Как убрать целое число из дроби

Дроби. Вычитание дробей.

Для нахождения разницы 2х дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть из числителя 1й дроби числитель 2й дроби, а знаменатель обоих дробей оставить не изменяя. Вычитание обыкновенных дробей:

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь, которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной, единицу переводят к виду неправильной дроби, у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7, т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей – правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби – выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители; все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

Складываем неправильную дробь 18/18, которую мы получили и дробную часть уменьшаемого и получаем:

Итог – общая схема вычислений:

• Если есть целая часть, переводиме эти дроби в неправильные;
• Приводим все дроби к общему знаменателю любым способом;
• Вычитаем найденные числа по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
• Если есть возможность, сокращаем полученную дробь. Если дробь получилась неправильной, выделяем целую часть.
• Запомните, что выделяем целую часть предпочтительно в конце выполнения задания, именно перед записью ответа. Так легче не запутаться.

Общий вариант. Вычитание дробных выражений.

Предположим, есть такое задание:

Приводим к общему знаменателю. При помощи умножения. Поэтому мы не можем в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. Зато можно перемножить знаменатели.

Скобки не открываем! Для того, чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), необходимо числитель и знаменатель домножить на (х+1). А во второй дроби – на х. Результат:

Обратите внимание! У нас появились скобки! Здесь нужно быть очень внимательным. Скобки появляются из-за того, что умножается весь числитель и весь знаменатель.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

"Выделение целой части из неправильной дроби" (урок "Открытие нового знания"). 4-й класс

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: действие по аналогии, анализ, обобщение.

1) Формула деления с остатком.

2) Алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. <Рисунок1>

3) Знаковая форма выделения целой части из неправильной дроби.

1) листочки с заданием (к этапу 2)

Опеределите по числовому лучу какому смешанному числу соостветствуют дроби

2) Подробный образец для самопроверки (к этапу 6)

1 Самоопределение к учебной деятельности.

1. Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством закрепления ситуации успеха, достигнутой на предыдущем уроке.
2. Определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1.

— На протяжении нескольких уроков мы работали с некоторыми числами. С какими числами мы работали? (С дробными числами).

— Какие знания у нас есть об этих числах? (Умеем их читать, записывать, сравнивать, решать задачи).

— Предлагаю продолжить нашу плодотворную работу. Вы готовы? (Да).

— Сегодня мы продолжим работать с дробными числами. Я уверена, что у нас с вами все получится на отлично. Но сначала повторим материал предыдущих уроков.

2 Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.

Цели:

1. Актуализировать умение находить правильные и неправильные дроби, смешанные числа, определение правильной и неправильной дроби, смешанного числа.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала.
3. Зафиксировать ситуацию, когда учащиеся не смогут выделить целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 2.

— С какими числами мы познакомились на предыдущем уроке? (Со смешанными числами).
— Из чего состоит смешанное число? (Из целой и дробной части).

На доске записаны дроби и смешанные числа.

— На какие группы можно разделить представленные числа?

— Правильные дроби ().

— Какие дроби называются правильными? (Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь меньше единицы).

— Неправильные дроби. (…..)

— Какие дроби называются неправильными? (Дробь, у которой числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю).

— Какие из неправильных дробей можно представить в виде натурального числа?

()

— Какую дробь можно представить в виде смешанного числа? (Неправильную дробь, где числитель больше знаменателя).

— Определите с помощью числового луча, какому смешанному числу равна дробь

У учащихся лист с заданием (Р-1), один ученик работает у доски, комментирует.

— Назовите наименьшее смешанное число?( )

— Наибольшее? ()

— Какое арифметическое действие вам помогло? ( Деление. Деление с остатком).

— Докажите. (На доске: Д-1).

— 12:7=1 (ост.5); 15:7=2 (ост.1); 25:7=3 (ост.4); 31:7=4 (ост.3)

— Выделите целую часть дроби , запишите смешанное число. Дети работают на обратной стороне листочка. Разные варианты ответов выносятся на доску.

