Деление с остатком
Онлайн калькулятор определит остаток от деления чисел, поможет проверить себя при решении уроков и примеров на деление. Деление с остатком (деление по модулю) — это арифметическая операция, в результате выполнения которой получается два целых числа: неполное частное и остаток от деления.
Остаток всегда должен быть меньше делителя. Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Деление с остатком
Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?
Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.
На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.
Как это записать?
Как сделать проверку?
Правило 1
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Правило 2
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
остаток 3 < делимого 5
остаток 2 < делимого 4
Правило 3
Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.
Порядок решения
1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
Деление целых чисел с остатком: правила, примеры
Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.
Общее представление о делении целых чисел с остатками
Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.
Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b , отличное от нуля. Если b = 0 , тогда не производят деление с остатком.
Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b , при b отличном от нуля, на c и d . В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.
Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b . Запишем таким образом: 0 ≤ d ≤ b . Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.
Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b , кратко можно зафиксировать: a : b = c (ост. d ).
Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.
Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.
Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.
Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.
При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a , которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину частного с . Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.
Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: ( − 7 ) : 2 = − 4 ( о с т . 1 ) .
Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a = b · c + d . Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a = b · q + r , где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0 ≤ r ≤ b .
Докажем возможность существования a = b · q + r .
Если существуют два числа a и b , причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что имеется число q , что будет верно равенство a = b · q . Тогда равенство можно считать верным: a = b · q + r при r = 0 .
Если посчитать, что b – целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b · q не было больше значения числа а , а произведение b · ( q + 1 ) было больше, чем a .
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b · q < a < b · ( q + 1 ) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Имеем, что значение выражения a − b · q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r = a − b · q . Получим, что число а можем представить в виде a = b · q + r .
Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a = b · q + r для отрицательных значений b .
Модуль числа получается положительным, тогда получим a = b · q 1 + r , где значение q 1 – некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0 ≤ r < b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Доказательство единственности
Допустим, что a = b · q + r , q и r являются целыми числами с верным условием 0 ≤ r < b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 и r 1 являются некоторыми числами, где q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1 < b .
Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0 = b · ( q − q 1 ) + r − r 1 , которое равносильно r — r 1 = b · q 1 — q . Так как используется модуль, получим равенство r — r 1 = b · q 1 — q .
Заданное условие говорит о том, что 0 ≤ r < b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r — r 1 < b . Имеем, что q и q 1 – целые, причем q ≠ q 1 , тогда q 1 — q ≥ 1 . Отсюда имеем, что b · q 1 — q ≥ b . Полученные неравенства r — r 1 < b и b · q 1 — q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r — r 1 = b · q 1 — q невозможно в данном случае.
Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a = b · q + r .
Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком
При помощи равенства a = b · c + d можно находить неизвестное делимое a , когда известен делитель b с неполным частным c и остатком d .
Определить делимое, если при деление получим — 21 , неполное частное 5 и остаток 12 .
Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b = − 21 , неполным частным с = 5 и остатком d = 12 . Нужно обратиться к равенству a = b · c + d , отсюда получим a = ( − 21 ) · 5 + 12 . При соблюдении порядка выполнения действий умножим — 21 на 5 , после этого получаем ( − 21 ) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 .
Ответ: — 93 .
Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b = ( a − d ) : c , c = ( a − d ) : b и d = a − b · c . С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d = a − b · c . Рассмотрим решение подробно.
Найти остаток от деления целого числа — 19 на целое 3 при известном неполном частном равном — 7 .
Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d = a − b · c . По условию имеются все данные a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Отсюда получим d = a − b · c = − 19 − 3 · ( − 7 ) = − 19 − ( − 21 ) = − 19 + 21 = 2 (разность − 19 − ( − 21 ) . Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.
Ответ: 2 .
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.
Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.
Произвести деление 14671 на 54 .
Данное деление необходимо выполнять столбиком:
То есть неполное частное получается равным 271 , а остаток – 37 .
