Инволюта угла
Вычисление инволюты угла и нахождение угла по заданной инволюте.
Поступила вот просьба сделать калькулятор для расчета цилиндрических шестерён — Техника,машиностроение.
Погружаясь в тему шестерён и их расчетов, встретил понятие инволюта, а потом — эвольвента. Показалось занятным и заслуживающим отдельных калькуляторов. Калькуляторы смотри ниже — первый рассчитывает инволюту, два следующих по заданной инволюте находят угол. Интересующимся — текст про инволюту после калькуляторов.
Инволюта угла
Нахождение угла по инволюте методом Ласкина
Нахождение угла по инволюте методом Ченга
Так вот, в дифференциальной геометрии кривых эвольвента — это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой (см. Эвольвента в Википедии).
Поскольку сразу осознать сказанное выше сложно, перескажу своими словами более образное определение, данное в английской версии статьи (см. Involute on Wikipedia).
Итак, представим себе катушку ниток, где свободный край нити лежит на катушке. Если взять этот край и начать разматывать нить, все время держа ее натянутой, край нити опишет некую кривую, которая и будет эвольвентой, причем эвольвентой окружности (катушка суть исходная кривая, представляющая собой окружность).
Рисунок ниже изображает эвольвенту окружности (Источник — Википедия). Красная линия — исходная кривая (окружность), черная — натянутая нить, зеленая — траектория конца нити, кривая, называемая эвольвентой окружности.
Что касается инволюты — в англоязычных источниках, как я понял, термин инволюта (involute) применяется взаимозаменяемо с термином эвольвента (evolvent). То есть может обозначать как саму кривую, так и ее функцию. В русскоязычных источниках, которые я видел, эвольвента — это кривая, а инволюта — ее функция.
Думаю, что такое эвольвента, стало более менее ясно после картинки сверху. Теперь разберемся, что это за функция такая.
В этом нам поможет рисунок, который я нарисовал
На рисунке отрезок равен дуге (потому что эта наша «нить»). Угол «фи», соответствующий дуге называется углом развернутости эвольвенты, и состоит суммы угла «тета» (эвольвентного угла) и угла «альфа» (угла давления). Длина дуги
Поскольку — прямоугольный треугольник, то
Приравнивая эти две дуги друг к другу, получим , откуда
Вот эта-то функция — и называется инволютой, или эвольвентной функцией.
Уравнения эвольвентной кривой в полярных координатах выглядят так
По построению видно, что угол «альфа» может меняться от 0 до 90, не включая 90, так как в таком случае прямая KK будет параллельна MxN.
Зачем это все? Эвольвента окружности используется в эвольвентном зацеплении — зубчатом зацеплении, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности. При эвольвентном зацеплении общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев всегда совпадает с общей касательной к основным окружностям. Эта касательная называется линией зацепления, так как по ней перемещается точка касания зубьев при движении колёс (картинка). Это наиболее распространенный вид зубчатого зацепления.
А инволюта используется в расчетах, связанных с эвольвентным зацеплением. Причем возникает задача как расчета самой инволюты (что просто), так и обратная задача — нахождение угла давления по его инволюте. Вот обратная задача является не такой простой, ибо уравнение является трансцендентным уравнением, и решить его можно только численными методами.
В завершение рассмотрим численные методы, использованные в калькуляторах выше — метод Ласкина и метод Ченга (подробнее — здесь)
Метод Ласкина (Laskin)
Основан на методе Ньютона, заключающемся в итерационной процедуре вычисления
Ноу-хау, как я понимаю, здесь в выборе начального значения, которое по методу Ласкина вычисляется как
, где I — заданное значение инволюты.
Для вычисления следующих приближений после раскрытия производной получается выражение
В калькуляторе используется пять итераций, но уже четыре должны давать точность до шести знаков после запятой. Метод работает для значений инволюты в диапазоне от 0 до 1, то есть можно находить углы от 0 до 64.87 градусов. На практике этого хватает. Для нахождения инволюты выпускаются таблицы, подобные таблицам тригонометрических функций, так вот там приводимый диапазон углов от 0 до 60.
Метод Ченга (Cheng)
Основан на нахождении приближенного значения с помощью асимптотических кривых. Ченг вывел следующую формулу:
Метод работает для значения инволюты строго меньших 1.8, то есть может находить углы примерно до 71.87 градуса. А дальше оно и не надо — при приближении к 90 тангенс стремится к бесконечности, со всеми вытекающими отсюда последствиями, и, в общем, ну не бывает зубчатых передач с такими большими углами.