— Как вы действовали?

3 Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

1. Организовать коммуникативное взаимодействие по выявлению отличительного свойства задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Согласовать тему и цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3.

— Какое задание вы выполняли? (Надо выделить целую часть из дроби ).

— Чем это задание отличается от предыдущего? (Тот способ, который нам помогал выделять целую часть из неправильной дроби не подходит для дроби . Эту дробь неудобно показать на числовом луче).

— Что же мы видим? (У нас получились разные ответы).

— Почему? (Мы пользовались разными способами. У нас нет алгоритма выделения целой части из неправильной дроби).

— Какова же цель нашего урока? (Построить алгоритм и научиться выделять целую часть из неправильной дроби).

— Подумайте и сформулируйте тему нашего урока. («Выделение целой части из неправильной дроби»).

На доске открывается название темы урока.

4 Построение проекта выхода из затруднения.

1. Организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия для выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать новый способ в знаковой и вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4

— =?

— Каким способом вы предлагаете найти, сколько в дробном числе целых единиц? (Числитель разделить на знаменатель).

— Какой знак в записи дроби вам подсказал, как надо действовать? (Черта дроби – знак деления).

— Запишем дробь в виде частного: 65 : 7.

— Какой это вид деления? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

— Найдите результат. (65 : 7 = 9) (ост. 2)

— Что означает в полученном равенстве частное 9 и остаток 2? (Частное 9 означает, что в 65 содержится 9 раз по 7 и 2 остается).

— Что будет обозначать частное 9 в смешанном числе? (9 – это целая часть смешанного числа).

— Что будет обозначать остаток 2 в смешанном числе? (2 – это числитель дроби смешанного числа).

— А знаменатель? (Он остается, не изменяется).

— Какое смешанное число у нас получилось?

—

— Выполнили мы задание? (Да).

— Какое математическое действие нам помогло? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Учитель возвращается к ответам на листочках, обобщает, поощряет словом тех, кто выполнил правильно. В групповой форме учащиеся выводят новый способ в знаковой форме на листочках. Выбирается правильный вариант.

— Запишите, пользуясь формулой деления с остатком (Д-1), какому смешанному числу равна дробь ?

— Как из неправильной дроби выделить целую часть?

— Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо её числитель разделить на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток – числитель, а знаменатель не изменяется.

— Давайте всё же проверим наше мнение с мнением учебника. Откройте страницу 26, Математика 4 (2 часть), прочитайте правило сначала про себя, а потом вслух.

— Мы были правы? (Да).

Физминутка (по выбору учителя).

5 Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

Зафиксировать способ выделения целой части из неправильной дроби во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5.

— Давайте ещё раз повторим алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Д-2

— Мы с вами составили алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Какова цель нашей дальнейшей деятельности? (Потренироваться).

№ 4 (а,б,в) стр. 26 – с комментированием по образцу.

№ 4 (г, д) стр. 26 – в парах.

6 Самоконтроль с самопроверкой.

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.
3. Проверить своё умение выделять целую часть из неправильной дроби.
4. Способствовать созданию ситуации успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6.

— Вы сумели вывести алгоритм выделения целой части из неправильной дроби и потренировались в решении примеров. Я думаю, теперь вы сможете выполнить задание сами.

№ 3 стр. 26 – 1 вариант – 1 и 2 столбик;

2 вариант – 3 и 4 столбик;

— Кто желает, может выполнить задание и другого варианта.

Учащиеся выполняют работу, по окончании которой проверяют себя по образцу для самопроверки. Используется карточка Р-2.

— Проверьте себя по образцу для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?» зеленой ручкой.

— Кто допустил ошибки при выполнении задания? (…)

— У кого все верно?

Можно организовать работу по коррекции ошибок в группах или фронтально. Консультантами назначаются учащиеся, которые не допустили ошибок.

7 Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

Тренировать способности выделять целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 7.

— Попробуем применить наши знания при сравнении дроби и смешанного числа.

