Как исследовать функцию через производную

Графики: исследование, построение, алгоритм

Если нужно построить график некой заданной функции, не обойтись без предварительного исследования этой функции, причем полного. И только потом, применяя полученные данные, можно построить правильный график. На практике построение бывает как отдельной задачей, так и задачей, связанной с графикой (вспомогательной задачей), то есть в последнем случае речь идет о решении уравнений графическим методом. Именно поэтому надо понимать, как происходит исследование и построение.

Как исследовать функцию? Основной алгоритм

Вся работа по исследованию функции и построению выполняется поэтапно, то есть существует алгоритм построения графика функции. Если следовать этому алгоритму, вероятность ошибки будет сведена к минимуму.

Для исследования возьмем функцию y = f(x). Пошаговая реализация алгоритма выглядит следующим образом:

1. Нахождение области определения функции D(f). Речь идет об определении интервалов, на которых эта function существует.
2. Определение четности или нечетности. Когда область определения симметрична относительно нуля (для любого значения x из D(f) значение -x тоже принадлежит области определения), надо выполнить проверку на четность. К примеру, когда f(-x) является равной f(x), функция четная (классическая функция вида y = x 2 является четной). Важное значение имеет факт того, что график четной функции является симметричным относительно оси OY. А вот если f(-x) равняется -f(x), следует говорит о нечетности (для примера нечетности можно вспомнить y = x 3 ). В этом случае график симметриченотносительно начала координат. Когда функцию считают четной либо нечетной, есть возможность построить часть ее графика для x ⩾ 0, а потом отразить ее соответствующим образом.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат. Речь идет о точках пересечения графика функции y = f(x) с OX — осью абсцисс. Чтобы это сделать, надо решить уравнение f(x) = 0. Корни данного уравнения будут абсциссами точек пересечения графика с осью ОХ. Чтобы найти точку пересечения графика с OY (осью ординат) надо найти значение функции при x = 0.
4. Нахождение промежутков знакопостоянства. Следующий важный шаг. Здесь надо найти промежутки, на которых наша ф-я сохраняет знак. Это потребуется в дальнейшем в целях контроля правильности построения нашего графика. Для обнаружения промежутков знакопостоянства надо решить такие неравенства, как f(x) > 0 и f(x) < 0.
5. Поиск асимптот. Асимптота — прямая, к которой приближается график функции, делая это бесконечно близко. Бывают горизонтальные асимптоты, вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты. Подробнее на эту тему читайте здесь.
6. Нахождение периода функции (утверждение справедливо для периодических функций). Также стоит добавить, что если ф-я тригонометрическая, то надо сначала определить, является ли она периодической либо нет.
7. Исследование с помощью производной. Исследование заключается в поиске промежутков убывания и возрастания и поиске точек экстремума (точек минимума и максимума). Это делается следующим образом:

б) второй этап — приравнивание производной к нулю с нахождением корней уравнения f(x) = 0 — в данном случае это стационарные точки;

в) третий шаг — найти промежутки знакопостоянства производной.

Промежутки, где производная является положительной, — это промежутки возрастания, где она отрицательна — убывания.

Точки, где производная меняет знак с «+» на «-» — точки максимума, если же с минуса на плюс — это точки минимума.

8. Последний шаг алгоритма — поиск точек перегиба и промежутков вогнутости и выпуклости. Эта тема неплохо рассмотрена вот в этой статье.

Надеемся, что материал был полезен, и у вас не возникнет проблем с построением графиков. И не забывайте, что математика может быть очень полезна в IT-сфере, особенно в Data Science. Если же вы чувствуете, что нужно повторить свои знания по математике, обратите внимание на соответствующий курс в OTUS:

Лекция «Исследование функций с помощью производной»
учебно-методический материал

Лекция «Исследование функций с помощью производной» по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».

