Рабочий обслуживает 2 автомата, работающих независимо друг от друга?
Рабочий обслуживает 2 автомата, работающих независимо друг от друга.
Вероятность того , что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего равна 0, 8 , а для второго автомата эта вероятность равна 0, 7 .
Найдите вероятность того , что в течении часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего.
Твоя задача : События А и В называются независимыми , если
Искомую вероятность р находим по этой формуле
Р = 0, 8 * 0, 7 = 0, 56
Ответ Вероятность того , что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего равна 0, 56 * * * * * *
Вот как решать если спрашивают еще один пункт например :
2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере
один из станков не
потребует внимания рабочего
Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для первого станка
равна 1 — 0, 8 = 0, 2 ; для второго станка она соответственно равна 1 — 0, 7 = 0, 3
Тогда вероятность того, что в течение часа все
два стонка потребуют вниманию рабочего равна :
Событие A, заключающееся в том, что в течение часа все два станка потребуют внимания рабочего, противоположно событию А , состоящему в том, что по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего(противоположное событие)
P(Á) = 1 — P(A) = 1 — 0, 06 = 0, 94
Рабочий обслуживает три однотипных станка?
Рабочий обслуживает три однотипных станка.
Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равно 0, 6.
Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания рабочего : а) все три станка ; б) ни один станок ; в) только один станок.
Рабочий обслуживает 12 станков одного типа?
Рабочий обслуживает 12 станков одного типа.
Вероятность того, что станок требует внимания рабочего в течение часа , равна 1 / 3.
Найдите вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимания рабочего.
В магазине стоят два платёжных автомата?
В магазине стоят два платёжных автомата.
Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0.
4 независимо друг от друга.
Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.
Рабочий обслуживает три станка , работающих независимо друг от друга?
Рабочий обслуживает три станка , работающих независимо друг от друга.
Вероятность того что за смену первый станок не потребуется внимания рабочего равна 0.
75. Найти вероятность того что за смену : а) только один станок потребует внимания ; б) хотя бы один станок потребует внимания ; в) только третий станок потребует внимания рабочего.
Из подготовки к ЕГЭ?
Из подготовки к ЕГЭ!
В магазине стоят два платежных автомата.
Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 05 независимо от другого автомата.
Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Мастер обслуживает два станка, работающих независимо друг от друга?
Мастер обслуживает два станка, работающих независимо друг от друга.
Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания мастера, равна 0, 4, второй – 0, 2.
Тогда вероятность того, что в течение смены только один станок потребует внимания мастера, равна….
В цехе 400 автоматов ?
В цехе 400 автоматов .
Вероятность того что в течении рабочей смены автомат потребует переналадки равна 0.
1 какова вероятность того, что в течении смены число автоматов требующих переналадки не превзойдет пятидесяти.
В магазине стоят два платежных автомата?
В магазине стоят два платежных автомата.
Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 15 независимо от другого автомата.
Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.
В магазине стоят два платёжных автомата?
В магазине стоят два платёжных автомата.
Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 15 независимо от другого автомата.
Найдите вероятность того, что оба автомата неисправных.
Помогите пожалуйста решить))В мастерской работают два мотора независимо друг от друга?
Помогите пожалуйста решить))
В мастерской работают два мотора независимо друг от друга.
Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0, 84, а для второго мотора эта вероятность равна 0, 81.
Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.
Вы находитесь на странице вопроса Рабочий обслуживает 2 автомата, работающих независимо друг от друга? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
4 х — 9 у просто ты должна сложить все дроби, то есть х с х, и у с у, после должен выйти данный ответ).
Решение указано на фотографии.
В 1642 — 1646 годах, в первый период гражданской войны, стороны придерживались наступательной стратегии и мало заботились об обороне.
D : ( — беск ; + беск) E : ( — 1 ; 1) нестрогое.
1) 0, 19 2) 0, 97 3) 1, 5 4) 1, 22 5) 0, 79 6) 0, 62.
Любое натуральное число от 2010 до 2019.
Пусть у Васи было х денег, а у Пети х денег Тогда у Пети стало х — 400, а у Васи х — 200. Получается уравнение (х — 400) * 5 = х — 200 5х — 2000 = х — 200 4х = 1800 х = 450 Ответ : 450 рублей.
№1 есть формула (U / V)' = ( U'V — UV') / V² y' = (x' — x * (x² — 4)' ) / (x² — 4)² = (1 — x * 2x) / (x² — 4)² = (1 — 2x²) / (x² — 4)² № 2 есть формула : (UV)' = U'V + UV' учтём, что первый множитель — сложная функция. Y = (e ^ — 1 / 4 x²) * x y' = ..
Ну если я правильно поняла, то примерно так.
Ниоткуда, должен 88 — из них 85 за телефон и 3 рубля , которые вернёт друг.
