Как линеаризовать функцию

Дифференциальные уравнения. Линеаризация

Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.

Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при декомпозиции системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.

Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.

Однако такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.

Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.

Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке 1.17.

Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х₀, у₀) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рисунок 1.17), уравнение которой определяется по формуле

где и — частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения Dх = х — х₀ и Dу = у — у₀.

Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным ( , , и т.д.). Итоговое уравнение в приращениях будет содержать приращения производных: Dх’ = х’ – х’₀, Dх” = х” – х”₀, … , Dy’ = y’ – y’₀, Dy” = y” – y”₀, и т.д.

Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.

3xy — 4x 2 + 1,5 y = 5 + y

Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х₀ = 1, = 0, = 0. Для определения недостающего начального условия у₀ подставим данные значения в ДУ:

Введем в рассмотрение функцию

F = 3xy — 4x 2 + 1,5x’y — 5y’ — y

и определим все ее производные при заданных начальных условиях:

= (3у — 8х = 3*2 — 8*1 = -2,

= (3х + 1,5x’ — 1 = 3*1 + 1,5*0 — 1 = 2,

Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:

-5 . Dy’ + 2 . Dy + 3 . Dх’ — 2 . Dх = 0.

Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле

то есть в данном случае нет необходимости искать производные по у.

2.5 Преобразования Лапласа

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у — входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение — операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы s n , знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) — изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1 — Преобразования Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение X(s)
d-функция
t
t 2
t n
e — a t
a . x(t)	a . X(s)
x(t — a)	X(s) . e — a s
s n. X(s)

Таблица 1.2 — Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s)	Оригинал x(t)
a Î R, M Î R (a и М — действительные числа)	M . e — a t
a = a + j . w M = C + j . D (a и М – комплексные числа)	2 . e a *t. [C . cos(w . t) — D . sin(w . t)] для пары комплексных корней

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

где f(t) — оригинал, F(jw) — изображение при s = jw, j — мнимая единица, w — частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в [22, 23].

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f₁ имеет изображение F₁(s) (или более кратко f₁ « F₁(s) ), f₂ « F₂(s) и т.д., то

Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения:

f’(t) « s . F(s) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – для второй производной,

f ( n ) (t) « s n . F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t) « s . F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – для второй производной,

f (n) (t) « s n. F(s) – s n-1. f(0) — s n-2. f’(0) — … — f (n-1) (0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t) . e a × t « F(s — a).

Например, если 1(t) « (см. таблицу 1.1), то 1 . e a × t « .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t — t) « F(s) . e — t × s ,

где t — запаздывание по времени.

Например, если 1(t) « , то 1(t — t) « .

Теорема 5. Теорема интегрирования.

Теорема 6. О начальных и конечных значениях.

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

f_уст – конечное (значение в установившемся режиме).

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 — 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

— путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

— путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя s_i (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М_i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то ему ставится в соответствие k дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты M_i по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение M_i с помощью системы уравнений.

Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней s_i и коэффициентов M_i). Решение системы относительно M_i дает искомые коэффициенты.

Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s 3 + 5s 2 + 6s = 0 дает 3 корня: s₀ = 0, s₁ = -2 и s₂ = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s₁) = (s + 2) и (s – s₂) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби:

Далее дроби приводятся к общему знаменателю:

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12):

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

Второй вариант. Определение коэффициентов M_i по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида . Для определения M_i существуют формулы для каждого вида корней:

— Для нулевого корня s_i = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s . A₁(s); тогда коэффициент M_i можно определить как .

— Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) s_i:

где A’(s) – производная знаменателя по s.

Примечание — Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида s_i = a_i ± j×w_i , где a_i – действительныя часть корня, w_i – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: M_i = c_i ± d_i. То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным.

— Для корня s_i кратности k исходная дробь может быть представлена в виде

данному корню соответствуют k дробей вида

коэффициенты которых определяются по формуле

Пример. Декомпозиция дроби. Рассматривается та же дробь, имеющая три корня: s₀ = 0, s₁ = -2 и s₂ = -3.

Для корня s₀ = 0 имеем B(s) = 2 . s + 12, A₁(s) = s 2 + 5s + 6 ,

Для корня s₁ = -2 имеем A’(s) = 3 . s 2 + 10 . s + 6 и

Для корня s₂ = -3 имеем аналогично

Видно, что коэффициенты M_i, полученные разными методами, совпадают.¨

Пример.Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней.

Изображение выходного сигнала имеет вид

Корни знаменателя включают нулевой корень, действительный и пару комплексных корней: s₀ = 0; s₁ = — 2,54; s_2,3 = — 0,18 ± j*1,20.

Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей:

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам 1.1 и 1.2, имеет вид

y(t) = y₀(t) + y₁(t) + y_2,3(t) = M₀ + + 2 е a t [C . cos(w . t) — D . sin(w . t)],

где a и w — действительная и мнимая части пары комплексных корней s_2,3, C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов М₂ и М₃.

Для корней s_2,3 = -0,18 ± j*1,20:

y_2,3(t) =2 е -0,18t [-0,34 cos(1,20 t) — 0,24 sin(1,20 t)].

В итоге получаем оригинал:

y(t) = 0,85 – 0,18 е -2,54 t – 2 е -0,18 t [0,34 cos(1,20 t) + 0,24 sin(1,20 t)].¨

1 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ

В предыдущей главе мы познакомились с весьма удобным математическим аппаратом теории вероятностей — с аппаратом числовых характеристик. Этот аппарат во многих случаях позволяет находить числовые характеристики функций случайных величин (в первую очередь — математическое ожидание и дисперсию) по числовым характеристикам аргументов, оставляя совершенно в стороне законы распределения. Такие методы непосредственного определения числовых характеристик применимы главным образом к линейным функциям.

На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений.

Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции. Конечно, при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.

При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.

Рассмотрим, например, задачу внешней баллистики о движении центра массы снаряда. Дальность полета снаряда X определяется как некоторая функция условий стрельбы — угла бросания 9₀, начальной скорости v₀ и баллистического коэффициента с:

Функция (11.1.1) нелинейна, если рассматривать ее на всем диапазоне изменения аргументов. Поэтому, когда речь идет о решении основной задачи внешней баллистики, функция (11.1.1) выступает как нелинейная и никакой линеаризации не подлежит. Однако есть задачи, в которых такие функции линеаризуются; это — задачи, связанные с исследованием ошибок или погрешностей. Пусть нас интересует случайная ошибка в дальности полета снаряда X, связанная с наличием ряда случайных факторов: неточностью установки угла 9₀, колебаниями ствола при выстреле, баллистической неоднородностью снарядов, различными весами зарядов и т.д. Тогда мы зафиксируем определенные номинальные условия стрельбы и будем рассматривать случайные отклонения от этих условий. Диапазон таких случайных изменений, как правило, невелик, и функция ф, не будучи линейной во всей области изменения своих аргументов, может быть линеаризована в малой области их случайных изменений.

Метод линеаризации функций, зависящих от случайных аргументов, находит самое широкое применение в различных областях техники. Очень часто, получив решение задачи обычными методами «точных наук», желательно оценить возможные погрешности в этом решении, связанные с влиянием не учтенных при решении задачи случайных факторов. В этом случае, как правило, задача оценки погрешности успешно решается методом линеаризации, так как случайные изменения фигурирующих в задаче величин обычно невелики. Если бы это было не так, и случайные изменения аргументов выходили за пределы области примерной линейности функций, следовало бы считать техническое решение неудовлетворительным, так как оно содержало бы слишком большой элемент неопределенности.

Нелинейная функция. Метод линеаризации

Применительно к функции Z = cp (X , Х₂, . XJ, нелинейной относительно системы своих аргументов, решение задачи в сформулированной выше постановке может быть получено, как правило, лишь приближенно на основе метода линеаризации. Сущность метода линеаризации заключается в том, что нелинейную функцию заменяют некоторой линейной и затем по уже известным правилам находят числовые характеристики этой линейной функции, считая их приближенно равными числовым характеристикам нелинейной функции.

Сущность этого метода рассмотрим на примере функции одного случайного аргумента.

Если случайная величина Z является заданной функцией

случайного аргумента X, то ее возможные значения z связаны с возможными значениями аргумента х функцией того же вида, т. е.

(например, если Z = sin X, то z = sin X).

Разложим функцию (3.20) в ряд Тейлора в окрестности точки х = m , ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, и будем считать, что

—- значение производной функции (3.20) по аргументу х при х = т_х.

Такое допущение равносильно замене заданной функции (3.19) линейной функцией

На основе теорем о математических ожиданиях и дисперсиях получим расчетные формулы для определения числовых характеристик m_z ий в виде

Заметим, что в рассматриваемом случае стандартное отклонение а_г следует вычислять по формуле

(Модуль производной здесь берется потому, что она

может быть и отрицательной.)

Применение метода линеаризации для нахождения числовых характеристик нелинейной функции

произвольного числа случайных аргументов приводит к расчетным формулам для определения ее математического ожидания, имеющим вид

х₂, . х_п) по аргументам х. и х. соответственно, вычисленные с учетом знаков в точке ш_х, т^,т_Хп, т. е. путем замены всех входящих в них аргументов x_v х₂, . х_п их математическими ожиданиями.

Наряду с формулой (3.26) для определения дисперсии D_? можно использовать расчетную формулу вида

где г_х х— коэффициент корреляции случайных аргументов х.

Применительно к нелинейной функции независимых (или хотя бы некоррелированных) случайных аргументов формулы (3.26) и (3.27) имеют вид

Формулы, основанные на линеаризации нелинейных функций случайных аргументов, позволяют определять их числовые характеристики лишь приближенно. Точность вычисления тем меньше, чем больше заданные функции отличаются от линейных и чем больше дисперсии аргументов. Оценить возможную ошибку в каждом конкретном случае не всегда удается.

Для уточнения результатов, полученных по данному методу, может быть использован прием, основанный на сохранении в разложении нелинейной функции не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения (как правило, квадратичных).

Кроме того, числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов можно определять на основе предварительного отыскания закона ее распределения при заданном распределении системы аргументов. Однако нужно иметь в виду, что аналитическое решение такой задачи часто оказывается слишком сложным. Поэтому для нахождения числовых характеристик нелинейных функций случайных аргументов широко используется метод статистического моделирования.

Основой метода является имитация серии испытаний, в каждом из которых путем моделирования получается определенная совокупность х_и, x_2i, . x_ni значений случайных аргументов x_v х₂. х_п из множества, отвечающего их совместному распределению. Полученные значения с помощью заданного соотношения (3.24) преобразуются в соответствующие значения z. исследуемой функции Z. По результатам z_v z₂, . z., . z_k всех к таких испытаний искомые числовые характеристики вычисляются методами математической статистики.