Скачать:

Вложение	Размер
lektsiya_issledovanie_f-tsii.docx	82.5 КБ

Предварительный просмотр:

Лекция. «Исследование функций с помощью производной».

Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.

Определение: Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ ab ], если таких, что x 1 2 , f(x 1 ) 2 ) ( f(x 1 ) > f(x 2 ) ).

Теорема 1. Если функция f(x) , дифференцируемая на [ ab ], возрастает на этом отрезке, то на [ ab ].

Если f(x) непрерывна на [ ab ] и дифференцируема на ( ab ), причем для a то эта функция возрастает на отрезке [ ab ].

Замечание 1 . Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: Если f(x) убывает на [ ab ], то на [ ab ]. Если на ( ab ), то f(x) убывает на [ ab ].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ ab ], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох ).

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х 0 . Если х 0 является точкой экстремума функции, то или не существует.

1. Функция y = x ² имеет минимум при х = 0 , причем ( х ²)′ = 2 x = 0 при х = 0.
2. Минимум функции y = | x | достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание . Отметим еще раз, что теорема 2 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ′(x) = 0, функция достигает экстремума.

Пример . У функции y = x ³ y ′ = 3 x 2 = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Определение: Если функция определена в некоторой окрестности точки х 0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х 0 называется критической точкой функции. Таким образом все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х 0 , дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

1. если f ′(x) > 0 при x 0 и f ′(x) x > x 0 , точка х 0 является точкой максимума;
2. если f ′(x) 0 при x 0 и f ′(x) > 0 при x > x 0 , точка х 0 является точкой минимума;
3. если f ′(x) не меняет знак в точке х 0 , эта точка не является точкой экстремума.

Теорема 4. Пусть f ′(x 0 ) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х 0 . Тогда х 0 является точкой максимума, если f ′′(x 0 ) 0, или точкой минимума, если f ′′(x 0 ) > 0.

Вывод : проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1. убедиться, что f ′(x) меняет знак при х = х 0 ;
2. определить знак f ′′(x 0 ) ;
3. если f ′′(x 0 ) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Определим тип экстремума функции y = x ³ — 3 x + 7 при х = 1. Точка х = 1 является критической, так как y′ = 3 x ² — 3 x = 0 при х = 1. Так как при x y ′ 0, а при x > 1 y ′ > 0, x =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: y ′′ = 6 x – 3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 4).

Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [ab]. Если f(x) имеет на [ab] конечное число критических точек, то ее наибольшее значение будет либо одним из ее максимумов (а именно, наибольшим максимумом), либо будет достигаться в одной из конечных точек отрезка. То же можно сказать и о наименьшем значении. Из сказанного следует, что поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1. найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
2. вычислить значения функции в точках а и b , а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Пример . Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 3 x ² — 9 x –15 на отрезке [-4, 4]. y ′ = 3 x ² + 6 x – 9 = 0 при х = -3 и х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

Полное исследование функции и построение графика

Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции f ( x ) = x 2 4 x 2 — 1 с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

4 x 2 — 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ — ∞ ; — 1 2 ∪ — 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g ( x ) 4 по неравенству g ( x ) ≥ 0 , для логарифма log a g ( x ) по неравенству g ( x ) > 0 .

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x = ± 1 2 .

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: lim x → — 1 2 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 2 — 0 x 2 4 x 2 — 1 = = lim x → — 1 2 — 0 x 2 ( 2 x — 1 ) ( 2 x + 1 ) = 1 4 ( — 2 ) · — 0 = + ∞ lim x → — 1 2 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 2 + 0 x 2 4 x — 1 = = lim x → — 1 2 + 0 x 2 ( 2 x — 1 ) ( 2 x + 1 ) = 1 4 ( — 2 ) · ( + 0 ) = — ∞ lim x → 1 2 — 0 f ( x ) = lim x → 1 2 — 0 x 2 4 x 2 — 1 = = lim x → 1 2 — 0 x 2 ( 2 x — 1 ) ( 2 x + 1 ) = 1 4 ( — 0 ) · 2 = — ∞ lim x → 1 2 — 0 f ( x ) = lim x → 1 2 — 0 x 2 4 x 2 — 1 = = lim x → 1 2 — 0 x 2 ( 2 x — 1 ) ( 2 x + 1 ) = 1 4 ( + 0 ) · 2 = + ∞

