Координаты вектора в базисе
В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).
4.3.3 Формулы перехода от одного базиса к другому
Очевидно, что в одном и том же пространстве можно выбрать множество базисов. Пусть в 
выбрано два базиса 
и 
.
Векторы базиса 
могут быть выражены через векторы базиса 
:
(4)
Матрица 
называется матрицей перехода от базиса к базису . В ее столбцах записаны координаты векторов 
относительно базиса 
.
Соотношения (4) называются формулами перехода от базиса к базису . Их можно записать в матричной форме:
, отсюда 
.
Пусть вектор 
задан своими координатами относительно базиса – 
, а относительно базиса – 
. Тогда
и 
. (5)
Пример 4. Относительно базиса 
, 
, 
даны четыре вектора 
, 
, 
и 
. Векторы 
можно принять за базис в 
. Найти координаты вектора в базисе 
.
Решение. Матрица перехода от базиса 
к базису имеет вид 
. Обозначим координаты вектора в базисе через 
. Согласно формулам (5), имеем:
. Находим 
: 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
.
Проверка: 
;
;
или 
.
Анал_Геом / Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в 
-мерном линейном пространстве 
выбран базис 
, который мы будем для удобства называть «старый» и другой базис 
, который мы будем называть «новый». Возьмем призвольный вектор 
из 
. Его координатный столбец в старом базисе обозначим 
, а в новом — 
. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно «связать» друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть 
.
Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
где справа стоит произведение матрицы перехода 
на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как 
— координатный столбец вектора 
в новом базисе, то
Заменив векторы 
их разложениями по старому базису, получим
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
Здесь мы получили разложение вектора 
по старому базису, причем координата вектора с номером 
равна 
. Элемент с номером 
столбца 
будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.
Пример 18.4 Пусть 
, то есть 
— трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
Возьмем вектор 
. Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы — это координаты новых базисных векторов
Пусть 
— координатный столбец вектора 
в новом базисе. Тогда
Найдем матрицу 
по формуле (14.14). Находим определитель
Находим алгебраические дополнения
Находим координаты вектора
Таким образом, новые координаты вектора 
: 
, 
, 
, 
.
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты 
, 
, 
.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.