Решение задач о станках. Почти полное руководство
В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про подбрасывания игральных кубиков и монеток, задачи про стрелков.
В этот раз рассмотрим задачи о станках, и остановимся на трех типах задач: на действия с событиями (станки выходят из строя с разными вероятностями), на формулу Бернулли (вероятности одинаковы) и на формулу полной вероятности и Байеса.
Если вы только учитесь решать задачи, рекомендуем читать всю статью целиком, чтобы понять принцип решения и формулы в каждом случае, научиться отличать задачи друг от друга и подбирать верный подход. Знаете что конкретно ищете? Переходите по ссылкам.
Капризные станки и вероятности
Рассмотрим популярный класс задач: про рабочего и капризные станки, которые ломаются/требуют внимания рабочего, причем вероятности выхода из строя заданы и различны для каждого из станков. Нужно найти вероятность выхода из строя одного станка, двух, ни одного и так далее, в зависимости от конкретной задачи.
Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. После разобранных примеров вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик!
Теория: выписываем события
Введем основные события для задачи (независимые, так как каждый станок работает сам по себе):
$A_i$ = (Станок $i$ отказал/потребовал внимания рабочего), $i=1,2,3$.
Рассматривать в примере будем случаи с 2 или 3 станками. С одним задача вырождается, с четырьмя становится довольно громоздкой, но решается аналогично рассмотренным ниже.
Пусть заданы вероятности выхода станков из строя: $p_i=P(A_i)$, и мы можем записать вероятности того, что станки продолжают работать: $q_i=1-p_i=P(\overline
Вводим также события, вероятности которых обычно нужно найти в заданиях:
$X_k$ = (В точности $k$ станков отказали), $k=0,1,2,3$.
Теория: случай 2 станков
Итак, у нас есть 2 станка, отказывающие с вероятностями $p_1$ и $p_2$ соответственно.
Событие $X_0$ = (0 станков отказали) = (Все станки работают). Его можно записать как произведение событий $X_0=\overline
$$ P(X_0)=P\left(\overline
Событие $X_1$ = (1 станок отказал). Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый станок откажет (событие $A_1$) и одновременно с этим второй станок работает (событие $\overline
2. Когда второй станок откажет (событие $A_2$) и одновременно с этим первый станок работает (событие $\overline
Так как других вариантов нет, а эти два варианта — несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий: $$ P(X_1) = P\left(A_1 \cdot \overline
Событие $X_2$ = (2 станка отказали). Его можно записать как произведение событий $X_2=
$$ P(X_2)=P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)= p_1 \cdot p_2. \qquad (3) $$
Теория: случай 3 станков
Быстренько обобщим наши формулы для случая 3 станков, отказывающих с вероятностями $p_1$, $p_2$ и $p_3$.
Ни один станок не отказал:
$$ P(X_0)=P\left(\overline
В точности один станок отказал, остальные два — нет:
$$ P(X_1)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline
В точности два станка отказали, а один — работает:
$$ P(X_2)= \\ = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline
Все три станка отказали:
$$ P(X_3)=P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (7) $$
Практика: укрощаем станки
Пример 1. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 0,9, а второй – 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба станка проработают смену без наладки, б) оба станка за смену потребуют наладки.
Итак, случай с 2 станками, используем формулы (1) и (3), чтобы найти искомые вероятности. Важно, какое событие мы считаем базовым: выше в теории мы использовали «станок откажет», тут же удобнее событие «станок проработает смену» (при этом формулы сохраняют вид, но легко использовать не ту, будьте внимательны).
Итак, пусть $p_i$ — вероятность $i$-му станку проработать смену без наладки. И нужные вероятности:
1) Оба станка проработают смену без наладки:
$$ P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)= p_1 \cdot p_2 = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72. $$
2) Оба станка за смену потребуют наладки:
$$ P\left(\overline
Пример 2. Вероятности бесперебойной работы для каждого из двух станков соответственно равны 0,95 и 0,8. Найти вероятность того, что за смену: а) произойдет остановка только одного станка; б) остановится хотя бы один станок.
Еще одна задачка про 2 станка. Так как в вопросах идет речь именно об остановках станка, их и будем считать базовыми событиями:
$A_i$ = (Станок $i$ остановился), $i=1,2$, $p_1=1-0,95=0,05$, $p_2=1-0,8=0,2$.
а) произойдет остановка только одного станка (используем формулу (2)):
$$ P_1= P(A_1) \cdot \left(\overline
б) В этом случае удобно сначала найти вероятность противоположного события «Ни один станок не остановится» (оба работают):
$$ P_0= P\left(\overline
Тогда вероятность того, что остановится хотя бы один станок, равна:
Теперь рассмотрим пример задачи с тремя станками, в которой используем все формулы, выведенные выше (см. (4)-(7)).
