ray) можно задать параметрически как P(t) для всех t>=0 и P(0)=P0 — для начальной точки. Отрезок(Segment) между точками P0 и P1 может быть задан в виду параметрического уравнения с P(0)=P0 и P(1)=P1 при 0<=t<=1.
Вычисление расстояния в этих случаях отличается от вышеописанного, так как основание перпендикуляра P(b) из P на продолженную прямую L может не лежать на луче/отрезке. В этом случае кратчайшим расстоянием будет дистанция от P до начальной точки луча или одной из начальных точек отрезка.
Для луча есть лишь один вариант, в то время как для отрезка следует решить, какой конец ближе к P. Можно вычислить оба расстояния и сравнить, однако это малоэффективно. Кроме того, нужно определить, лежит ли основание перпендикуляра вне отрезка. Простой путь решения заключается в том, чтобы рассмотреть углы между отрезком P0P1 и векторами P0P и P1P. Если один из них равен 90 градусам , то соответствующая точка — основание перпендикуляра P(b). В случае, когда угол другой, основание перпендикуляра лужит по одну или другую сторону точки, в зависимости от того, острый угол или тупой. Эти условия легко проверить, вычисляя скалярные произведения наших векторов и проверяя его знак: +, — или 0. Результат определит, как искать расстояние: как до одной из точек P0 или P1, или как расстояние до прямой L. Этот путь, работающий в любом n-мерном пространстве, показан на рисунке (obtuse — тупой, acute — острый):
Далее заметим, что две проверки можно сделать, используя только два скалярных произведения: w0·v и v·v, которые являются числителем и знаменателем формулы для нахаждения параметризованного основания перпендикуляра от P до продолженной за отрезок S прямой L. Это позволяет упростить алгоритм:
Если в двумерном случае нужно вычислить расстояние для большого числа точек и одного луча/отрезка, то все же более эффективным будет использовать нормализованное уравнение прямой для начального теста — какую дистанцию брать. Подобные детали, как правило, зависят от конкретной задачи.
ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 17
В единичном кубе $A. D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$. 
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать: