§19.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования
Пусть $\lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Мы уже имели раньше такое определение.
Определение 1. Вектор $x ≠ 0$ называется собственным вектором преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если
$$ Ax = \lambda_0 x, \text <т. е.>(A — \lambda_0 E) x = 0. \qquad (1)$$
Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном $\lambda_0$. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства $R.$
Мы обозначим его $ N_<\lambda_0>^1.$ Легко видеть, что $ N_<\lambda_0>^1$ инвариантно относительно преобразования $A$ (проверьте!).
Заметим, что подпространство $ N_<\lambda_0>^1$ состоит из всех собственных векторов преобразования $A,$ отвечающих собственному значению $\lambda_0,$ к которым добавлен ещё нулевой вектор.
Определение 2. Вектор $x$ называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если вектор
$$ y = (A-\lambda_0 E)x $$
является собственным вектором преобразования $A.$
Пусть $\lambda_0$ — собственное значение преобразования $A.$
Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов $x$, для которых выполнено условие
$$ (A-\lambda_0 E)^2 x = 0, \qquad (2)$$
т. е. ядро преобразования $(A-\lambda_0 E)^2.$ Обозначим это подпространство $ N_<\lambda_0>^2$ является инвариантным подпространством пространства $R.$ В самом деле, пусть $x \in N_<\lambda>^2$, т. е. $ (A — \lambda_0 E)^2 x = 0.$ Нам надо доказать, что и вектор $ Ax \in N_<\lambda_0>^2,$ т. е. что $(A — \lambda_0 E)^2 Ax = 0.$ Но преобразование $A$ перестановочно с $(A — \lambda_0 E)^2, $ т. е.
$$ (A — \lambda_0 E)^2 Ax = A(A — \lambda_0 E)^2 x = 0. $$
Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства $ N_<\lambda_0>^2.$ В нем есть векторы двух типов.
Если $ x \in N_<\lambda_0>^1,$ т. е. $(A — \lambda_0 E) x = 0,$ то подавно и $ (A — \lambda_0 E)^2 x = 0,$ т. е. $ x \in N_<\lambda_0>^2.$ Таким образом, $ N_<\lambda_0>^1$ целиком содержится в $ N_<\lambda_0>^2.$ Если $ x \in N_<\lambda_0>^2,$ но $ x \overline <\in>N_<\lambda_0>^1,$ т. е.
$$ (A — \lambda_0 E) x ≠ 0, \\
(A — \lambda_0 E)^2 x = 0,$$
то $x$ — присоединенным вектор 1-го порядка. Действительно, в этом случае $ y = (A — \lambda_0 E)x$ есть собственный вектор.
Таким образом, подпространство $ N_<\lambda_0>^2$ получается, если к подпространству $ N_<\lambda_0>^1$ добавить присоединенные векторы 1-го порядка.
Аналогично вводим подпространство $ N_<\lambda_0>^k$, состоящее из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A — \lambda_0 E)^k x = 0. \qquad (3)$$
Это подпространство инвариантно относительно преобразования $A.$ Ясно, что подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ содержит предыдущее подпространство $ N_<\lambda_0>^<(k-1)>.$
Определение 3. Вектор $x$ называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор
$$ y = (A — \lambda_0 E) x $$
есть присоединенным вектор порядка $k-1$.
По индукции можно показать, что если $x$ — присоединенным вектор k-го порядка, то
$$ (A — \lambda_0 E)^k x ≠ 0, \\
(A — \lambda_0 E)^
Другими словами, присоединенным вектором k-го порядка называется вектор, принадлежащий $ N_<\lambda_0>^
Пример. Пусть $R$- пространство многочленов степени $ \leqslant n -1$ и преобразование $ A$ — дифференцирование:
$$ AP (t) = <
Легко видеть, что $ \lambda = 0$ есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор $P(t) = const.$ Найдем для этого преобразования подпространства $ N_0^k$. По определению $N_0^k$ состоит из всех многочленов $P(t),$ для которых $A^k P(t) = 0,$ т. е.
$$ <
Это будут все многочлены, степень которых не превышает $k-1$. Присоединенным векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна $k-1$.