— Найдите неравенство, в котором надо сравнить правильную дробь с неправильной.

—

— Что будем делать?

— Выделим целую часть из неправильной дроби.

— Значит?!

—

— Неправильная дробь больше правильной. Мы это доказали, выделив целую часть.

— Закончите задание, сравните.

8 Рефлексия учебной деятельности на уроке.

1. Зафиксировать в речи алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления.
3. Оценить собственную деятельность на уроке.
4. Согласовать домашние задание.

Организация учебного процесса на этапе 8.

— Чему научились на уроке? (Выделять целую часть из неправильной дроби).

— Какой алгоритм мы построили? (Можно проговорить алгоритм Д-2).

— У кого были трудности? Как будете, действовать?

— Кто сегодня доволен собой? Почему?

— Оцените объективно свою работу на уроке, выбрав соответствующее смешанное число. Число запишите зеленой ручкой на полях тетради.

— мне было трудно на уроке.
— я понял урок, но мне нужна тренировка.
— я хорошо понял урок, но нужна помощь.
— я молодец, понял урок на отлично.

Домашнее задание: придумать пять неправильных дробей и выделить целую часть; №10, №11 стр. 28 – по выбору; № 15 стр. 28 (а или б) – по желанию.

Сокращение дробей: правила и примеры

Самые старые упоминания о таких математических явлениях, как дробь, учёные обнаружили в древнем Египте. Особенностью их было то, что у них были обозначения только вида 1\2, 2\3,1\3, при этом больше двойки числа, делимого они не использовали, а использовали метод сложения, к примеру, вместо дроби 5\6, писали 1\2 +1\3.

Но применять такие дроби было сложно, поэтому учёные разных областей пытались вывести общую универсальную формулу для удобства. Так появилась шестидесятеричная, но проводить вычисления с ней тоже было очень трудно, однако её довольно долго применяли в Вавилоне и Греции. Существовала также система называемая Асс, её суть в делении на 12, использовали её римляне. Результат такого деления, точнее одну долю, называли унцией. Самой близкой по своей системе исчисления была дробь, которую предложили в Индии, разница от современных была в формате записи, без чёрточки, и такая дробь была перевернута, в верхней части находился делитель, а в нижней делимое. Та запись, которую и по сей день используют в математике была придумана арабами.

Что такое дробь, основные понятия и виды

Дробь — число, состоящее из нескольких равных долей.

По сути дробь — это деление одного числа на другое. Выделяют два вида: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенная дробь — означает, состоящая из целых чисел. Обыкновенные, имею два типа записи к примеру:

• 1\5- разделена наклонной линией, читается как одна пятая;
• \[\frac<1><5>\] — горизонтальной линией.

Определения:

• Числитель — число, находящееся в верхней границе дроби;

• Знаменатель — число которое мы видим в нижней границе дроби.

Например: 1\5, где 1- числитель, 5- знаменатель. Для того чтобы проще объяснить, что такое дробь приведём простой пример. Торт разрезан на 5 кусков, если мы взяли два и них то это 2\5 (две пятые части торта).

Обыкновенные дроби имеют два типа правильные и неправильные.

Правильной дробью называется дробь с значениями, в которых числитель меньше знаменателя. Такое название данный тип дроби получил не зря, ведь так логичнее и правильнее, когда часть меньше целого.

Неправильная в свою очередь имеет обратные значения, когда числитель больше знаменателя.

_{Примечание. Дроби, у которых знаменатель и числитель одинаковы, тоже неправильные.}

Смешанная дробь. Существует также такое определение как смешанная дробь, такой вид, представляет собой дробь, состоящую из двух частей целой и дробной. Пример — 4 3 5 4 35 , где четыре это целая часть, а 3\5 дробная. Такой тип дроби можно получить, только при делении неправильного вида дробей.

Десятичные дроби. К десятичным, относят дроби которые в знаменателе имеют 10 в натуральной степени. К примеру 5 10 , 6 100 510 , 6100 и тд. Такие, так же могут иметь вид строчной записи, 0,5 и 0,06. при этом в такой записи целая часть отделяется от дробной знаком запятой.