Ответ: 14 671 : 54 = 271 . (ост. 37 )
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.
Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному от деления модулей чисел a на b . Тогда остаток равен остатку при делении a на b .
Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.
- найти модули делимого и делителя;
- делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное и
- остаток;
- запишем число противоположное полученному.
Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Выполнить деление с остатком 17 на — 5 .
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на — 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3 , а остаток равен 2 .
Получим, что искомое число от деления 17 на — 5 = — 3 с остатком равным 2 .
Ответ: 17 : ( − 5 ) = − 3 (ост. 2 ).
Необходимо разделить 45 на — 15 .
Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15 , получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем — 3 , так как деление производилось по модулю.
45 : ( — 15 ) = 45 : — 15 = — 45 : 15 = — 3
Ответ: 45 : ( − 15 ) = − 3 .
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.
Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b , нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1 , тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d = a − b · c .
Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:
- найти модули делимого и делителя;
- делить по модулю;
- записать противоположное данному число и вычесть 1 ;
- использовать формулу для остатка d = a − b · c .
Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.
Найти неполное частное и остаток от деления — 17 на 5 .
Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3 , а остаток 2 . Так как получили 3 , противоположное — 3 . Необходимо отнять 1 .
Искомое значение полчаем равное — 4 .
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , тогда d = a − b · c = − 17 − 5 · ( − 4 ) = − 17 − ( − 20 ) = − 17 + 20 = 3 .
Значит, неполным частным от деления является число — 4 с остатком равным 3 .
Ответ: ( − 17 ) : 5 = − 4 (ост. 3 ).
Разделить целое отрицательное число — 1404 на положительное 26 .
Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.
Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное = — 54 .
Ответ: ( − 1 404 ) : 26 = − 54 .
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b , необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1 , тогда сможем произвести вычисления по формуле d = a − b · c .
Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.
Сформулируем данное правило в виде алгоритма:
- найти модули делимого и делителя;
- разделить модуль делимого на модуль делителя с получением неполного частного с
- остатком;
- прибавление 1 к неполному частному;
- вычисление остатка, исходя из формулы d = a − b · c .
Данный алгоритм рассмотрим на примере.
Найти неполное частное и остаток при делении — 17 на — 5 .
Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное = 3 , а остаток равен 2 . По правилу необходимо сложить неполное частное и 1 . Получим, что 3 + 1 = 4 . Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4 .
Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a = − 17 , b = − 5 , c = 4 , тогда, используя формулу, получим d = a − b · c = − 17 − ( − 5 ) · 4 = − 17 − ( − 20 ) = − 17 + 20 = 3 . Искомый ответ, то есть остаток, равен 3 , а неполное частное равно 4 .
Ответ: ( − 17 ) : ( − 5 ) = 4 (ост. 3 ).
Проверка результата деления целых чисел с остатком
После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0 ≤ d < b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Рассмотрим на примерах.
Произведено деление — 521 на — 12 . Частное равно 44 , остаток 7 . Выполнить проверку.
Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен — 12 , значит, его модуль равен 12 . Можно переходить к следующему пункту проверки.
По условию имеем, что a = − 521 , b = − 12 , c = 44 , d = 7 . Отсюда вычислим b · c + d , где b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.
Выполнить проверку деления ( − 17 ) : 5 = − 3 (ост. − 2 ). Верно ли равенство?
Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный — 2 . Остаток не является отрицательным числом.
Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.
Ответ: нет.
Число — 19 разделили на — 3 . Неполное частное равно 7 , а остаток 1 . Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.
Дан остаток, равный 1 . Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.
Вычислим значение выражения b · c + d . По условию имеем, что b = − 3 , c = 7 , d = 1 , значит, подставив числовые значения, получим b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Следует, что a = b · c + d равенство не выполняется, так как в условии дано а = — 19 .