В этом примере размерность каждого из подпространств равна $ N_0^k$ и она растет от 1 до $n$ вместе с ростом $k$. Подпространство $N_0^n$ уже совпадает со всем пространством $R,$ и если мы захотим определять $ N_0^
Легко видеть также, что в этом примере $ AN_0^
Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования $A$ имеет место равенство
$$ (A — \lambda_0 E) N_<\lambda_0>^
Пусть $A$ — линейное преобразование, а $ \lambda_0$- его собственное значение. Покажем, что подпространства $ N_<\lambda_0>^1, N_<\lambda_0>^2, . $ сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера $ p \leqslant n,$ этот рост прекращается, т. е.
$$ N_<\lambda>^p = N_<\lambda_0>^
Мы уже показали, что каждое подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ содержит $ N_<\lambda_0>^
Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то $ p \leqslant n$ мы впервые получим, что $ N_<\lambda_0>^p = N_<\lambda_0>^
Докажем, что в этом случае $ N_<\lambda_0>^
Действительно, предположим противное, а именно, что $ N_<\lambda_0>^
,$ но для некоторого $ i > 0$ подпространство $ N_<\lambda_0>^
$$ x \in N_<\lambda_0>^
Это значит, что
$$ (A — \lambda_0 E)^
Обозначим через $y$ вектор $ y = (A — \lambda_0 E)^i x.$ Тогда первое из равенств (4) означает, что $ y \in N_<\lambda_0>^
Итак, пусть $ \lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства $ N_<\lambda_0>^p, $ состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.
Кроме того, в п. нам понадобится более детальная структура $ N_<\lambda_0>^p.$ А именно, обозначая через $N_<\lambda_0>^k$ подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка $ \leqslant k -1,$ мы получили возрастающую цепочку инвариантн ых подпространств
$$ 0 \in N_<\lambda_0>^1 \in N_<\lambda_0>^2 . \in N_<\lambda_0>^p. \qquad \qquad (5)$$
Все члены цепочки различны. Подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ состоит при этом из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A — \lambda_0 E)^k x = 0, $$
т. е. это есть ядро преобразования $(A — \lambda_0 E)^k.$
Преобразование $ A — \lambda_0 E$ переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.
матрица — Присоединенный вектор
Здравствуйте! Есть матрица A
4 6 -15
1 3 -5
1 2 -4
У неё собств значение, равное 1, кратности три.
Решая (A-E)X=0 находим два собств вектора: a=(-2 1 0) и b=(5 0 1)
Как найти присоединенные? Какой из данных собственных выбирать?
Да и вообще, проблема в том, что ни одна из систем (A-E)X=a и (A-E)X=b не является совместной.
задан 5 Ноя ’18 0:11
1 ответ
Присоединённый ищется к некоторому собственному вектору из подпространства, образованного двумя найденными векторами. то есть решаете систему $$ (A-\lambda E)h = \alpha \begin
отвечен 5 Ноя ’18 0:36
@all_exist, спасибо Почему тогда когда собственный вектор один, то мы ищем ровно в том виде, к-ыы записан выше? То есть в ваших обозначениях полагая альфа единицей
@all_exist, не подскажете ещё, пожалуйста, где почитать теорию по этому? На первой странице поиска «присоединённый вектор» во всех ссылках не нашлось той формулы, которую вы написали
@Ghosttown, ну, если собственное подпространство одномерно, то ищем присоединённый для единственного базисного вектора этого подпространства.
А если подпространство не одномерно, то не для всех векторов есть присоединённые. вот и ищите тот, для которого присоединённый есть.
По поводу «почитать про эту формулу». сейчас более модно рассматривать ядро оператора $%(A-\lambda E)^2$%. а потом восстанавливать требуемый собственный вектор.
Пример 15.39. Найти базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей
Если – собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:
то вектор , называется i-мприсоединенным вектором к собственному вектору линейного оператора .
Теорема 15.9. Пусть – линейное пространство над полем . Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю , то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора , причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения.
