Как найти острый угол параллелограмма

Найти острый угол параллелограмма

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

Формулы соотношения острого и тупого углов:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 05 ноября 2011 Обновлено: 13 августа 2021

Как найти острый угол параллелограмма?

Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
2. Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
3. Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
4. Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
5. Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
   • d₁ 2 + d₂ 2 = 2 (a 2 +b 2 ), где d₁ и d₂ — диагонали, a и b — смежные стороны.
7. Косинус тупого угла всегда меньше нуля.

Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.

Нахождение углов параллелограмма

Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.

Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.

Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:

• 180°-120°= 60°

А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D — углу B. А следовательно они попарно им равны.

• Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известны длины сторон и диагонали

В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.

Для острого угла формула такая:

• cosa = (А² + В² — d²) / (2 * А * В), где
• а — это искомый острый угол,
• А и В — стороны параллелограмма,
• d — меньшая диагональ

Для тупого угла формула немного меняется:

• cosß = (А² + В² — D²) / (2 * А * В), где
• ß — это тупой угол,
• А и В — стороны,
• D — большая диагональ

Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см

Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:

cosa = (6 2 + 3 2 — 5.2 2 ) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 — 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36

8.1.3. Свойство углов и сторон параллелограмма

Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.

∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.

∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.

Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.

Так как у параллелограмма имеется 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда ∠C =∠A = 70°.

Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.

Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.

х = 180 : 4;

Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,

∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Проведем диагональ BD и рассмотрим Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условию. Сторона BD – общая. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD).

Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.