пространство — Написать систему линейных уравнений, задающих ортогональное дополнение
Найдем решение системы 3х уравнений, для этого первое уравнение умножим на $%-2$% и прибавим к третьему, второе уравнение умножим на $%-1$% и прибавим к первому; затем второе умножим на $%3$% и прибавим к третьему, получим $%x_1+3x_3+x_4-2x_5=0, x_2-3x_3+x_5=0$%, откуда $%x_1=-3x_3-x_4+2x_5,x_2=3x_3-x_5$%. Общий вектор-решение системы есть $%(-3x_3-x_4+2x_5;3x_3-x_5; x_3;x_4;x_5)$%, где $%x_3;x_4;x_5$% — любые действительные. Возьмем линейно независимые значения $%x_3=1;x_4=0;x_5=0$%, $%x_3=0;x_4=1;x_5=0$%,$%x_3=0;x_4=0;x_5=1$%, получим фундаментальную систему решений однородной СЛР $%(-3;3;1;0;0); (-1;0;0;1;0); (2;-1;0;0;1)$%. Для того, чтобы было ОРТОГОНАЛЬНОЕ дополнение, скалярное произведение должно быть: $%(x \cdot a)=0$%. а потому ответ такой $%-3x_1+3x_2+1x_3=0; -1x_1+1x_4=0; 2x_1-1x_2+1x_5=0.$%
отвечен 26 Июн ’15 18:22
@Lyudmyla как мы взяли линейно-независимые значения?
Одной переменной присваивается значение 1, а всем остальным 0.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая
Пусть V – евклидово пространство со скалярным произведением (x,y), W – подпространство V.
Множество всех векторов x, ортогональных всем векторам из W, которое обозначим , называется ортогональным дополнением к подпространству W. Опишем свойства ортогонального дополнения.
Свойство 2.3. — линейное подпространство V.
Доказательство. Пусть , тогда справедливы равенства и . Из этих равенств выводим равенства и , то есть . Тем самым свойство доказано.
Доказательство. Построим ортогональный базис подпространства W и дополним его до ортогонального базиса всего пространства V. Векторы ортогональны векторам , а, значит и любому вектору из W. Следовательно, векторы принадлежат ортогональному дополнению к W. Разложим произвольный вектор x по базису и положим , . Поскольку x=y+z и , , то установлено равенство .
Покажем, что сумма прямая. Пусть , тогда (x,x)=0 как скалярное произведение вектора из W на вектор из ортогонального дополнения к W. Единственный вектор нулевой длины равен 0, и, значит, пересечение содержит только нулевой вектор и сумма прямая.
Доказательство вытекает из свойства прямой суммы подпространств.
Любой вектор x пространства V можно представить в виде суммы вектора y из подпространства W и вектора z из , причем векторы y и z определяются единственным образом. Вектор y называется ортогональной проекцией x на W и обозначается , а вектор z – ортогональной составляющей вектора x и обозначается . О способах построения ортогональной проекции и ортогональной составляющей будет разговор в п.2.6.
Доказательство. Применив Следствие 2.4, получим . Пусть x – произвольный вектор из W. Поскольку для произвольного вектора скалярное произведение (x,y)=0, то . Тем самым показано включение , из которого, в силу совпадения размерностей, выводим равенство .
Пусть базис W. Вектор z принадлежит ортогональному дополнению к W тогда и только тогда, когда , , …, . Пусть базис пространства V. В координатах, эти равенства превращаются в систему линейных уравнений . Взяв в качестве W ортогональное дополнение к нему, получим следующее утверждение.
Свойство 2.6. Любое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений.
В случае, если базис ортонормированный, коэффициентами при неизвестных в системе линейных уравнений являются координаты базисных векторов ортогонального дополнения.