Выберем в пространстве какой-либо базис и обозначим матрицу линейного оператора в этом базисе, – координатные столбцы векторов соответственно в том же базисе. Для нахождения присоединенных векторов следует решить систему линейных уравнений
Таким образом, получаем следующее
Правило нахождения присоединенных векторов. 1.Находим собственные значения матрицы , решая ее характеристическое уравнение.
2. Для всех собственных значений находим собственные векторы , решая однородную систему . Число линейно независимых собственных векторов с собственным значением равно , где – размерность линейного пространства (или порядок матрицы ). Если собственное значение имеет кратность , то общее количество присоединенных векторов, соответствующих всем собственным векторам с этим собственным значением, равно .
3. Для каждого из найденных собственных векторов находим присоединенные к ним (если они существуют). Из (15.19) видно, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов для отыскания первого присоединенного берется координатный столбец соответствующего собственного вектора, а для всех последующих – координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.
Пример 15.39. Найти базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей .
►Решаем задачу по плану, приведенному в начале параграфа.
1. Ищем собственные значения:
Характеристическое уравнение имеет единственный корень , кратность которого равна 3.
2. Определяем количество собственных и присоединенных векторов:
. Значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных к нему. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .
В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение .
3. Находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (15.20) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов (только этот столбец!) по намеченным стрелкам:
Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (15.21): . Чтобы найти второй, дописываем к цепочке (15.20) еще и координатный столбец вектора в качестве столбца свободных членов и пересчитываем его по намеченным стрелкам (опять же только этот столбец):
по полученной матрице выписываем систему, не обращая внимания на предыдущий столбец свободных членов:
Частное решение системы (15.22) и будет вторым присоединенным вектором: .
Итак, искомый базис: – собственный; – 1-й присоединенный; – 2-й присоединенный векторы. ◄
Замечания. 1. В данном случае собственный вектор можно найти и при помощи алгебраических дополнений. Но это невыгодно, так как все равно придется решать систему для отыскания присоединенных векторов.
2. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам. Конечно, можно каждую из систем решать отдельно, но приведенный метод позволяет проводить вычисления гораздо быстрее.
3.Приведенный метод решения систем позволяет быстро обнаружить допущенную ошибку: при верном решении во всех системах пропорциональными оказываются одни и те же строки.
4. Искомый базис строится неоднозначно. Если вы нашли какой-то собственный вектор, то любой коллинеарный ему также будет собственным с тем же самым собственным значением. Для присоединенных векторов это утверждение неверно. Если вас по каким-либо причинам найденный присоединенный вектор не устаивает (например, имеет дробные координаты), то изменить его вы можете, только придав свободным неизвестным другие значения.
Пример 15.40. Найти базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей , если
►Ищем собственные значения:
Находим собственные векторы:
, , значит, в искомом базисе два собственных вектора и у одного из них есть присоединенный. Общее решение однородной системы с матрицей (15.23): . Придавая свободным неизвестным значения, как обычно, по строкам единичной матрицы, получаем два линейно независимых собственных вектора и . Если выбрать в качестве столбца свободных членов координатный столбец одного из найденных собственных векторов, получим систему с расширенной матрицей
Очевидно, обе эти системы несовместны. Это говорит о том, что мы неправильно выбрали собственные векторы. В рассматриваемом случае получилась целая плоскость собственных векторов, а присоединенные есть только у векторов одного направления. Чтобы выбрать подходящий собственный вектор, в качестве столбца свободных членов берем общее решение однородной системы:
Свободным неизвестным подбираем такие значения, чтобы получилась совместная неоднородная система, например, . В этом случае первым вектором в базисе будет собственный , для отыскания присоединенного к нему из последней системы получаем уравнение , одним из частных решений которого будет (присоединенный вектор). Третьим вектором в искомом базисе следует взять еще один собственный вектор, т.е. еще одно частное решение однородной системы. Чтобы гарантировать линейную независимость векторам и , в общем решении системы свободным неизвестным следует придать значения по строкам любой невырожденной матрицы. Для нахождения мы уже использовали строку , вторая строка выбирается произвольно, лишь бы матрица получилась невырожденная. Возьмем, к примеру, строку . Тогда .
Итак, искомый базис: – собственный; – присоединенный к нему; – собственный.◄