Пример 3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятности того, что станки потребуют внимания рабочего в течение часа, соответственно равны $p_1=0,9, p_2=0,8, p_3=0,7$. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа внимания рабочего потребует:
1) все станки,
2) ни один станок,
3) какой-либо один станок,
4) какие-либо два станка,
5) хотя бы один станок.
Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение часа), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,9$, $p_2=0,8$, $p_3=0,7$. Тогда $q_1=0,1$, $q_2=0,2$, $q_3=0,3$.
Найдем вероятность события $X$= (Все станки потребуют внимания в течение часа) по формуле (7):
$$ P(X)= P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,9\cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,504. $$
Найдем вероятность события $Y$= (Ни один станок не потребует внимания в течение часа) по формуле (4):
$$ P(Y)=P\left(\overline
Найдем вероятность события $Z$= (Один станок потребует внимания в течение часа) по формуле (5):
$$ P(Z)= p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\ = 0,9\cdot 0,2 \cdot 0,3 +0,1\cdot 0,8 \cdot 0,3 +0,1\cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,092. $$
Найдем вероятность события $Q$= (Два станка потребуют внимания в течение часа) по формуле (6):
$$ P(Q)= p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = \\ = 0,9\cdot 0,8 \cdot 0,3 + 0,9\cdot 0,2 \cdot 0,7 +0,1\cdot 0,8 \cdot 0,7 =0,398. $$
Также эту вероятность можно выразить через уже найденные ранее:
Найдем вероятность события $W$= (Хотя бы один станок потребует внимания в течение часа), учитывая что оно противоположно событию $Y$:
Пример 4. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность выхода из строя за смену для них, соответственно, равна 0,75; 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя не менее двух станков.
Рассматриваем события $A_i$ = (Станок $i$ за смену вышел из строя), $i=1, 2, 3$. По условию даны вероятности: $p_1=0,75$, $p_2=0,8$, $p_3=0,7$. Тогда $q_1=0,25$, $q_2=0,2$, $q_3=0,3$.
Событие $X$ = (За смену выйдут из строя не менее двух станков) можно представить как сумму несовместных событий $X_2$ = (За смену выйдут из строя 2 станка) и $X_3$ = (За смену выйдут из строя 3 станка). Их вероятности найдем по формулам (6) и (7):
$$ P(X_2)= p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = \\= 0,75\cdot 0,8 \cdot 0,3 + 0,75\cdot 0,2 \cdot 0,7 +0,25\cdot 0,8 \cdot 0,7 =0,425. $$ $$ P(X_3)= P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,75\cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,42. $$
Тогда искомая вероятность:
И, наконец, рассмотрим одну задачу с четырьмя станками.
Пример 5. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок потребует внимания мастера.
Пусть $p_i$, $i=1,2,3,4$ — вероятность того, что станок потребует внимания мастера. Рассмотрим событие $X$ = (в течение смены хотя бы один станок потребует внимания мастера) и противоположное $\overline
$$ P(\overline
Вероятность нужного события тогда:
тут добить такойже калькулятор, но заменить все слова Выберите количество станков и затем введите в поля вероятности $p_i$ того, что $i$-ый станок потребует внимания (десятичный разделитель — точка):
Одинаковые станки и формула Бернулли
Рассмотрим частный случай предыдущей «задачи о капризных станках», когда все станки отказывают с одинаковой вероятностью $p$. Тогда, чтобы найти вероятность отказа в точности $k$ станков из $n$ можно использовать единственную формулу Бернулли:
$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^
Пример 6. Рабочий обслуживает пять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение дня, равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение дня этих требований будет ровно четыре.
Вот типовая задача на формулу Бернулли. Выписываем из задачи: $n=5$ (число станков), $p=0,3$ (вероятность того, что станок потребует внимания), $q=1-p=0,7$ (вероятность бесперебойной работы).
Найдем вероятность того, что ровно 4 станка потребуют внимания рабочего по формуле (8):
$$ P_5(4)=C_5^4 \cdot 0,3^4 \cdot 0,7^ <5-4>= 5 \cdot 0,3^4 \cdot 0,7 =0,028. $$
Пример 7. Вероятность поломки одного из 6 работающих независимо друг от друга станков равна 0,2. Если происходит поломка, станок до конца дня не работает. Какова вероятность того, что в течение дня сломается более 2 станков?
Еще одна задача про станки, которые ломаются с одинаковой вероятностью. Основные данные: $n=6$ (число станков), $p=0,2$ (вероятность поломки), $q=1-p=0,8$.