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x = ± 1 2 — вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y ( — x ) = y ( x ) , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно О у . Когда выполняется условие y ( — x ) = — y ( x ) , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства y ( — x ) = y ( x ) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно О у .

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решения неравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f ‘ ( x ) ≥ 0 и f ‘ ( x ) ≤ 0 соответственно.

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки — это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при имеющихся промежутках возрастания и убывания неравенства вида f ‘ ( x ) > 0 критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y = x 3 , где точка х = 0 делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y ‘ = 1 3 · x 2 3 , y ‘ ( 0 ) = 1 0 = ∞ , х = 0 включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти:

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а — является убыванием.

Найти производную на области определения f ‘ ( x ) = x 2 ‘ ( 4 x 2 — 1 ) — x 2 4 x 2 — 1 ‘ ( 4 x 2 — 1 ) 2 = — 2 x ( 4 x 2 — 1 ) 2 .

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х = 0 ;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x = ± 1 2 .

Выставляем точки на числовой оси для определения производной на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем + , что означает возрастание функции, а — означает ее убывание.

Например, f ‘ ( — 1 ) = — 2 · ( — 1 ) 4 — 1 2 — 1 2 = 2 9 > 0 , значит, первый интервал слева имеет знак + . Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке — ∞ ; — 1 2 и ( — 1 2 ; 0 ] ;
• происходит убывание на промежутке [ 0 ; 1 2 ) и 1 2 ; + ∞ .

На схеме при помощи + и — изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Если рассмотреть пример, где х = 0 , тогда значение функции в ней равняется f ( 0 ) = 0 2 4 · 0 2 — 1 = 0 . При перемене знака производной с + на — и прохождении через точку х = 0 , тогда точка с координатами ( 0 ; 0 ) считается точкой максимума. При перемене знака с — на + получаем точку минимума.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f » ( x ) ≥ 0 и f » ( x ) ≤ 0 . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

• найти вторую производную;
• найти нули функции второй производной;
• разбить область определения появившимися точками на интервалы;
• определить знак промежутка.

Найти вторую производную из области определения.

Решение

f » ( x ) = — 2 x ( 4 x 2 — 1 ) 2 ‘ = = ( — 2 x ) ‘ ( 4 x 2 — 1 ) 2 — — 2 x 4 x 2 — 1 2 ‘ ( 4 x 2 — 1 ) 4 = 24 x 2 + 2 ( 4 x 2 — 1 ) 3

Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x = ± 1 2

Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что

Ответ:

• функция является выпуклой из промежутка — 1 2 ; 1 2 ;
• функция является вогнутой из промежутков — ∞ ; — 1 2 и 1 2 ; + ∞ .

Точка перегиба – это точка вида x 0 ; f ( x 0 ) . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x 0 функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x = ± 1 2 . Они , в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f ( x ) x и b = lim x → ∞ f ( x ) — k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f ( x ) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 x = 0 b = lim x → ∞ ( f ( x ) — k x ) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 — 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках х = — 2 , х = — 1 , х = — 3 4 , х = — 1 4 . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х = 2 , х = 1 , х = 3 4 , х = 1 4 .

Запишем и решим:

f ( — 2 ) = f ( 2 ) = 2 2 4 · 2 2 — 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f ( — 1 ) — f ( 1 ) = 1 2 4 · 1 2 — 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f — 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 — 1 = 9 20 = 0 , 45 f — 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 — 1 = — 1 12 ≈ — 0 , 08

Построение графика

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.