Inv что это в математике
Регистрация на форуме тут, о проблемах пишите сюда — alarforum@yandex.ru, проверяйте папку спам! Обязательно пройдите восстановить пароль
| Поиск по форуму |
| Расширенный поиск |
| К странице. |
| Serg Belyaev |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от Serg Belyaev |
involuta(20) даст 0,0149043838673364
А вот получение угла по инволюте:
Интенсив по Python: Работа с API и фреймворками 24-26 ИЮНЯ 2022. Знаете Python, но хотите расширить свои навыки?
Slurm подготовили для вас особенный продукт! Оставить заявку по ссылке — https://slurm.club/3MeqNEk
Документация
Y = inv( X ) вычисляет инверсию квадратной матрицы X .
X^(-1) эквивалентно inv(X) .
x = A\b вычисляется по-другому, чем x = inv(A)*b и рекомендуется для решения систем линейных уравнений.
Примеры
Обратная матрица
Вычислить обращение матрицы 3х3.
Проверяйте результаты. Идеально, Y*X производит единичную матрицу. Начиная с inv выполняет матричную инверсию с помощью расчетов с плавающей точкой, в практике Y*X близко к, но не точно равен, единичная матрица eye(size(X)) .
Решение линейной системы
Исследуйте почему, решив линейную систему путем инвертирования матрицы с помощью inv(A)*b является нижним к решению его непосредственно использование оператора обратной косой черты, x = A\b .
Создайте случайный матричный A из порядка 500, который создается так, чтобы его число обусловленности, cond(A) , 1e10 , и его норма, norm(A) , 1 . Точное решение x случайный вектор из длины 500, и правой стороной является b = A*x . Таким образом система линейных уравнений плохо обусловливается, но сопоставимая.
Решите линейную систему A*x = b путем инвертирования матрицы коэффициентов A . Используйте tic и toc получить время выполнения.
Найдите абсолютную погрешность и остаточную ошибку вычисления.
Теперь решите ту же линейную систему с помощью оператора обратной косой черты \ .
Вычисление обратной косой чертой быстрее и имеет на несколько порядков меньшую ошибку. Факт, что err_inv и err_bs находятся оба порядка 1e-6 просто отражает число обусловленности матрицы.
Поведение этого примера типично. Используя A\b вместо inv(A)*b в два — три раза быстрее, и производит остаточные значения порядка машинной точности относительно величины данных.
Входные параметры
X — Введите матрицу
квадратная матрица
Введите матрицу в виде квадратной матрицы. Если X плохо масштабируется или почти сингулярный, затем inv вычисление теряет числовую точность. Использование rcond или cond проверять число обусловленности матрицы.
Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да
Больше о
Обращение матриц
Матрица A X является обратимым, если там существует матричный Y одного размера таким образом, что X Y = Y X = I n , где I n n — n единичная матрица. Матричный Y называется инверсией X .
Матрица, которая не имеет обратной, сингулярна. Квадратная матрица сингулярна только, когда ее определитель в точности равен нулю.
Советы
Редко необходимо сформировать явную инверсию матрицы. Частое неправильное употребление inv возникает при решении системы линейных уравнений Ax = b . Один способ решить уравнение с x = inv(A)*b . Лучший путь, с точки зрения и времени выполнения и числовой точности, состоит в том, чтобы использовать матричный оператор обратной косой черты x = A\b . Это производит решение с помощью Исключения Гаусса, явным образом не формируя инверсию. Смотрите mldivide для получения дополнительной информации.
Алгоритмы
inv выполняет LU-разложение входной матрицы (или разложение LDL, если входная матрица является Эрмитовой). Это затем использует результаты сформировать линейную систему, решение которой является обратной матрицей inv(X) . Для разреженных входных параметров, inv(X) создает разреженную единичную матрицу и использует обратную косую черту, X\speye(size(X)) .
Расширенные возможности
Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.
Указания и ограничения по применению:
Сингулярные матричные входные параметры могут произвести неличные значения, которые отличаются от MATLAB ® результаты.
Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® backgroundPool или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool .
Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.
Массивы графического процессора
Ускорьте код путем работы графического процессора (GPU) с помощью Parallel Computing Toolbox™.
MATLAB inv функционируйте распечатывает предупреждение если X плохо масштабируется или почти сингулярный. gpuArray inv не может проверять на это условие. Примите меры, чтобы избежать этого условия.
Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска на графическом процессоре (Parallel Computing Toolbox) .
Распределенные массивы
Большие массивы раздела через объединенную память о вашем кластере с помощью Parallel Computing Toolbox™.
Указания и ограничения по применению:
Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска с Распределенными Массивами (Parallel Computing Toolbox) .
Смотрите также
Открытый пример
У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?
Документация MATLAB
Поддержка
© 1994-2021 The MathWorks, Inc.
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.