Как найти отношение площадей кругов

Площадь круга, сектора

Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние — друг с другом хордами.

Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339).

Площадь каждого треугольника равна ah /₂, где а — основание его, h — высота.

Обозначив через S&#146 сумму площадей всех полученных треугольников, получим формулу:

Сумма площадей всех треугольников (S&#146) весьма близка к площади круга (S), сумма оснований всех треугольников (an) весьма близка к длине окружности (C), а высота (h) каждого треугольника весьма близка к радиусу (r) круга.

Если пренебречь незначительными различиями в размерах, то получим формулу площади круга:

После преобразования получим \( S_ <кр>= \frac<2\pi r \cdot r> <2>\), или S_кр = π r 2 ; а обозначив через D диаметр круга, получим:
$$ S_ <кр>= \frac<\pi D^2> <4>$$

Примечание. В формуле \(S_ <кр>= \frac<2>\) поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах доказывается, что равенство \(S_ <кр>= \frac<2>\) не приближённое, а точное.

Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник.

Пусть площадь этого многоугольника будет q, периметр — р, апофема — а.

По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:

Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину C окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /₂С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:

т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Так как С = 2πR, то

т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.

Действительно, если K и K₁ будут площади двух кругов, a R и R₁ — их радиусы, то

Площадь сектора

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На чертеже 340 сектор AOB заштрихован.

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Получаем формулу:
$$ S = \frac<\pi r^2 n> <360>$$ где S — площадь сектора.

Почему площади кругов относятся как квадраты их радиусов?

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

—->Площади кругов относятся как квадраты их радиусов<—-

Поскольку радиус большего круга в 5 раза больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга в 25 раз больше площади меньшего. Следовательно, она равна 300. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 300 − 12 = 288.
(P.S) Мне в гугле выдало только Киселёва, но там ничего не понял, а в моём учебнике нету, давно было.

Существует квадрат со стороной 2R, в который вписывается круг радиусом R.
При этом круг всегда занимает конкретную долю площади квадрата, равную п/4.

Площадь квадрата равна произведению его сторон:
Sкв = 2R • 2R = 4R²

Площадь круга равна известной доле от площади квадрата:
Sкр = п/4 • Sкв = п/4 • 4R² = пR²

Итак, мы видим, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса.