12*x-2*x^2-13>=sqrt(3*y^2-24*y+73) (неравенство)
Дано неравенство:
$$- 2 x^ <2>+ 12 x — 13 \geq \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73>$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 2 x^ <2>+ 12 x — 13 = \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73>$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$- 2 x^ <2>+ 12 x — 13 = \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73>$$
в
$$- \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73> + — 2 x^ <2>+ 12 x — 13 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_ <1>= \frac <\sqrt
$$x_ <2>= \frac <- \sqrt
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 12$$
$$c = — \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73> — 13$$
, то
Уравнение имеет два корня.
или
$$x_ <1>= — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <1>= — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <1>= — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
Данные корни
$$x_ <1>= — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ <0>\leq x_<1>$$
Возьмём например точку
$$x_ <0>= x_ <1>— \frac<1><10>$$
=
=
$$- \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + \frac<29><10>$$
подставляем в выражение
$$- 2 x^ <2>+ 12 x — 13 \geq \sqrt <3 y^<2>— 24 y + 73>$$
Тогда
$$x \leq — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq — \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3 \wedge x \leq \frac<1> <4>\sqrt <- 8 \sqrt<3 y^<2>— 24 y + 73> + 40> + 3$$
Найдите все пары ( x y) , для которых выполняется неравенство
пожалуйста с подробным объяснением
Для начала дам одну удобную формулу для расчета ординаты вершины параболы через ее абсциссу, чтобы разбавить чем-нибудь интересным слишком скучную задачку. Можете показать своему учителю.
Пусть имеется произвольный квадратный трехчлен:
Найдем абсциссу его вершины:
Теперь найдем ординату его вершины и преобразуем ее к удобному виду:
Последняя формула иногда является удобной при расчете ординаты вершины параболы.
Рассмотрим квадратный трехчлен (параболу):
Ветви данной параболы идут вниз, ибо коэффициент .
Значит в вершине данной параболы достигается НАИБОЛЬШЕЕ значение.
Найдем координаты вершины данной параболы:
Как видим, наибольшее значение данной параболы равно: , а достигается оно при .
Рассмотрим подкоренную параболу справа:
(Не путайте обозначения букв вершин! Тут многочлен зависит от , поэтому АБСЦИССА вершины (не ОРДИНАТА!) будет обозначаться как , а ордината, как и в предыдущем случае, , чтобы не запутаться в обозначениях.)
Ветви данной параболы идут вверх, ибо коэффициент .
Значит в вершине данной параболы достигается НАИМЕНЬШЕЕ значение.
Найдем координаты вершины данной параболы:
Как видим, наименьшее значение данной параболы равно: , а достигается оно при .
Таким образом, наименьшее значение для подкоренной функции справа равно:
Откуда видно, что НАИБОЛЬШЕЕ значение левой части нашего неравенства совпадает с НАИМЕНЬШИМ значением правой части нашего неравенства, иначе говоря, левая часть часть неравенства не может быть больше правой.
Другими словами случай, когда:
невозможен.
Остается рассмотреть вариант, когда:
Равенство наступает только когда левая и правая часть равна , то есть когда:
Таким образом, пара является единственным решением данного неравенства.
Найдите все пары x y для которых выполняется неравенство 2 2 12 2 13 3 24 73 x x y y
Укажите все пары ( x ; y ), для которых выполняется равенство ( x 4 + 1)( y 4 + 1) = 4 x ² y ².
Решение 1
x 4 y 4 + x 4 + y 4 + 1 – 4 x ² y ² = 0 ⇔ ( x 4 y 4 – 2 x ² y ² + 1) + ( x 4 – 2 x ² y ² + y 4 ) = 0 ⇔ ( x ² y ² – 1)² + ( x ² – y ²)² = 0. Значит, x ² y ² = 1, x ² = y ², то есть | x| = |y | = 1.
Решение 2
( x 4 + 1)( y 4 + 1) ≥ 2 x ²· y ² = 4 x ² y ², причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x ² = y ² = 1.