Найдем вероятность того, что в течение дня сломается более двух станков, используя переход к противоположному событию (в течение дня сломается 0, 1 или 2 станка):
$$ P_6(k>2)=1-P_6(k \le 2)=1- (P_6(0)+P_6(1)+P_6(2))= \\ =1 — (C_6^0 \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^6 + C_6^1 \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^5 + C_6^2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^4)=\\ =1 — ( 0,8^6 + 6 \cdot 0,2 \cdot 0,8^5 + 15 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^4)=0,099. $$
Пример 8. На рабочем участке 5 однотипных станков. Вероятность того, что каждый из них исправен, равна 0,8. Плановое задание может быть выполнено, если исправно не менее 3 станков. Какова вероятность, что задание будет выполнено?
Думаю, тут можно обойтись только формулой, согласны?
$$ P_5(k \ge 3)=P_5(3)+ P_5(4)+ P_5(5) = \\ =C_5^3 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^2 + C_5^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^1 + C_5^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^0 =\\ =10 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^2 + 5 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 + 0,8^5 =0,942. $$
Пример 9. В цехе работают 8 станков. Вероятность безотказной работы каждого 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один станок откажет в работе.
Как и почти всегда, когда в задаче есть «хотя бы один», используем переход к противоположному событию «Все станки работают»:
$$ P_8(k \ge 1)=1- P_8(k \lt 1)=1- P_8(0) = 1- 0,9^8 =0,57. $$
Задачи на полную вероятность
Рассмотрим еще один тип задач со станками, который оооочень распространен в домашних и контрольных работах, и относится к теме полной вероятности.
Теорию вы сможете найти по ссылке выше, а тут я кратко напомню основные шаги:
- Находим в задаче полную группу гипотез $H_i$.
- Определяем основное событие $A$ (которое обычно происходит с разной вероятностью в зависимости от того, какая из гипотез $H_i$ верна).
- Выписываем из условия или вычисляем вероятности: $P(H_i)$, $P(A|H_i)$.
- Подставляем в нужную формулу: полной вероятности (9) или Байеса (10).
Пример 10. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8; 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
Введем полную группу гипотез:
$Н_1$ = (Деталь изготовлена на станке марки А),
$Н_2$ = (Деталь изготовлена на станке марки В),
$Н_3$ = (Деталь изготовлена на станке марки С).
Вероятности гипотез найдем как отношение числа станков нужной марки к общему числу станков в цехе:
$$ P(H_1)=10/20=0,5, \quad P(H_2)=6/20=0,3, \quad P(H_3)=4/20=0,2. $$
Введем событие $А$ = (Деталь отличного качества). По условию известны априорные вероятности: $$ P(A|H_1)=0,9, \quad P(A|H_2)=0,8, \quad P(A|H_3)=0,7. $$ Тогда вероятность события А найдем по формуле полной вероятности (9):
$$ P(A)=\sum_
Получили 0,83 или 83% отличных деталей в цехе.
Пример 11. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго – 0,02, и для третьего 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?
И как обычно, начинаем с ввода гипотез: $Н_i$ = (Деталь изготовлена на $i$-ом станке) и основного события $A$ = (Взята годная деталь).
Чтобы найти вероятности гипотез, используем данные о производительности станков. Пусть производительность второго станка $x$, тогда производительность первого — $3x$, производительность третьего — $2x$. Тогда можно вычислить вероятности гипотез по классическому определению вероятности:
Теперь надо найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на $i$-ом станке. По условию даны вероятность изготовления бракованных деталей, откуда найдем:
$$ P(A|H_1)=1-0,03=0,97, \quad P(A|H_2)=1-0,02=0,98, \quad P(A|H_3)=1-0,01=0,99. $$
Вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной, находим по формуле полной вероятности (9):
$$ P(A)=\sum_
Пример 12. На склад поступили детали с 3-х станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на 2-ом – 35% и на третьем – 25%. Причем на первом станке было изготовлено 90% деталей 1-го сорта, на втором 80% и на третьем – 70%. Известно, что наугад выбранная со склада деталь оказалась деталью 1-го сорта. Найти вероятность того, что она была изготовлена на 2-м станке.
Начало решения абсолютно аналогично предыдущим задачам: $Н_i$ = (Деталь изготовлена на $i$-ом станке), $A$ = (Взята деталь первого сорта).
$$ P(H_1)=40\%=0,4, \quad P(H_2)=35\%=0,35, \quad P(H_3)=25\%=0,25. $$ $$ P(A|H_1)=90\%=0,9, \quad P(A|H_2)=80\%=0,8, \quad P(A|H_3)=70\%=0,7. $$
Сначала найдем вероятность события $A$:
$$ P(A)=\sum_
Найдем апостериорную вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке, если она оказалась 1-го сорта, используя формулу Байеса (10):
Полезные ссылки по ТВ
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете почти 300 задач о станках с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Рабочий обслуживает 2 станка. В течение первой смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.