Существуют также понятия сократимой и несократимой дроби. Сократимая дробь, это та, в которой можно произвести деление числителя и знаменателя на одно и то же число.

Несократимая дробь, если такие действия выполнить нельзя.

Составная дробь, многоуровневая или выражение, имеющее несколько черт дроби. Пример 3 7 − 31 37 − 31

Равные и неравные дроби. Для того чтобы сказать, являются дроби равными или нет, нужно их сравнить.

Положительные и отрицательные дроби.

Положительные называют обыкновенные дроби, с положительными числами, при необходимость перед такими дробями ставится знак +, пример \[+\frac<6><9>\].

Отрицательными, считаются дроби со знаком минус, пример \[-\frac<6><9>\].

Стоит отметить что две дроби вида \[-\frac<6> <9>\text < и >+\frac<6><9>\] являются противоположными.

Алгебраическая дробь.

Отличается она тем, что на месте числителя и знаменателя находятся алгебраические значения, числа заменены буквами. Примеры —

Если в такой дроби буквы заменить числами, то она сразу станет обыкновенной.

Одночлен — это выражение, содержащее числа, степени положительные и их произведение. Пример: в.

Многочлен — это сумма одночленов. Пример: 7а+6в

Дроби на координате прямых.

Если рассматривать координату прямых, то положительные дроби на ней будут расположены справа от нулевого значения, а отрицательные слева.

Действия, которые можно выполнить с дробями

В общем то, действия с дробями это все те же действия, которые можно выполнить с числами:

• Сравнение;
• Сложение;
• Вычитание;
• Умножение;
• Деление.

Свойства дроби

Чтобы сложить или вычесть дроби, дробь обязана иметь равные знаменатели, необходимо просто выполнить это действие с их числителями

Что же касается дробей с разной частью делителя (Знаменателя), то тут чтобы выполнить действия сложения и вычитания с ними необходимо привести знаменатели к общему числу.

Примеры: \[\frac<4><9>+\frac<5><8>=\frac<4+5><9 \cdot 8>\], точно так же и для вычитания.

Чтобы выполнить такое действие, как умножение обыкновенных дробей, нужно произвести умножение сначала с их числителями, а после и знаменателями.

При умножении дроби на число, в такой вычислении просто умножается числитель на заданное число, а знаменатель остаётся тем же.

Что же касается деления, то при делении одной дроби на другую, нужно произвести умножение, при котором первая дробь остаётся в неизменном виде, а вторая переворачивается. То есть получается мы умножаем числитель первой дроби данного примера, на знаменатель второй, и полученное число находится в верхней части дроби, а в нижней умножение знаменателя первой дроби на числитель второй.

Сравнение дробей

Чтобы провести сравнение с разными делителями (знаменателями), необходимо сделать так, чтобы знаменатель стал общим только тогда можно будет сравнить числители. Соответственно, где числитель больше там и дробь больше.

Основное свойство дробей

Основным свойством дроби является выражение — «числитель и знаменатель можно делить и умножать на одно и то же число при этом значение всей дроби не поменяется.»

Еще одно определение которое пригодится нам для сокращения дроби это НОД.

НОД — наибольший общий делитель.

Общий делитель — это число, которое может быть делителем каждого из указанных чисел.

Пример: если взять число 3, то оно станет общим делителем для чисел 6 и 9. так как 9=3*3 а 6=3*2.

Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)

Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.

Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если r_k+1=0, при этом r_k=НОД(a, b)

Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Сокращение дроби

Выражение сократить дробь, фактически означает что необходимо провести деление её числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное единице.

Результатом таких действий станет появление новой дроби, значение которой, равно первичной.

Например: возьмём обыкновенную дробь \[\frac<12><44>\] и произведем сокращение. Для этого разделим и числитель и знаменатель на 2, получится такая дробь \[\frac<12> <44>\backslash 2=\frac<12 \backslash 2><44 \backslash 2>=\frac<6><22>\].